1、模块二模块二 材料力学材料力学1.1.扭矩的计算及扭矩图的绘制；扭矩的计算及扭矩图的绘制；2.2.扭转的强度和刚度计算。扭转的强度和刚度计算。扭转的强度和刚度计算扭转的强度和刚度计算 教学教学 内内 容容1 扭转的概念外力偶矩的计算扭转的概念外力偶矩的计算2 圆轴扭转时横截面上的内力圆轴扭转时横截面上的内力3 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形4 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件模块二模块二 材料力学材料力学1、扭转的概念扭转的概念 受扭构件的共同特点是：受扭构件的共同特点是：杆件都是直杆，受力偶系的作用，这杆件都是直杆，受力偶系的作用，这些力偶的都垂直于杆轴线。些力
2、偶的都垂直于杆轴线。受力特点：受力特点：杆件受到大小相等杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的外力偶作用。的外力偶作用。变形特点：变形特点：杆件的横截面绕轴线产生相对转动。杆件的横截面绕轴线产生相对转动。扭转变形是杆件基本变形之一扭转变形是杆件基本变形之一。一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算 扭转变形是杆件基本变形之一扭转变形是杆件基本变形之一。例如汽车的传动轴、石油钻机中的钻杆等。例如汽车的传动轴、石油钻机中的钻杆等。共同特点共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用
3、平面垂直于杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种由于转动而产生的变形称为杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。扭转变形。工程中工程中将扭转变形为主的杆件称为将扭转变形为主的杆件称为轴轴。1、扭转的概念扭转的概念一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算例如汽车的传动轴（例如汽车的传动轴（图图1）、船舶推进器（）、船舶推进器（图图2）、丝攻（）、丝攻（图图3）。）。共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶
4、的作用平面垂直于杆件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转变形为主的杆件称为变形为主的杆件称为轴轴。1、扭转的概念扭转的概念一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算例如汽车的传动轴（例如汽车的传动轴（图图1）、船舶推进器（）、船舶推进器（图图2）、丝攻（）、丝攻（图图3）。）。共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的轴线，使杆件的任意
5、横截面都绕轴线发生相对转动。件的轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转变形为主的杆件称为变形为主的杆件称为轴轴。1、扭转的概念扭转的概念图图.1 图图.2 一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念图图3 一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念轴轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴扭转扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的
6、轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念扭转角（扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：）：直角的改变量。直角的改变量。一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念工工 程程 实实 例例一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念工工 程程 实实 例例一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念
7、外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念汽车方向盘汽车方向盘工工 程程 实实 例例一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍本章主要介绍圆轴扭转。圆轴扭转。一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算1、扭转的概念扭转的概念 作用在圆轴上的外力偶的力偶矩往往不是直接给出的，作用在圆轴上的外力偶的力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴传递的功率和轴的转速计算出的。而是根据所给定的轴传递的功率和轴的转速计算出的。根据理论
8、力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：之间的关系为：2、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算nP9549Me一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算nP9549Me式中：式中：Me 为外力偶矩，单位是牛为外力偶矩，单位是牛米（米（Nm）为转递功率，单位是千瓦（为转递功率，单位是千瓦（kW）；）；为轴的转速，单位是转数分（为轴的转速，单位是转数分（r/min）如如 为转递功率，单位是马力时为转递功率，单位是马力时 （1马力马力=735.499W）；）；nP7024Me一、扭转的概念外力偶矩的计算一、扭转的概念外力偶矩的计算
9、2、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算 截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。v 扭矩求解仍然使用截面法扭矩求解仍然使用截面法1、扭转时的内力、扭转时的内力扭矩扭矩v 扭矩正负号的规定扭矩正负号的规定右手螺旋法则右手螺旋法则二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图扭矩正负规定：右手螺旋法则扭矩正负规定：右手螺旋法则1、扭转时的内力、扭转时的内力扭矩扭矩二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图 如图所示如图所示的圆轴，在两端外力偶矩的圆轴，在两端外力偶矩m m作用下平衡。现用截面法沿作用下平衡。现用截面法沿I-II-I横横截面截开，取左端为研究
10、对象（截面截开，取左端为研究对象（b b），由平衡条件可知，截面上的内力必），由平衡条件可知，截面上的内力必然为一力偶，此力偶矩称为扭矩，用符号然为一力偶，此力偶矩称为扭矩，用符号T T表示，由平衡方程表示，由平衡方程 MxMx=0 =0 T-m=0 T-m=0 得得T=mT=m 若取圆轴的右端为研究对象若取圆轴的右端为研究对象(c)同样可求得同样可求得mm横截面上的扭矩横截面上的扭矩T=m。2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图 【例例1 1】图所示的传动轴，已知轴的转速图所示的传动轴，已知轴的转速n=200r/min,n=200r/min,主动轮主动轮A
11、 A的输入功率的输入功率P PA A=40kW=40kW，从动轮，从动轮B B和和C C的输出功率分别为的输出功率分别为P PB B=25kW=25kW，P PC C=15kW=15kW。试求轴上。试求轴上1-11-1和和2-22-2截面处的扭矩截面处的扭矩 【解解】（1 1）计算外力偶矩计算外力偶矩 m mA A=9549P=9549PA A/n=1910Nm/n=1910Nm m mB B=9549P=9549PB B/n=1194Nm/n=1194Nm m mC C=9549P=9549PC C/n=716Nm/n=716Nm 2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭
12、矩的计算扭矩图(2)计算计算1-1截面的扭矩截面的扭矩假想将轴沿假想将轴沿1-1截面截开，截面截开，取左端为研究对象，截面取左端为研究对象，截面上的扭矩上的扭矩T1按正方向假设，按正方向假设，受力图受力图(b)所示。由平衡所示。由平衡方程方程MxMx=0=0 T T1 1-m-mA A=0=0 T T1 1=m mA A=1910Nm=1910Nm2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图(3)计算计算2-2截面的扭矩截面的扭矩假想将轴沿假想将轴沿2-2截面截开，截面截开，取左端为研究对象，截面取左端为研究对象，截面上的扭矩上的扭矩T2按正方向假设，按正方向假设
13、，受力图受力图(c)所示。由平衡所示。由平衡方程方程Mx=0T2+mB-mA=0T2=mA-mB=716Nm2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图(3)计算计算2-2截面的扭矩截面的扭矩2-2截面截开，截面截开，取右端为研究对象，截面取右端为研究对象，截面上的扭矩上的扭矩T2按正方向假设，按正方向假设，受力图受力图(d)所示。由平衡所示。由平衡方程方程Mx=0T2-mA=0T2=716Nm2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图 根据以上求解过程，可总结出计算扭矩的以下规律：根据以上求解过程，可总结出计算扭矩的以下规律：(1
14、)某一截面的扭矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力偶矩某一截面的扭矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力偶矩的代数和。的代数和。(2)以右手拇指顺着截面外法线方向，与其他四指的转向相反以右手拇指顺着截面外法线方向，与其他四指的转向相反的外力偶矩产生正值扭矩，反之产生负值扭矩。的外力偶矩产生正值扭矩，反之产生负值扭矩。(3)代数和的正负，就是扭矩的正负。代数和的正负，就是扭矩的正负。2、扭矩计算、扭矩计算截面法截面法二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的常用与轴线平行的x坐
15、标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴轴上方，负值扭矩画在上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形轴下方。这种图形称为扭矩图。称为扭矩图。3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图【例例2】图图6(a)所示所示的传动轴，已知轴的转速的传动轴，已知轴的转速n=200r/min，主动轮，主动轮A的输入功率的输入功率NA=36.77kW，从动轮，从动轮B和和C的输出功率分别为的输出功率分别为NB=22.08kW,NC=14.71kW
16、。试作：。试作：(1)该轴的扭矩图；该轴的扭矩图；(2)若将轮若将轮A和轮和轮B的位置对调（的位置对调（图图6（b)），画出其扭矩图。），画出其扭矩图。【解解】（1）计算外力偶矩计算外力偶矩mA=9550NA/n=1756NmmB=9550NB/n=1053.4NmmC=9550NC/n=702.4Nm3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图(2)计算各段的扭矩计算各段的扭矩AB段：考虑段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭矩的规律有段内任一截面的左侧，由计算扭矩的规律有TAB=mA=1756NmBC段：考虑右侧段：考虑右侧TBC=mC=702.4Nm(3)画扭矩图画扭矩图根
17、据以上的计算结果，按比例作扭矩图根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图图6(b)。由扭矩图可见，。由扭矩图可见，轴轴AB段各截面的扭矩最大，其值段各截面的扭矩最大，其值Tmax=TAB=1756Nm3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图图图6 3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图(4)若将轮若将轮A和轮和轮B的位置对调的位置对调(图图6(c)TBA=-mB=-1053.4NmTAC=mC=702.4Nm扭矩图扭矩图如图如图6(d)所示所示，轴，轴BA段各截面的扭矩最大，其值段各截面的扭矩最大，其值Tmax=|TBA|=1053.4Nm由此可见，将主动轮放置
18、在从动轮的中间，可降低轴内的最大由此可见，将主动轮放置在从动轮的中间，可降低轴内的最大扭矩值。扭矩值。3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图图6 3、扭矩图扭矩图二、扭矩的计算扭矩图二、扭矩的计算扭矩图三、三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件1、强度条件、强度条件要使受到扭转的圆轴能正常工作，就应使圆轴具有足够的强度，要使受到扭转的圆轴能正常工作，就应使圆轴具有足够的强度，即使轴工作时产生的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，故强度即使轴工作时产生的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，故强度条件为条件为在静载条件下，它与许用拉应力有如下关系：在静载条件
19、下，它与许用拉应力有如下关系：塑性材料塑性材料=(0.50.6)脆性材料脆性材料=(0.81.0)max nTW圆轴扭转时，不仅要有足够的强度，还应有足够的刚度，才能圆轴扭转时，不仅要有足够的强度，还应有足够的刚度，才能使其安全可靠地工作。工程中要求轴工作时产生的最大单位长度扭使其安全可靠地工作。工程中要求轴工作时产生的最大单位长度扭转角不超过许用单位扭转角，转角不超过许用单位扭转角，故刚度条件为故刚度条件为max180 pTGI 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。三、三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件2、刚度条件、刚度条件(rad/m)maxpGIT /m
20、)(180 maxpGIT 或 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。四、四、等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件2、刚度条件、刚度条件刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度校核刚度：设计截面尺寸设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。2、刚度条件、刚度条件四、四、等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 【例例3 3】汽车传动扭矩汽车传动扭矩T=200NmT=200Nm，轴直径，轴直径d=40mmd=40mm，材料许用剪应力，材料许用剪应力=40MPa=40MPa，切变摸量，切变摸量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度扭转角，许可单位长度扭转角 =1=1/m/m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。40MPaPa9.15d316maxTWT（2）校核刚度）校核刚度/m)(1 57.0180.32.180 4maxmGTGIT dp 解解（1）校核强度）校核强度四、四、等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件
