1、3 初等函数的连续性 在学习了连续函数的定义及其一系一、指数函数的连续性二、初等函数的连续性上总是连续的.要结论：初等函数在其有定义的区间列基本性质后，现在可以证明一个重一、指数函数的连续性在第一章中在第一章中,我们已经定义了指数函数我们已经定义了指数函数,1,0,R,aaxayx并指出它在并指出它在 R 内是严格单调的内是严格单调的.所以所以,若能证明指若能证明指首先证明指数函数的一个重要性质首先证明指数函数的一个重要性质.定义域内也是连续函数定义域内也是连续函数.数函数是连续函数数函数是连续函数,那么它的反函数对数函数在其那么它的反函数对数函数在其证证 当当,是有理数时是有理数时,这是我们
2、熟知的一个结果这是我们熟知的一个结果.sup|.xrr xaar 为为有有理理数数,21 aaaarr对于任意对于任意,),(0 aa 存在有理数存在有理数,1 r定理定理4.10 设设 为任意实数为任意实数,则有则有 、aa,1,0 .aaa先设先设,1 a由定义，由定义，使使,2 r因为因为 是任意的是任意的,所以所以.aaa反之反之,存在有理数存在有理数使使),(00 rr0.raa 再取有理数再取有理数12012,rrrrr使则使则,02121 aaaaaaarrrrr于是有于是有.)(2121 aaaaaarrrr仍因仍因 是任意的是任意的,又得又得.aaa这就证明了这就证明了.aa
3、a,10的情形的情形对于对于 a只要令只要令,1ab 就有就有.)()()(abbbaa定理定理4.11 指数函数指数函数)1,0(aaayx在在 R上是连上是连证证 我们仍旧先假设我们仍旧先假设 首先证明指数函数在首先证明指数函数在.1 a0 x处连续处连续,即即).0(1lim0faxx 这是因为对于任意的正数这是因为对于任意的正数,)10(取取|,)1(log|),1(minlog aa|,x 当当时时|1|.xa 就就有有所以所以xa在在 x=0 处连续处连续.续的续的.对于一般的点对于一般的点,R0 x由定理由定理4.10得到得到,limlimlim0000000 xxxxxxxxx
4、xxxaaaaaa 所以所以xaxf)(在在 R 上连续上连续.对于对于,10情形情形 a只要设只要设,1ab 由由,11xxxbba就可得到相应的结论就可得到相应的结论.注注1,1.xaya 当当时时显显然然是是连连续续函函数数也是连续的也是连续的.例例1 设设.)(lim,0)(lim00bxvaxuxxxx证明证明.)(lim)(0bxvxxaxu 推论推论1 对数函数对数函数log(0,1)ayx aa在定义域在定义域),0(上是连续的上是连续的.续续,从而从而)(ln)(xuxv在点在点 x0 也连续也连续,于是证得于是证得 证证 设设)(),(,)(,)(00 xvxubxvaxu
5、则则在点在点 x0 连连推论推论2 幂函数幂函数xxylne 在定义域在定义域上上),0(注注 例例1的结论可改写为的结论可改写为.)(lim)(lim)(lim)(000 xvxxbxvxxxxxuaxu )(ln)(lim)(ln)()(0eelim)(lim00 xuxvxuxvxxxvxxxxxu .elnbaba 解解 因为因为1122cos1cos1(cos)(1cos1),xxxxxx令令.1cos)(,)1cos1()(21cos1xxxvxxux 例例2 求求.)(coslim210 xxx,212sin2lim1coslim22020 xxxxxx由此求得由此求得12210
6、0coscos1lim(cos)lim(1cos1)xxx axxxxx ,e)1cos1(lim)(lim1cos100 xxxxxu当当故故0|cos10,2xx时，时，121e.e 二、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i)常值函数常值函数;(vi)对数函数对数函数.(v)指数函数指数函数;(iv)幂函数幂函数;(iii)反三角函数反三角函数;(ii)三角函数三角函数;以上六种函数称为基本初等函数以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数因为连续函数由上面的分析由上面的分析,我们得到如下结论：我们得到如下结论：定义定义3 由基本
7、初等函数经过有限次四则运算与复由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的上是连续的.合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数合运算所产生的函数称为初等函数.例例3 求极限求极限.cos)1ln(lim0 xxx.00cos)01ln(cos)1ln(lim0 xxx定理定理4.12 初等函数在其有定义的区间上是连续的初等函数在其有定义的区间上是连续的.
8、注注 上述结论中所指的上述结论中所指的“定义区间定义区间”,今后今后(第十第十六六解解 因为因为xxcos)1ln(是初等函数是初等函数,所以在所以在 处连续处连续,0 x 从而从而章章)在一般意义下可以改为在一般意义下可以改为“定义域定义域”.例例4 据理说明据理说明1,0()0,0 xfxx 不是初等函数不是初等函数.解解 因为因为0 x是是)(xf的定义区间上的点的定义区间上的点,而而),0(01)(lim0fxfx 所以所以 在在 处不连续处不连续.因此函数因此函数 不是初不是初0 x ()f x()f x等函数等函数.HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程国家职业
9、安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程领导决策与准备领导决策与准备教育培训教育培训风险评价风险评价初始状态评审初始状态评审法规清查、鉴定、记录法规清查、鉴定、记录编写体系文件编写体系文件体系试运行和正式运行体系试运行和正式运行审核、纠正与预防措施审核、纠正与预防措施管理评审、持续改进管理评审、持续改进拟订工作计划拟订工作计划体系策划与设计体系策划与设计危害识别及风险评估与危害识别及风险评估与HSEHSE管理体系其他要素的紧密联系管理体系其他要素的紧密联系3.3.3.43.3.3.4管理方案管理方案3.3
10、.2.63.3.2.6目标、目标、指指标标3.2.43.2.4培训培训、意意识识、能力能力3.23.2 信息信息交流交流3.7.23.7.2变更变更管理管理3.63.6运行运行控制控制和和维维护护3.83.8检查检查和和监督监督3.43.4合约合约商商管理管理3.7.33.7.3应急应急管理管理3.93.9事故处理事故处理3.8.43.8.4不符合不符合纠正纠正国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部
11、审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程危害：危害：可能造成人员伤亡、疾病、财产损失、工可能造成人员伤亡、疾病、财产损失、工作环境破坏的作环境破坏的根源或状态根源或状态。这种“根源或状态”来自作业环境中：物的不安全状态物的不安全状态 人的不安全行为人的不安全行为 有害作业环境有害作业环境 安全管理缺陷安全管理缺陷有有 有害作业环境安有害作业环境安 安全管理缺陷。安全管理缺陷。危害识别：认知危害的危害识别：认知危害的存在存在并确定并确定其特性其特性的过程的过程。1 1、危害及危害识别危害及危害识别国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审
12、核员培训教程管理体系内部审核员培训教程发生危害的根源及性质发生危害的根源及性质在进行危害识别时，充分考虑发生危害的根源及性质 火灾和爆炸；火灾和爆炸；冲击与撞击；冲击与撞击；中毒、窒息、触电及辐射；中毒、窒息、触电及辐射；暴露于化学性危害因素和物理性危害因素的工作环境；暴露于化学性危害因素和物理性危害因素的工作环境；人机工程因素（比如工作环境条件或位置的舒适度、重复人机工程因素（比如工作环境条件或位置的舒适度、重复性工作等）；性工作等）；设备的腐蚀；设备的腐蚀；有毒有害物料、气体的泄露；有毒有害物料、气体的泄露；可能造成环境污染和生态破坏的活动、过程、产品和服务：可能造成环境污染和生态破坏的活
13、动、过程、产品和服务：包括水、气、声、渣、废物等污染物排放或处置以及能源、包括水、气、声、渣、废物等污染物排放或处置以及能源、资源和原材料的消耗资源和原材料的消耗国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程危危 害害 与与 事事 故故 模模 型型如：热的管道对象对象如：操作人员国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程危害危害如热的管道对象对象如操作人员Event(Operator gets burnt)防
14、护失败防护失败(手套老化)危危 害害 与与 事事 故故 模模 型型(覆盖层老化)国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程包括：人身伤害、死亡（包括割伤、挫伤、擦伤、人身伤害、死亡（包括割伤、挫伤、擦伤、肢体损伤等）；肢体损伤等）；疾病（如头痛、呼吸困难、失明、皮肤病、疾病（如头痛、呼吸困难、失明、皮肤病、癌症、肢体不能正常动作等）；癌症、肢体不能正常动作等）；财产损失；财产损失；工作环境破坏；工作环境破坏；水、空气、土壤、地下水及噪音污染；水、空气、土壤、地下水及噪音污染；资源枯竭。资源枯竭。国家
15、职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程危害因素的分类危害因素的分类 按按GB/T138161992 生产过程危险和有害因素分类和代码生产过程危险和有害因素分类和代码 六类六类（物理、化学、生物、生理、行为及其他）（物理、化学、生物、生理、行为及其他）按按GB64411986 企业伤亡事故分类企业伤亡事故分类16类类国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程 2 2、风险及风险评价风险及风险评价风险风险发生
16、特定危害事件的可能性及后发生特定危害事件的可能性及后果的结合果的结合风险评价风险评价评价风险程度并确定其是否评价风险程度并确定其是否在可承受范围的全过程在可承受范围的全过程可承受的风险可承受的风险-根据用人单位的法律义务和职根据用人单位的法律义务和职业安全健康方针，以及用人单位可接受的风险业安全健康方针，以及用人单位可接受的风险国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程发生的频率发生的频率现有的预防、检测、控制措施现有的预防、检测、控制措施X后果严重性后果严重性风险风险=可能性可能性X国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）国家职业安全卫生管理体系认证中心（青岛）HSE管理体系内部审核员培训教程管理体系内部审核员培训教程 主动识别危害主动识别危害 现有的现有的/计划的控制措施足够吗计划的控制措施足够吗？进行风险控制进行风险控制-防止危害发生防止危害发生 倡导倡导积极的积极的、主动、主动的安全文化的安全文化 3、风险管理的重要性风险管理的重要性
