1、2 结识抛物线 1.1.能利用描点法作出函数能利用描点法作出函数y=xy=x2 2的图象的图象,能根据图象认识和理解能根据图象认识和理解二次函数二次函数y=xy=x2 2的性质的性质.(.(重点、难点重点、难点)2.2.能作出二次函数能作出二次函数y=-xy=-x2 2的图象的图象,并能比较它与并能比较它与y=xy=x2 2图象的异图象的异同同.(.(难点难点)函数函数y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2图象图象1.1.二次函数图象的作法二次函数图象的作法.作二次函数图象的步骤是作二次函数图象的步骤是:_:_、_、_._.2.2.二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2
2、的图象的性质的图象的性质.观察函数观察函数y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2的图象的图象,完成下表完成下表:列表列表描点描点连线连线函数函数y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2开口方向开口方向_顶点坐标顶点坐标_对称轴对称轴y y轴轴y y轴轴函数变化函数变化当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_;_;当当x0 x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_;_;当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而的增大而_最大最大(小小)值值当当x=0 x=0时时,y,y最最_值值=0=0当当x=0 x=0时时,y,y最最_值值=0=0向上向上向下向下(0,0)(0
3、,0)(0,0)(0,0)增大增大减小减小减小减小增大增大小小大大 (打打“”或或“”)(1)(1)二次函数二次函数y=xy=x2 2的图象与的图象与x x轴没有交点轴没有交点.().()(2)(2)二次函数二次函数y=xy=x2 2的图象与的图象与y=-xy=-x2 2的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称.().()(3)(3)二次函数二次函数y=-xy=-x2 2有最小值有最小值.().()(4)(4)点点(-2,4)(-2,4)在二次函数在二次函数y=-xy=-x2 2的图象上的图象上.().()知识点知识点 1 1 二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2的性质的
4、性质【例例1 1】已知点已知点(-2,y(-2,y1 1),(-2.5,y),(-2.5,y2 2),(-0.5,y),(-0.5,y3 3)都在函数都在函数y=-xy=-x2 2的的图象上图象上,试比较试比较y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小的大小.【教你解题教你解题】【总结提升总结提升】比较比较y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2的图象上若干个点的纵坐标的大的图象上若干个点的纵坐标的大小的小的“三个步骤三个步骤”1.1.比大小比大小:比较各点横坐标及比较各点横坐标及0 0之间的大小关系之间的大小关系.2.2.定位置定位置:确定这些点是在对称轴的左边还是右边确定这些点是在
5、对称轴的左边还是右边.3.3.下结论下结论:根据根据y=xy=x2 2或或y=-xy=-x2 2的增减性确定各点纵坐标的大小的增减性确定各点纵坐标的大小.知识点知识点 2 2 y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2图象的应用图象的应用【例例2 2】如图如图,梯形梯形ABCDABCD是农民李伯是农民李伯伯种植的一块无公害蔬菜地示意图伯种植的一块无公害蔬菜地示意图,其顶点都在抛物线其顶点都在抛物线y=-xy=-x2 2上上,且且ABABCDxCDx轴轴,A,A点坐标为点坐标为(a,-4),C(a,-4),C点坐标点坐标为为(3,b),(3,b),请你帮助李伯伯计算这块菜请你帮助李伯伯计算这块
6、菜地的面积地的面积(单位单位:米米2 2).).【思路点拨思路点拨】先求出先求出A,CA,C两点的坐标两点的坐标,再根据对称性求得再根据对称性求得B,DB,D两两点的坐标点的坐标,即可求得梯形的面积即可求得梯形的面积.【自主解答自主解答】把把(a,-4)(a,-4)代入代入y=-xy=-x2 2,得得-a-a2 2=-4,=-4,a0,a=-2,a0,a=-2,AA点的坐标为点的坐标为(-2,-4),(-2,-4),把把(3,b)(3,b)代入代入y=-xy=-x2 2,得得b=-9,b=-9,CC点的坐标为点的坐标为(3,-9),(3,-9),又又ABCDxABCDx轴轴,AA与与B,CB,
7、C与与D D分别关于分别关于y y轴对称轴对称,BB点的坐标为点的坐标为(2,-4),D(2,-4),D点的坐标为点的坐标为(-3,-9).(-3,-9).AB=|-2-2|=4(AB=|-2-2|=4(米米),CD=|-3-3|=6(),CD=|-3-3|=6(米米).).设梯形的高为设梯形的高为h,h,则则h=|-4-h=|-4-（-9-9）|=5(|=5(米米),),(米米2 2),),这块菜地的面积为这块菜地的面积为2525米米2 2.ABCD1S465252梯形【总结提升总结提升】利用二次函数图象解题利用二次函数图象解题1.1.两种思想两种思想:(1)(1)数形结合的思想数形结合的思
8、想.(2)(2)转化的思想转化的思想,能把实际问题转化为数学问题能把实际问题转化为数学问题.2.2.两点注意两点注意:(1)(1)要注意线段的长度与点的坐标之间的转化要注意线段的长度与点的坐标之间的转化.(2)(2)在实际问题中函数的图象往往不是一条完整的抛物线在实际问题中函数的图象往往不是一条完整的抛物线,而是而是抛物线的一部分抛物线的一部分.题组一题组一:二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2的性质的性质1.1.下列函数中下列函数中,当当x0 x0时时,函数值函数值y y随随x x的增大而增大的有的增大而增大的有()y=3x,y=3x,y=-x+3,y=-x+3,y=
9、-xy=-x2 2.A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【解析解析】选选C.C.当当x0 x0,.a=10,抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是y y轴轴,与与y y轴交于点轴交于点(0,0),(0,0),与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2的开口大小一样的开口大小一样,选项选项B,CB,C正确正确,D,D选项错误选项错误.3.3.若点若点A(2,a)A(2,a)是抛物线是抛物线y=-xy=-x2 2上一点上一点,则则a=a=.【解析解析】把把x=2,y=ax=2,y=a代入代入y=-xy=-x2 2,得得a=-4.a=-4.答案答案:-4-4【变式备选变式备选
10、】若点若点A(bA(b，2)2)是抛物线是抛物线y=xy=x2 2上一点，则上一点，则b=_b=_【解析解析】把把x xb b，y y2 2代入代入y yx x2 2，得，得答案：答案：b2.24.4.已知点已知点(m,y(m,y1 1),(m+3,y),(m+3,y2 2)都在抛物线都在抛物线y=xy=x2 2上上,且且m-3,m”“”“”或或“=”).).【解析解析】m-3,mm+30,m-3,mm+30,当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小,又又mm+30,ymm+3yy2 2.答案答案:5.5.已知函数已知函数 是关于是关于x x的二次函数的二次函数.(1)(1
11、)求满足条件的求满足条件的m m的值的值.(2)m(2)m为何值时为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点抛物线有最低点？求出这个最低点,当当x x为何为何值时值时,y,y随随x x的增大而增大？的增大而增大？2m2m 2ym1 x【解析解析】(1)(1)由题意得由题意得,当当m=0m=0或或m=2m=2时原函数为二次函数时原函数为二次函数.(2)(2)当当m=2m=2时时,y=x,y=x2 2,抛物线有最低点抛物线有最低点,这个最低点为抛物线的顶这个最低点为抛物线的顶点点,其坐标为其坐标为(0,0),(0,0),当当x x0 0时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大.2m0m2,m2
12、m22,m1,m10,或解得题组二：题组二：y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2图象的应用图象的应用1.1.二次函数二次函数y=xy=x2 2与一次函数与一次函数 在同一坐标系中的大致在同一坐标系中的大致图象为图象为()()【解析解析】选选A Ay=xy=x2 2的图象开口向上，一次函数的图象开口向上，一次函数 的的图象经过第二、三、四象限，故选图象经过第二、三、四象限，故选A A1yx121yx122.2.已知点已知点 在二次函数在二次函数y=-xy=-x2 2的图象上，那么在二次函的图象上，那么在二次函数数y=-xy=-x2 2的图象上与点的图象上与点A A对称的点对称的点B B的
13、坐标是的坐标是_._.【解析解析】把把 代入代入y y-x-x2 2，得，得点点A A的坐标为的坐标为又又抛物线关于抛物线关于y y轴对称，轴对称，点点B B的坐标是的坐标是答案：答案：1A(a)2，1xya2，1a4，11()24，11().24，11()24，3.3.直线直线y=x-6y=x-6与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2的交点坐标是的交点坐标是_._.【解析解析】由题意得由题意得 解得解得 或或直线直线y=x-6y=x-6与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2的交点坐标是的交点坐标是(-3(-3，-9)-9)和和(2(2，-4)-4)答案：答案：(-3(-3，-9)-9)和和(
14、2(2，-4)-4)2yx6yx，x3y9，x2,y4,【名师点拨名师点拨】求两个函数图象的交点的方法求两个函数图象的交点的方法两个函数图象的交点两个函数图象的交点,是它们的公共点是它们的公共点,这个点的横、纵坐这个点的横、纵坐标同时对应两个函数表达式中的两个变量标同时对应两个函数表达式中的两个变量x,y.x,y.因此因此,求两个函求两个函数图象的交点数图象的交点,就是求这两个函数表达式所组成的方程组的解就是求这两个函数表达式所组成的方程组的解.4.4.如图如图,直线直线l经过经过A(-2,0)A(-2,0)和和B(0,2)B(0,2)两点两点,它与抛物线它与抛物线y=xy=x2 2在第在第二象限内相交于点二象限内相交于点P,P,求求AOPAOP的面积的面积.【解析解析】设直线设直线l的关系式为的关系式为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b为常数为常数,k0),k0),则有：则有：y=x+2,y=x+2,由题意由题意,得得点点P P在第二象限在第二象限,点点P P的坐标是的坐标是(-1,1),(-1,1),2kb0,k1,b2,b2,解得12212yx2,x1,x2,y1y4,yx,解得或，AOP11SOA 12 11.22 【想一想错在哪？想一想错在哪？】作出函数作出函数y=xy=x2 2的图象的图象.
