1、8 二次函数与一元二次方程 1.1.理解二次函数与一元二次方程的关系理解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根象求一元二次方程的近似根.(.(重点重点)2.2.理解二次函数与理解二次函数与x x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系之间的关系.(.(难点难点)1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c+bx+c=0(a0)=0(a0)的关系的关系.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x
2、x轴的轴的交点的个数交点的个数一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的情况的根的情况2 2_1 1_0 0_两个不等实数根两个不等实数根两个相等实数根两个相等实数根无实数根无实数根2.2.一元二次方程的图象解法一元二次方程的图象解法.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴有交点时轴有交点时,交点的交点的_就就是当是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值,即一元二次方程即一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的_._.横坐标横坐标根根3.3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的
3、方法利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法.(1)(1)先画出函数先画出函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象.(2)(2)确定抛物线与确定抛物线与x x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间.(3)(3)列表列表,在在(2)(2)中的两整数之间取值中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程从而利用计算器确定方程的近似根的近似根.(打打“”或或“”)(1)(1)抛物线与抛物线与y y轴不一定有交点轴不一定有交点.().()(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2-x-x与与x x轴只有一个交点轴只有一个交点.().()(
4、3)(3)利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确值值.().()(4)(4)如果抛物线的顶点在如果抛物线的顶点在x x轴上轴上,那么抛物线与那么抛物线与x x轴有一个交轴有一个交点点.().()知识点知识点 1 1 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系【例例1 1】(1)(1)已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2+px+q=0(p+px+q=0(p2 2-4q0)-4q0)的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2.求证求证:x:x1 1+x+x2 2=-p,x=-p,x1 1x x2 2=q.=q.(2)(
5、2)已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2+px+q+px+q与与x x轴交于轴交于A,BA,B两点两点,且过点且过点(-1,-1),(-1,-1),设线段设线段ABAB的长为的长为d,d,当当p p为何值时为何值时,d,d2 2取得最小值取得最小值,并求出最小值并求出最小值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)先根据求根公式得出先根据求根公式得出x x1 1,x,x2 2的值的值,再求出两根的再求出两根的和与积和与积.(2)(2)把点把点(-1,-1)(-1,-1)代入抛物线的表达式代入抛物线的表达式,用用p p表示出表示出q,q,若设若设A(xA(x1 1,0),B(x,0),B(x2 2,0
6、),0),则再由则再由d d2 2=(x=(x1 1-x-x2 2)2 2,得到得到d d2 2与与p p的函数关系的函数关系,即即可得出结论可得出结论.【自主解答自主解答】(1)(1)即即2pp4qa1 bpcqx2，2212pp4qpp4qxx 22 ，2212pp4qpp4qxxp22 ，2212pp4qpp4qxxq.22 (2)(2)把把(-1,-1)(-1,-1)代入代入y=xy=x2 2+px+q+px+q得得p-q=2,q=p-2,p-q=2,q=p-2,设抛物线设抛物线y=xy=x2 2+px+q+px+q与与x x轴交于轴交于A,BA,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x
7、(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0),由由d=|xd=|x1 1-x-x2 2|可得可得d d2 2=(x=(x1 1-x-x2 2)2 2=(x=(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2=p=p2 2-4q=p-4q=p2 2-4p+8=(p-2)4p+8=(p-2)2 2+4,+4,当当p=2p=2时时,d,d2 2的最小值是的最小值是4.4.【总结提升总结提升】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与方程与方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0之间的关之间的关系系1.b1.b2 2-4ac0-4ac0抛物线与抛物线与x x
8、轴有轴有2 2个交点个交点方程有两个不相等的实方程有两个不相等的实数根数根.2.b2.b2 2-4ac=0-4ac=0抛物线与抛物线与x x轴有轴有1 1个交点个交点方程有两个相等的实数方程有两个相等的实数根根.3.b3.b2 2-4ac0-4ac0,-4ac=490,抛物线与抛物线与x x轴有轴有2 2个交点个交点,综上综上,抛物线抛物线与坐标轴的交点个数为与坐标轴的交点个数为3.3.【变式备选变式备选】已知函数已知函数y=(k-3)xy=(k-3)x2 2+2x+1+2x+1的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点,则则k k的取值范围是的取值范围是()A.k4 B.k4A.k4 B.k4C
9、.k4C.k4且且k3 D.k4k3 D.k4且且k3k3【解析解析】选选B.B.当当k-30k-30时时,方程为方程为(k-3)x(k-3)x2 2+2x+1=0,b+2x+1=0,b2 2-4ac=24ac=22 2-4(k-3)-4(k-3)1=-4k+160,k4;1=-4k+160,k4;当当k-3=0k-3=0时时,y=2x+1,y=2x+1,与与x x轴有交点轴有交点.2.2.如图是二次函数如图是二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的部分图象的部分图象,由图象可知不等式由图象可知不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是()A.-1x5A.-1x5
10、C.x-1C.x5 D.x5 D.x5x5【解析解析】选选D.D.观察图象可知抛物线对称轴为观察图象可知抛物线对称轴为x=2,x=2,且与且与x x轴的一轴的一个交点为个交点为(5,0),(5,0),依据对称性可知依据对称性可知,抛物线与抛物线与x x轴另一交点坐标为轴另一交点坐标为(-1,0).(-1,0).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的部分图象的开口向下的部分图象的开口向下,所以不等所以不等式式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是x-1x5.x5.3.(20123.(2012兰州中考兰州中考)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(
11、a0)+bx+c(a0)的图象如图所的图象如图所示示,若若|ax|ax2 2+bx+c|=k(k0)+bx+c|=k(k0)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,则则k k的取值的取值范围是范围是()A.k-3A.k-3C.k3C.k3【解析解析】选选D.D.根据题意根据题意y=|axy=|ax2 2+bx+c|+bx+c|的图象如图所示的图象如图所示:当当|ax|ax2 2+bx+c|=k(k0)+bx+c|=k(k0)有两个不相等的实数根时有两个不相等的实数根时,k3.,k3.4.(20134.(2013苏州中考苏州中考)已知二次函数已知二次函数y=xy=x2 2-3x+m(m-3x+
12、m(m为常数为常数)的图象的图象与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则关于则关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-3x+m=0-3x+m=0的两实数根是的两实数根是()A.xA.x1 1=1,x=1,x2 2=-1 B.x=-1 B.x1 1=1,x=1,x2 2=2=2C.xC.x1 1=1,x=1,x2 2=0 D.x=0 D.x1 1=1,x=1,x2 2=3=3【解析解析】选选B.B.二次函数的表达式是二次函数的表达式是y=xy=x2 2-3x+m(m-3x+m(m为常数为常数),),该抛物线的对称轴是该抛物线的对称轴是又又二次函数二次函数y=x
13、y=x2 2-3x+m(m-3x+m(m为常数为常数)的图象与的图象与x x轴的一个交点轴的一个交点为为(1,0),(1,0),根据抛物线的对称性质知根据抛物线的对称性质知,该抛物线与该抛物线与x x轴的另一个交点的轴的另一个交点的坐标是坐标是(2,0),(2,0),关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-3x+m=0-3x+m=0的两实数根分别是的两实数根分别是x x1 1=1,x=1,x2 2=2.=2.3x.25.5.已知函数已知函数y=mxy=mx2 2-6x+1(m-6x+1(m是常数是常数).).(1)(1)求证求证:不论不论m m为何值为何值,该函数的图象都经过该
14、函数的图象都经过y y轴上的一个定点轴上的一个定点.(2)(2)若该函数的图象与若该函数的图象与x x轴只有一个交点轴只有一个交点,求求m m的值的值.【解析解析】(1)(1)当当x=0 x=0时时,y=1.,y=1.所以不论所以不论m m为何值为何值,函数函数y=mxy=mx2 2-6x+1-6x+1的图象都经过的图象都经过y y轴上的一个轴上的一个定点定点(0,1).(0,1).(2)(2)当当m=0m=0时时,函数函数y=-6x+1y=-6x+1的图象与的图象与x x轴只有一个交点轴只有一个交点;当当m0m0时时,若函数若函数y=mxy=mx2 2-6x+1-6x+1的图象与的图象与x
15、x轴只有一个交点轴只有一个交点,则则方程方程mxmx2 2-6x+1=0-6x+1=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根,所以所以(-6)(-6)2 2-4m=0,m=9.-4m=0,m=9.综上可知综上可知,若函数若函数y=mxy=mx2 2-6x+1-6x+1的图象与的图象与x x轴只有一个交点轴只有一个交点,则则m m的的值为值为0 0或或9.9.题组二题组二:利用函数图象求一元二次方程的近似根利用函数图象求一元二次方程的近似根1.1.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的顶点坐标的顶点坐标(-1,-3.2)(-1,-3.2)及部及部分图象
16、分图象(如图如图),),由图象可知关于由图象可知关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的两个根分别是两个根分别是x x1 1=1.3=1.3和和x x2 2=(=()A.-1.3 B.-2.3A.-1.3 B.-2.3C.-0.3 D.-3.3C.-0.3 D.-3.3【解析解析】选选D.D.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为(-1(-1，-3.2)-3.2)，x x1 1，x x2 2是一元二次方程是一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根，的两根，又又x x1 1=1.3=1.3
17、，x x1 1+x+x2 2=1.3+x=1.3+x2 2=-2=-2，x x2 2=-3.3.=-3.3.bb122aa，12bxxa，2.2.小亮通过观察二次函数小亮通过观察二次函数y=2xy=2x2 2+2x-1+2x-1的图象的图象,发现它与发现它与x x轴的轴的两个交点一个在两个交点一个在-1-1和和-2-2之间之间,另一个在另一个在0 0和和1 1之间之间.并用计算器并用计算器进行探索进行探索,得到下表得到下表,由此可知方程由此可知方程2x2x2 2+2x-1=0+2x-1=0的一个近似根的一个近似根是是()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4A.0.1 B.0.2 C.
18、0.3 D.0.4x x0.10.10.20.20.30.30.40.4y y-0.78-0.78-0.52-0.52-0.22-0.220.120.12【解析解析】选选D.D.由题意可知方程由题意可知方程2x2x2 2+2x-1=0+2x-1=0的根一个在的根一个在-1-1和和-2-2之之间间,另一个在另一个在0 0和和1 1之间之间.当当x x由由0.10.1向向0.30.3变换过程中变换过程中y y值一直在增值一直在增大大,并越来越接近并越来越接近0,0,当当x=0.4x=0.4时时,y,y值大于值大于0,0,则方程的一个根在则方程的一个根在0.30.3和和0.40.4之间之间,x=0.
19、4,x=0.4时的时的y y值比值比x=0.3x=0.3时更接近时更接近0,0,所以方程的一所以方程的一个近似根为个近似根为0.4.0.4.3.3.对于二次函数对于二次函数y=xy=x2 2+6x+1,+6x+1,当当x=-5.8x=-5.8时时,y=-0.160;,y=-0.160.,y=0.410.那么方程那么方程x x2 2+6x+1=0+6x+1=0的一个根的近的一个根的近似值是似值是.(.(精确到精确到0.1)0.1)【解析解析】因为因为y=xy=x2 2+6x+1+6x+1的对称轴是的对称轴是x=-3,x=-3,且当且当x=-5.8x=-5.8时时,y=-0.160;y=-0.16
20、0.,y=0.410.所以方程所以方程x x2 2+6x+1=0+6x+1=0的的一个根的近似值是一个根的近似值是-5.8.-5.8.答案答案:-5.8-5.84.4.利用函数图象求得方程利用函数图象求得方程2x2x2 2-6x+3=0-6x+3=0的近似根是的近似根是.(精确到精确到0.1)0.1)【解析解析】方程方程2x2x2 2-6x+3=0-6x+3=0的根就的根就是函数是函数y=2xy=2x2 2-6x+3-6x+3的图象与的图象与x x轴的轴的交点的横坐标交点的横坐标,y=2x,y=2x2 2-6x+3-6x+3的图象的图象如图所示如图所示:方程方程2x2x2 2-6x+3=0-6
21、x+3=0的近似根是的近似根是x x1 1=2.4,x=2.4,x2 2=0.6.=0.6.答案答案:x x1 1=2.4,x=2.4,x2 2=0.6=0.65.(1)5.(1)请在坐标系中画出二次函数请在坐标系中画出二次函数y=xy=x2 2-2x-2x的大致图象的大致图象.(2)(2)根据方程的根与函数图象之间的关系根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程将方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的的根在图上近似地表示出来根在图上近似地表示出来.(.(描点描点)(3)(3)观察图象观察图象,直接写出方程直接写出方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的根的根.(.(精确到精确到0.1)0.1)【解析解析】(1)(2)(1)(2)如图如图.(3)x(3)xM M=-0.4,x=-0.4,xN N=2.4.=2.4.
