1、第一节第一节 典型输入信号典型输入信号 为了准确地描述系统的稳定性、准为了准确地描述系统的稳定性、准确性和快速性三方面的性能，定义若干确性和快速性三方面的性能，定义若干个反映稳、准、快三方面性能的指标。个反映稳、准、快三方面性能的指标。第三章第三章 时域分析法时域分析法1阶跃信号阶跃信号 数学表达式：数学表达式：拉氏变换：拉氏变换：当当 R0=1 时，称为单位阶跃函数时，称为单位阶跃函数:1(t)r(t)t0R0阶跃信号阶跃信号 r(t)=0t0R0t0R(s)=SR0 2斜坡信号斜坡信号 数学表达式：数学表达式：拉氏变换：拉氏变换：斜坡信号斜坡信号 当当0=1 时，称为单位斜坡函数。时，称为
2、单位斜坡函数。r(t)t01 0r(t)=0t00tt0R(s)=S20抛物线信号抛物线信号 3抛物线信号抛物线信号 数学表达式：数学表达式：拉氏变换：拉氏变换：当当a0=1 时，称为单位抛物线函数。时，称为单位抛物线函数。r(t)t0a0/21R(s)=S3a0t2a012r(t)=0t0t0H4.脉冲信号脉冲信号数学表达式：数学表达式：脉冲信号脉冲信号r(t)t0r(t)t0 理想脉冲信号理想脉冲信号r(t)=0 t0H0t单位理想脉冲函数：单位理想脉冲函数：H=10(t)=lim(t)=00t0t=0拉氏变换：拉氏变换：R(s)=1理想脉冲函数特点：理想脉冲函数特点：(t)dt=1-+5
3、正弦信号正弦信号数学表达式：数学表达式：拉氏变换：拉氏变换：r(t)=0t1 过阻尼过阻尼 两个不相等两个不相等的负实数根的负实数根拉氏反变换拉氏反变换n S1.2=-n2-1 A1=SS-S1+A2A3S-S2C(s)=S(S-S1)(S-S2)nc(t)=A1+A2es1t+A3es2t 系统输出随时间单调上升，无振荡和系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值超调，输出响应最终趋于稳态值1。过阻尼系统单位阶跃响应曲线过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01 1 2.=1 临界阻尼临界阻尼输出响应输出响应:两个相等的负实数根两个相等的负实数根S1.2=-n C(s)=n2
4、n(S+)2 S1=S1-nn(S+)2 n S+-n c(t)=1-en-t(1+t)输出响应无振荡和超调。输出响应无振荡和超调。=1时系时系统的响应速度统的响应速度 比比 1 时快。时快。临界阻尼系统单位阶跃响应曲线临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01=1 3.0 1 欠阻尼欠阻尼n S1.2=-n2-1 两个复数根两个复数根令：令：d1-2 n=阻尼振荡频率阻尼振荡频率n jS1.2=-d则：则：单位阶跃单位阶跃 响应：响应：n2n(S2+2 S+n2)SC(s)=n2n(S+S+d2)2=1n(S+S+d2)2=+1n-(S+2)n(S+S+d2)2=1n S+n(S+d2)2-
5、n-d d 拉氏反变换：拉氏反变换：dc(t)=1-sindte-ntcosdt-ne-nt=1-sindte-ntcosdt+1-21-2 系统参数间的关系系统参数间的关系:S1S2j1-2nn1-2-n-n0COS=1-2Sin=1-2=tg-1 单位阶跃响应单位阶跃响应:c(t)=1-1-2sincosdt+cossindt e-nt=1-1-2Sin(dt+)e-nt 欠阻尼系统单位阶跃响应曲线欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t011 1-1-2Sin(dt+)e-nt 注意：注意：二阶二阶欠阻尼系统欠阻尼系统单位阶跃响单位阶跃响应为衰减振应为衰减振荡波形，因荡波形，因此存在超调；此
6、存在超调；4.=0 无阻尼无阻尼 单位阶跃响应单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线S1.2=jn C(s)=n2n(S2+2)Sn S2+2 1=SS-n c(t)=1-costc(t)t01=0 无阻尼系统无阻尼系统 单位阶跃响应为等幅振荡波单位阶跃响应为等幅振荡波形形 从以上结果可知从以上结果可知:值越大，系统的平稳值越大，系统的平稳性越好；性越好；值越小，输出响应振荡越强。值越小，输出响应振荡越强。=0时，系统不能正常工作。时，系统不能正常工作。不同不同值时系统的单位阶跃响应值时系统的单位阶跃响应c(t)t01=1 1 =0 C(s)S2+S+44R(s)=例例3-3 已知二阶
7、系统的闭环传递函数已知二阶系统的闭环传递函数,求系统求系统 的单位阶跃响应的单位阶跃响应.解：解：2n=1n 2=4n=2=0.25可知可知n=0.5d=1.91-2=tg-1=75o得：得：=1-1.03e-0.5tsim(1.9t+75o)将参数代入公式将参数代入公式:c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtp%tsess主要性能主要性能 指标有指标有性能指标性能指标求取如下求取如下三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标1-2Sin(dtr+)=0e-ntrc(tr)=1-1-2Sin(dtr+)=
8、1e-ntr1.上升时间上升时间tr即即根据定义有根据定义有Sin(dtr+)=0dtr+=0,2则则tr=-d-1-2 n=得得:其中其中=tg-11-22.峰值时间峰值时间tp1-2tp=dn=3.超调量超调量%tp=dc(t)=1-1-2sin(dtp+)e-ntpsin+1-2e1-2-/=1-sin(+)1-2e1-2-/-=1+将公式代入将公式代入1-2-/c(tp)=1+e100%=c(tp)-11%=c(tp)-c()c()100%1-2-/=e100%注意：超调量只与阻尼系数相关注意：超调量只与阻尼系数相关4.调节时间调节时间ts求取调节时间可用近似公式：求取调节时间可用近似
9、公式：(5%误差带误差带)(2%误差带误差带)当当大于上述值时，可用近似公式计算：大于上述值时，可用近似公式计算：ts=3T=n30.68ts=4T=n40.766.45-1.7ts=n15.振荡次数振荡次数 N)sin(11)(20tetxdtn由由系统的振荡周期为系统的振荡周期为dstN2d2振荡次数为振荡次数为215.1N212N(5%误差带误差带)(2%误差带误差带)0.680.707之后又有之后又有 ts,3）准确性：）准确性：的增加和的增加和n的减小虽然对系统的平稳的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态斜坡信号的稳态误差增加。误差增加。由
10、由和和 n决定。决定。drt%100%21e21ndptnst3215.1N例例 已知系统的闭环传递函数已知系统的闭环传递函数，当，当K=2,K=4 时，求系统的单时，求系统的单位阶跃响应和位阶跃响应和%,ts。(s)=S2+3S+KK解：解：（1）K=2(s)=S2+3S+22n=2=1.061得得C(s)=2S(S+1)(S+2)1=S2S+11S+2-+单位阶跃响应单位阶跃响应c(t)=1-2e-t+e-2t系统性能指标系统性能指标 ts=3T1=3（2）K=4(s)=S2+3S+44n=2=0.750s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:560-40K040K014K0
11、如果劳斯表中某行的第一个元素为如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中系统不稳定零，表示系统中系统不稳定.而该行中其而该行中其余各元素不等于零，此时，可用一个接余各元素不等于零，此时，可用一个接近于零的很小的正数近于零的很小的正数来代替零，完成劳来代替零，完成劳斯表的排列。斯表的排列。劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况例例 已知系统的特征方程，试判断系已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 系统不稳定系统不稳定S3+2S2+S+2=0解：解：1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 b31=0 ()s0 b41 2 通过因
12、式分解验证通过因式分解验证:S3+2S2+S+2=(S+2)(S2+1)=0S1=-2S2.3=j 例例 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试用劳斯判据试用劳斯判据 确定方程的根在确定方程的根在S平面上的分布。平面上的分布。解：解：S3-3S+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为劳斯表为:1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31=-s0 b41 2 -3-20 b31-通过因式分解验证通过因式分解验证:S3-3S+2=(S-1)2(S+2)=0S1.2=1S3=-2 如果劳斯表中某一行的元素全为零，如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统
13、中含有表示系统中含有绝对值相同但符号相异绝对值相同但符号相异的特征根的特征根,系统不稳定系统不稳定.此时此时,应以上一行应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式求导后，所得多项式的系数即可多项式求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根求得这些根.例例 已知控制系统的特征方程已知控制系统的特征方程,试判断试判断 系统的稳定性系统的稳定性由为零上一行由为零上一行的元素组成辅的元素组成辅 助多项式：助多项式：S6+2S5+8S4+12S3+20S2+16S+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为:
14、1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2S4+12S2+16dP(s)dS=8S3+24S代入代入0824s2 1668/3s1 s0 16 劳斯表中某行同乘以某正数，不影响劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定不稳定第七节第七节 控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差分析 一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差第三章第三章 时域分析法时域分析法系统误差：系统误差：一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳
15、态误差 及误差系数及误差系数 控制系统的典型结构控制系统的典型结构B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)_e(t)=r(t)-b(t)期望值与实际值的差值。期望值与实际值的差值。稳态误差：稳态误差：进入稳态后的误差值。进入稳态后的误差值。ess=lim e(t)t设设D(s)=0R(s)作用时作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)根据终值定理得根据终值定理得:essr=lim er(t)=lim sEr(s)ts0R(s)1+G(s)H(s)s0=lim s 系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统给定信号作用下的
16、稳态误差不仅与系统的输入有关，还与系统的结构有关。系统的输入有关，还与系统的结构有关。系统输入的一般系统输入的一般 表达式为表达式为:N系统开环传递函数系统开环传递函数 的一般表达式的一般表达式:R(s)=ASNmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=nm 输入信号的阶次输入信号的阶次 积分环节个数积分环节个数K 开环增益开环增益Tj i 时间常数时间常数系统的稳态误差系统的稳态误差 可表示为：可表示为：essr=lim SASNkS1+s0 对应于对应于为为0，1，2的系统，分别称的系统，分别称为为0型、型、I型和型和II型型系统。系统。1静态位置误差系数静态位置误
17、差系数Kp设设定义静态位置误差系数定义静态位置误差系数:r(t)=R0 1(t)R(s)=R0/Sessr=lim S 1+G(s)H(s)s0R0/SKp=lim G(s)H(s)s0KSs0=lim 1+limG(s)H(s)s0R0=mk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=essr=R01+Kp=0 kp=k R01+Kpessr=可得：可得：kp=essr=01 不同型别系统的阶跃响应曲线不同型别系统的阶跃响应曲线(a)(b)r(t)t0c(t)=0r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)12静态速度误差系数静态速度误差系数K设设定义静态速度误差系
18、数定义静态速度误差系数:r(t)=0tR(s)=0/S2essr=lim S 1+G(s)H(s)0/S2s0K=lim SG(s)H(s)s0lim SG(s)H(s)0s0=KS-1s0=limmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=essr=0K=0 k=0 可得：可得：essr=1 k=K essr=0K 2 k=essr=0不同型别时系统的斜坡响应曲线不同型别时系统的斜坡响应曲线:(a)r(t)t0c(t)r(t)c(t)=0r(t)t0c(t)(b)r(t)c(t)=1r(t)t0c(t)(c)r(t)c(t)23静态加速度误差系数静态加速度误差系数Ka设
19、设定义静态加速度误差系数定义静态加速度误差系数essr=lim S 1+G(s)H(s)a0/S3s0r(t)=a0t2 12R(s)=a0/S3Ka=lim S2G(s)H(s)s0lim S2G(s)H(s)a0s0=KS-2s0=limmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=essr=a0Ka1 ka=0 可得：可得：essr=essr=a0 K=2 ka=K 3 k=essr=0抛物线输入信号作用下的响应曲线抛物线输入信号作用下的响应曲线(a)r(t)t0c(t)r(t)c(t)1(b)r(t)t0c(t)r(t)c(t)=2在不同输入时不同类型系统中的稳态偏
20、差在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差系统的系统的开开 环环0型系统型系统型系统型系统型系统型系统系统的输入系统的输入单位阶跃输入单位阶跃输入 单位恒速输入单位恒速输入 单位恒加速输入单位恒加速输入000K1K1K+11 例例 已知系统的结构如图所示。求系统已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。的稳态误差。0.5_100S(S+10）R(s)C(s)解：解：G(s)H(s)=1000.5S(S+10)系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为+R(s)=S1S21s0Kp=lim G(s)H(s)=lim s0S(0.1S+1)5=ess1=0R(s)=S1R(s)=S21S(0.1S+1
21、)5 =s0K=lim SG(s)H(s)=limS s0S(0.1S+1)5=5 ess2=1/5essr=ess1+ess2=0.2+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差D(s)作用下的系统结构图作用下的系统结构图Ed(s)=D(s)-G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)R(s)=0essd=limS -G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0例例 已知系统的传递函数，已知系统的传递函数，求系统的稳态求系统的稳态 误差。误差。s(3s+1)5G2(s)=H(s)=2G1(s)=s+510G1(s)G2(s)H(s)=502S(S+5)(3S+1)r(t)=2td(t)=0.51(t)解：解：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为s(0.2s+1)(3s+1)20=R(s)=s22=0.1K222K20essr=D(s)=0.5/sessd=limS -G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s0ess=essr+essd=0.1-0.25=-0.15S(0.2S+1)(3S+1)S(3S+1)1+2052S0.5s0=lim S -=-0.25
