1、2.3.22.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 (一一)222bac|MF1|-|MF2|=2a（2aa0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,),0(),1(的夹角增大增大时，渐近线与实轴eace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e=?2(5)的双曲线是等轴双曲线离心率2exyo的简单几何性质二、导出双曲线)0,0(12222babxay-aab-b（1）范围）范围:ay
2、ay,（2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称（3）顶点）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线）渐近线:xbay（5）离心率）离心率:ace 小小 结结ax或ax ay ay或)0,(a),0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象例例1:求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：
3、把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 45 acexy34例题讲解例题讲解 12222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF 焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe
4、例例2:1、若双曲线的渐近线方程为、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线则双曲线的离心率为的离心率为 。2、若双曲线的离心率为、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角，则两条渐近线的夹角为为 。4,3yx 课堂练习课堂练习 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点(3,2 3)；与双曲线与双曲线221164xy有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2)例例3:求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：例题讲解例题讲解 法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22(3)(2 3
5、)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应的双曲线的应用用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.cx2aacM解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为
6、的距离为d，则，则|MFcda 即即222()xcycaaxc 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2(c2 a2)设设c2a2=b2，22221xyab (a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.一、第二定义一、第二定义 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离
7、与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线22221xyab 是相应于右焦点是相应于右焦点F(c,0)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆2axc 是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c,0)的的左准线左准线2axc xyoFlMF2axc l2axc 点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.想一想：想一想：中心在原中心在原点，焦点在点，
8、焦点在y轴上轴上的双曲线的准线的双曲线的准线方程是怎样的？方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(c,0)的是的是上准线上准线2yac 2yac 相应于下焦点相应于下焦点F(-c,0)的是的是下准线下准线2yac 2yac F例例2 2、点、点M M（x,yx,y）与定点）与定点F F（5,05,0），的距离），的距离和它到定直线：和它到定直线：的距离的比是常的距离的比是常数数 ,求点求点M M的轨迹的轨迹.l165x 54y0ld例例3、已知双曲线已知双曲线221,169xy F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点.设点设点A(9,2),在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 24
9、|5MAMF 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA165x 由已知：由已知：解：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:54e 作作MNl,AA1l,垂足分别是垂足分别是N,A1,N2|5|4MFMN 24|5MFMN A124|5MAMFMAMN 1|AA 当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2,解得解得:4 132x 4 13,2,3M 即即 29.5最最小小值值是是归纳总结归纳总结1.双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定
10、点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程双曲线的准线方程对于双曲线对于双曲线22221,xyab 准线为准线为2axc 对于双曲线对于双曲线22221yxab 准线为准线为2ayc 注意注意:把双曲线和椭圆的知识相类比把双曲线和椭圆的知识相类比.椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数
11、）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系二、直线与双曲线的位置关系1)位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线
12、的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点）=0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离相切一点相切一点:=0相相 离离:0 注注:相交两点相交两点:0 同侧：同侧：0 异侧异侧:0 一点一点:直线与渐进线平行直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的位置关系中：位置关系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支两解，两解不一定同支例例.已知直线已知直线y=kx-1与双曲线与双曲
13、线x2-y2=4,试讨论实数试讨论实数k的取的取值范围值范围,使直线与双曲线使直线与双曲线(1)没有公共点没有公共点;(2)有两个公共点有两个公共点;(3)只有一个公共点只有一个公共点;(4)交于异支两点；交于异支两点；(5)与左支交于两点与左支交于两点.(3)k=1，或，或k=；52(4)-1k1；(1)k 或k ；525252(2)k ；52125-k1 k且且1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条.变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;
14、2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_01，3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 13422yx32 3，2例例4、如图，过双曲线、如图，过双曲线 的右焦点的右焦点倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。22136xy2,F30三、弦长问题三、弦长问题练习练习:1.1.
15、过双曲线过双曲线116922yx的左焦点的左焦点 F1 1作倾角为作倾角为4的直线与双曲线的直线与双曲线 交于交于A A、B B两点，则两点，则|ABAB|=|=.2.2.双曲线的两条渐进线方程为双曲线的两条渐进线方程为20 xy，且截直线，且截直线30 xy所得弦长为所得弦长为8 33，则该双曲线的方程为（，则该双曲线的方程为（）(A)(A)2212xy (B)(B)2214yx (C)(C)2212yx (D)(D)2214xy 1927韦达定理与点差法韦达定理与点差法例例.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：求：(1)以以2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹；(
16、2)过定点过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹；(3)以定点以定点B(2,1)为中点的弦所在为中点的弦所在的直线方程的直线方程.(4)以定点以定点(1,1)为中点的弦存在吗？为中点的弦存在吗？说明理由；说明理由；例.2 22 2y y给给定定双双曲曲线线x-=1,x-=1,过过点点A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直线线L L2 2使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P,Q,P,Q,且且A A是是线线段段PQPQ的的中中点点?说说明明理理由由.11221122解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的
17、两点,且PQ的中点为A,则有:且PQ的中点为A,则有:2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-=1x-=12 2y yx-=1x-=12 212121212121212122(x+x)(x-x)=(y+y)(y-y)2(x+x)(x-x)=(y+y)(y-y)，即方程为12121212y-yy-y=2k=2L:y-1=2(x-1)=2k=2L:y-1=2(x-1)x-xx-x2 揶 V2 22 22 2y yx-=1x-=1x-4x+3=0 0 x-4x+3=00,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上，OAOB OAOB，即，即x
18、x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0,+1)=0,(a(a2 2+1)x+1)x1 1x x2 2+a(x+a(x1 1+x+x2 2)+1=0,)+1=0,解得解得a=a=1.1.(1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a+1)+a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称，若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，
19、说明理由.3、设双曲线、设双曲线C：与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 1317,06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明
20、：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。12FF、12|PFPF、12|FF 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
