1、原子结构的量子理论第一章第一章 固体中电子能量结构和状态固体中电子能量结构和状态 原子由原子核和核外电子组成。一般的，在堆积成各种材料前后，各种元素的原子其原子核的状态没有变化，而只有部分核外电子的状态发生变化。原子间的结合类型：金属键、离子键、共价键、分子键、氢键原子间的结合类型：金属键、离子键、共价键、分子键、氢键晶体中原子堆积方式为晶体中原子堆积方式为晶体结构晶体结构：共有：共有14种空间点阵种空间点阵材料中的材料中的电子能量结构电子能量结构：依赖于原子种类、结合类型、堆积方式：依赖于原子种类、结合类型、堆积方式 材料是由原子堆积而成，可分为晶体和非晶体两大类材料是由原子堆积而成，可分为
2、晶体和非晶体两大类 材料的各种物理性能，例如硬度、导电、透明度、磁材料的各种物理性能，例如硬度、导电、透明度、磁性、弹性等等，本质上都是由于性、弹性等等，本质上都是由于材料原子的核外电子的相材料原子的核外电子的相互作用互作用所决定的。所决定的。1学习交流PPT金刚石和石墨2学习交流PPT金刚石的原子结构金刚石的原子结构碳原子示意图碳原子示意图3学习交流PPT石墨和晶体结构石墨和晶体结构 如此差异，原子核的状态没有区别，只是因为核外的电子能态不同而造成的 材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶体结构、材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶体结构、电子能量结构与状态，这三者之中尤其以电
3、子的能量与状态最电子能量结构与状态，这三者之中尤其以电子的能量与状态最为重要。为重要。因果关系体现在什么地方？因果关系体现在什么地方？4学习交流PPT本章内容 第一章为描述、分析材料的物理性能提供理论第一章为描述、分析材料的物理性能提供理论工具，后六章相对独立，分别介绍了各种不同的物工具，后六章相对独立，分别介绍了各种不同的物理性能。理性能。材料物理性能主要依赖于材料中的电子结构，材料物理性能主要依赖于材料中的电子结构，因此第一章的理论主要针对因此第一章的理论主要针对电子在不同情况下的电子在不同情况下的能量结构和状态能量结构和状态，因此第一章的关键词：，因此第一章的关键词：电子行电子行为描述。
4、为描述。主要内容有：主要内容有：电子的波动性电子的波动性金属的费密（金属的费密（Fermi）-索末菲（索末菲（Sommerfel）电子理论电子理论晶体能带理论晶体能带理论内容先后基本按照人类对电子行为认识的逐渐深入5学习交流PPT霍尔效应霍尔效应(Hall effect)I+_+-EHBhb-B-ev以金属导体为例：以金属导体为例：金属中的电流就是自由金属中的电流就是自由电子的定向移动（与电电子的定向移动（与电流反向）。流反向）。BveFm 自由电子受洛仑兹力作用导致正、负电荷相对自由电子受洛仑兹力作用导致正、负电荷相对集中集中,产生产生Hall电场电场.EH金属的上下表面出现电势金属的上下表
5、面出现电势差差霍尔电势差霍尔电势差。1.1.1电子的粒子性电子的粒子性6学习交流PPTI+_+-EHBhb-B-evBveFm HeEeF 平衡时，平衡时，0FFem BvEH vBEH 横向电势差为：横向电势差为：vBhhEUHH nbhevnSevI 又又bIBne1UH neRH1 Hall系数，仅与导体材料有关。系数，仅与导体材料有关。7学习交流PPTbIBne1UH Hall效应的应用：效应的应用：（1）测量载流子浓度）测量载流子浓度(n)（2）测量磁感应强度）测量磁感应强度（3）判断半导体载流子的种类）判断半导体载流子的种类半导体有两种载流子：半导体有两种载流子：电电子子导导电电型
6、型空空穴穴导导电电型型np 对对Hall效应来说，正电荷的运动与等量效应来说，正电荷的运动与等量负电荷的反向运动并不等效！负电荷的反向运动并不等效！8学习交流PPTp p型半导体型半导体9学习交流PPTn n型半导体型半导体10学习交流PPT第一节1.1.2电子的波动性电子的波动性微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性1、光量子的波粒二象性、光量子的波粒二象性hvE 光子理论成功的解释了光的发射和吸收，爱因斯坦由此获得了1921年诺贝尔物理学奖 普朗克常量 sJ1063.634h 1905年，爱因斯坦（26岁）为解释光电效应，提出光是由一种微粒光子组成，频率为 的光子能量v2、微观粒子的波粒
7、二象性、微观粒子的波粒二象性1924年法国物理学家德布罗意（年法国物理学家德布罗意（32岁）提出物质岁）提出物质波的假说波的假说11学习交流PPT一个能量为一个能量为 E、动量为、动量为P 的粒子，同时也具有波动性的粒子，同时也具有波动性mvhph 德布罗意波长hmchE2 1927年被美国贝尔实验室德戴维森和革末的年被美国贝尔实验室德戴维森和革末的电子衍射实验所验证，两人因此获电子衍射实验所验证，两人因此获1937年的诺贝年的诺贝尔物理学奖。尔物理学奖。3、波粒二象性是一切物质具有的普遍属性、波粒二象性是一切物质具有的普遍属性频率E为相对论能量12学习交流PPT例例 计算电子经过计算电子经过
8、U1=100V和和U2=10000V的电压加速的电压加速后的德布罗意波长后的德布罗意波长1和和2分别是分别是 多少？多少？解解：经过电压经过电压U加速后，电子的动能为加速后，电子的动能为eUm 221 meU2 根据德布罗意公式，此时电子的波长为：根据德布罗意公式，此时电子的波长为：Uemhmh12 将已知数据代入计算可得：将已知数据代入计算可得：1=0.123nm，2=0.0123 nm（误差较小，未（误差较小，未考虑相对论效应）考虑相对论效应）13学习交流PPT14学习交流PPT1.1.3 波函数波函数波函数是微观粒子运动的数学描述形式波函数是微观粒子运动的数学描述形式经典力学中斜抛运动的
9、数学描述为20021sincosgttvHytvx 物质波的描述方法思想与经典粒子不同，物质波是一种具有统计规律的几率波，设为),(tzyx 粒子在有限空间出现的几率 dcdw2 令 c成为归一化波函数则12 d归一性归一性有限性有限性15学习交流PPT电子云示例n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=0ml=1ml=1ml=2含Z 轴的剖面上的电子云示意图“电子云”代表微观粒子在空间出现的几率密度，若用点子 疏密 密程度表示粒子在空间出现的几率密度，这种图形称为电子云（描电子波动的一个工具，定性分析，较为形象，但不是真实的图像）2 16学习交流PPT1.1.4 薛定谔
10、（Schodinger）方程 电子在不同的条件下运动，其薛定谔方程的具体形式不同，由此得到的波函数不同 考虑方向时，考虑方向时，K为矢量，称波矢量，以为矢量，称波矢量，以K为自变量的为自变量的三维坐标轴成为三维坐标轴成为K空间，描述电子的行为就在空间，描述电子的行为就在K空间中空间中Et)(pxiEt)(pxh2iAeAe 一维传播的平面波可以表示为 )(2cos,txAtxY （只体现波动性）引入波数 2 K考虑德布罗意假设以及归一化条件，波函数表示为222222KmmhE 电子能量电子能量17学习交流PPT定态波函数定态波函数 电子运动所在的势场其势能只是坐标的函数，则电子在其中运动状态总
11、会达到一个稳定态，可表示为pxiAex)(电子在空间出现的几率密度和时间无关薛定谔方程的建立的主要思路)(4)(22222xphdxxd 因mEP22（非相对论形式，E为经典粒子动能）0)(2)(222 xmEdxxd 此为一维条件下自由电子的薛定谔方程18学习交流PPT如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合)(22UEmP 0)()(2)(222 xUEmdxxd 三维空间中三维空间中0)()(2)(22 xUEmx 2222222zyx 拉普拉斯算符)(U(r)(2)(22ttmtti 非相对论非定态形式19学习交流PPT 波函数的性质波函数的
12、性质 有限性：有限性：在空间任何有限体积元在空间任何有限体积元 V 中找到中找到 归一性：归一性：在空间各点的概率总和必须为在空间各点的概率总和必须为1。根据波函数的统计解释，它应有以下性质：根据波函数的统计解释，它应有以下性质：)d(2VV 必须为有限值。必须为有限值。粒子的概率粒子的概率 单值性：单值性：连续性：连续性：度在任意时刻、任意位置都是确定的。度在任意时刻、任意位置都是确定的。波函数应单值，波函数应单值，从而保证概率密从而保证概率密及其一阶导数是连续的。及其一阶导数是连续的。势场性质和边界条件要求波函数势场性质和边界条件要求波函数20学习交流PPT 由于进行了量子力学的基本研究，
13、特别是由于进行了量子力学的基本研究，特别是对波函对波函数作出的统计解释，数作出的统计解释，获得获得1954年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。玻恩玻恩（M.Born，英籍德国人，英籍德国人，18821970）波函数由薛定谔方程确定，应该体现粒波函数由薛定谔方程确定，应该体现粒子的波粒二象性子的波粒二象性:波指得是波动性，指粒子能波指得是波动性，指粒子能发生衍射、干涉等现象；粒子性主要指粒子发生衍射、干涉等现象；粒子性主要指粒子的能量是不连续的、是量子化的。的能量是不连续的、是量子化的。222222nnKmmhE 在自由状态下，在自由状态下，E、K都是连续的，但一般说来电子不都是连续的，但一般说
14、来电子不可能处于完全自由态，电子的运动总是受到各种限制，称为可能处于完全自由态，电子的运动总是受到各种限制，称为束缚态，束缚态下的电子的能量束缚态，束缚态下的电子的能量E和波矢和波矢K都是连续的都是都是连续的都是量子化的量子化的21学习交流PPT1.2 金属的费密（金属的费密（Fermi）-索末菲（索末菲（Sommerfel）电子理论电子理论对固体电子能量结构和状态的认识，大致分为三个阶段1、经典自由电子学说，电子能量服从经典麦克斯韦波尔兹曼分布2、量子自由电子学说，电子能量服从费密狄拉克分布3、能带理论，电子不是完全自由引入了周期势场 这三个阶段体现了人们对电子运动认识的逐渐深入，对电子运动
15、的数学描述也更加符合实际情况。晶体中的电子与单原子周围的电子不同，描述电子晶体中的电子与单原子周围的电子不同，描述电子的主要物理量是能量的主要物理量是能量E22学习交流PPT1.2.1 金属中自由电子的能级金属中自由电子的能级一维情况，建立一维势阱模型边界条件 )()0(,0)(LUUxU0L0)(xU )()0(LUU电子能量222222KmmhE 代入一维薛定谔方程0)(2)(222 xmEdxxd 0)()2()(222 xdxxd 解得xBxA 2sin2cos 23学习交流PPT由边界条件0)0(,0 x0)(,LLx 0 A则xB 2sin 由归一化条件1)(02 dxxL 得LB
16、/2 由边界条件.3,2,1,2 nnL xLnLxLx sin/22sin/2)(得,.3,2,1,28222222 nnmLnmLhE自由电子能量金属丝中自由电子的能量不是连续的，是量子化的金属丝中自由电子的能量不是连续的，是量子化的.波粒二象性中的粒子性主要就是体现在能量量子化波粒二象性中的粒子性主要就是体现在能量量子化24学习交流PPT三维情况类似,.3,2,1),(822222nnnnmLhEzyxn 区分电子，以量子数为量度。区分电子，以量子数为量度。若几个状态对应同一能级，则称之为简并。考虑到自旋（两个电子能量相同，自旋角动量大小相同，但方向可以相反，），金属中的自由电子至少是二
17、重简并。能级之间能量差很小，称为能级之间能量差很小，称为准连续能谱准连续能谱例如量子数和波函数例如量子数和波函数2,1 xzynnn2,1 zyxnnn2,1 yzxnnnLzLyLxAzyx 2sin1sin1sin),(112 LzLyLxAzyx 1sin1sin2sin),(211 LzLyLxAzyx 1sin2sin1sin),(121 25学习交流PPT1.2.2自由电子能级密度考虑波恩卡曼周期性边界条件),(),(),(),(LzyxzLyxzyLxzyx 由测不准关系 为了计算金属中自由电子的能量分布，需要了解电子的能级密度,定义 ，其中Z（E）为E到EdE范围内的总状态数，
18、其意义是单位能量范围内所能容纳的电子数。dEdNEZ)(LPKxx 2 每个点所占据K空间体积为3)2(L 单位体积所含电子数338)2(VL hpxx 26学习交流PPT考虑电子自旋，能量为E其以下低能级的状态总数为 2/3233)2(33482)(mEVKVEN 对E微分ECEmVdEdNEZ 2/12/32)2(2)(自由电子体系只是一个简单模型，实际情况更为复杂自由电子体系只是一个简单模型，实际情况更为复杂二维情况二维情况一维情况一维情况21)(EEZ常数常数)(EZ三维情况三维情况27学习交流PPT1.2.3 自由电子按能级分布自由电子按能级分布具有能量为E的状态被电子占有的几率为1
19、exp1)(KTEEEfF自由电子分布服从费密狄拉克分布FE为费密能，是一个参照能量能量在E和EdE之间的电子数1exp)()(KTEEdEECdEEfEZdNF21)(,EfEFE28学习交流PPT2/3002/10)(321)()(00FEEECdECEdEEZEfNFF1)(,0)(,EfEEEfEEFF温度对电子分布的影响KT0 在在0K时，能量等于和小于费密能的能级全被占满，而能时，能量等于和小于费密能的能级全被占满，而能量大于费密能的能级全部空着。量大于费密能的能级全部空着。0K时的费密能是一个重要的物理量于是0K时系统的自由电子数为322320)8/3(2)23(nmhCNEF
20、n是单位自由体积电子数29学习交流PPT002/1053NN0FEEdECEEEF总能量0K时自由电子平均能量0K时自由电子的能量不为时自由电子的能量不为0，与经典结果不同。，与经典结果不同。这是由于这是由于0K时，电子不能都集中到最低能级去，时，电子不能都集中到最低能级去，否则违反否则违反泡利不相容原理泡利不相容原理泡利不相容原理类似于一个座位不能坐两个人泡利不相容原理类似于一个座位不能坐两个人30学习交流PPT温度高于0K条件下21)(,EfEEF可得可得 21)(,0)(,1)(,1)(,EfkTEEEfEEEEEfkTEEEfEEEEFFFFFF 只有能量在费密能级左右只有能量在费密能
21、级左右kT范围内的电范围内的电子，其占有几率较高，能占据较高能级。能子，其占有几率较高，能占据较高能级。能量很高的电子占有几率极低量很高的电子占有几率极低0FE1.0)(EfE31学习交流PPT)(1251 532020FFEkTEE )(1212020FFFEkTEE 在温度高于在温度高于0K条件下条件下 电子平均能量略有提高，费密能略有下降，可以电子平均能量略有提高，费密能略有下降，可以认为费密能不随温度变化认为费密能不随温度变化 温度变化时，只有一小部分的电子受到温度影响。温度变化时，只有一小部分的电子受到温度影响。所以量子自由电子学说正确解释了金属电子比热容较所以量子自由电子学说正确解
22、释了金属电子比热容较小的原因，其值只有德鲁特理论值的百分之一。小的原因，其值只有德鲁特理论值的百分之一。32学习交流PPT1.3 晶体能带理论基本知识概述晶体能带理论基本知识概述 量子自由电子学说比较经典电子理论有量子自由电子学说比较经典电子理论有巨大的进步，但模型过于简化，解释和预测的实巨大的进步，但模型过于简化，解释和预测的实际问题仍遇到不少困难。际问题仍遇到不少困难。镁是二价金属，但导电性比铜差镁是二价金属，但导电性比铜差隧道效应：电子动能小于位垒高度也能穿过隧道效应：电子动能小于位垒高度也能穿过固体的导电性有很大差别固体的导电性有很大差别 能带理论在量子自由学说的基础上更能带理论在量子
23、自由学说的基础上更进一步，考虑了晶体原子的进一步，考虑了晶体原子的周期势场周期势场对电对电子运动的影响，建立的物理模型更加接近子运动的影响，建立的物理模型更加接近事实，但数学描述也更加复杂。事实，但数学描述也更加复杂。33学习交流PPT1.3.1周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子为了简化数学描述，能带理论假设：为了简化数学描述，能带理论假设：1、点阵是完整的、点阵是完整的2、晶体无穷大，不考虑表面效应、晶体无穷大，不考虑表面效应3、不考虑离子热运动、不考虑离子热运动4、不考虑电子间的相互作用、不考虑电子间的相互作用34学习交流PPTVr+aE1E2周期势场，对电子的作用准自由电子35学习
24、交流PPT)()(xUNaxU 0)()(2)(22 xUEmx 代入薛定谔方程代入薛定谔方程 得到准自由电子的波函数，在势阱内，得到准自由电子的波函数，在势阱内，U=0，电子能级，电子能级状态不受影响，但是在势阱临界状态，其能级不同于自由电状态不受影响，但是在势阱临界状态，其能级不同于自由电子，出现断层。子，出现断层。P19 图图1.10周期势场的数学描述周期势场的数学描述36学习交流PPT禁带起因禁带起因 周期场的效应，在每一个临界周期场的效应，在每一个临界K处，自由电子的能级分处，自由电子的能级分裂成两个不同的能级，即裂成两个不同的能级，即能隙能隙。在两个能级之间的能量范围。在两个能级之
25、间的能量范围是不允许的，薛定谔方程无类波解。是不允许的，薛定谔方程无类波解。（能带的分界就是禁带）（能带的分界就是禁带）电子共有化电子共有化：由于晶体中原子的周期性排列，价电子不再为由于晶体中原子的周期性排列，价电子不再为单个原子所有的现象。单个原子所有的现象。共有化的电子可以在不同原子中的相共有化的电子可以在不同原子中的相似轨道似轨道上转移，可以在整个固体中运动。上转移，可以在整个固体中运动。能带能带 量子子力学证明，由于晶体中各原子间的相互影响，原量子子力学证明，由于晶体中各原子间的相互影响，原来各原子中能量相近的能级将分裂成一系列和原能级接近来各原子中能量相近的能级将分裂成一系列和原能级
26、接近的新能级。的新能级。这些新能级基本上连成一片，形成这些新能级基本上连成一片，形成能带能带 37学习交流PPT 禁带和允带：允许被电子占据的能带称为允带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。原子壳层中的内层允带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允带。被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。价带：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。导带：价带以上能量最低的允许带称为导带。能带理论的基本概念能带理论的基本概念 电子进入导带才能进行迁移，参与导电。因此固固体的导电能力就依赖于导带中是否有电子占据，或是导带下体的导电
27、能力就依赖于导带中是否有电子占据，或是导带下的电子是否能进入导带参与导电的电子是否能进入导带参与导电满带、空带、价带、导带都是允带满带、空带、价带、导带都是允带38学习交流PPT金属镁（金属镁（12个核外电子）的能带结构个核外电子）的能带结构 最上面满带和一个空带重叠最上面满带和一个空带重叠1s2s2p3s镁镁(1s2 2s2 2p6 3s2)晶体能带晶体能带3s 电子可分布在电子可分布在 3p 能带中能带中3p39学习交流PPTE某些一价金属，某些一价金属，如如:Li,Na,K,Cu,Al,Ag 最外层最外层导带导带 某些二价金属，某些二价金属，如如:Be,Ca,Mg,Zn,Ba 满带满带
28、导带导带E 能带理论应用能带理论应用：导体、半导体、绝缘体导电性的巨大差别：导体、半导体、绝缘体导电性的巨大差别 在外电场的作用下，电子容易从低能级跃迁到高能在外电场的作用下，电子容易从低能级跃迁到高能级，形成集体的定向流动级，形成集体的定向流动(电流电流)，显出很强的导电能力。，显出很强的导电能力。(1)价带半满，没有满带，最外层电子就处于导带价带半满，没有满带，最外层电子就处于导带 (2)有满带，但满带和空带有满带，但满带和空带(或导带或导带)重叠，电子很容易进入导带重叠，电子很容易进入导带导体导体40学习交流PPTE 导带导带 满带满带Eg=0.12eV禁带禁带本征本征(纯净纯净)半导体
29、半导体半导体半导体本征半导体本征半导体(intrinsic semiconductor)是指纯净的半导体，导电性能介于导是指纯净的半导体，导电性能介于导体与绝缘体之间。体与绝缘体之间。能带结构能带结构半导体的禁带宽度很小半导体的禁带宽度很小(E Eg g=0.1=0.12eV)2eV)，加热、光照、加加热、光照、加电场都能把电子从满带激发到空带中去，同时在满带中形成电场都能把电子从满带激发到空带中去，同时在满带中形成“空穴空穴”(hole)(hole)。(2)(2)导电机制导电机制 在电场作用下，电子和空穴均可导电，它们称作在电场作用下，电子和空穴均可导电，它们称作本征载流本征载流子；子；它们
30、的导电形成半导体的它们的导电形成半导体的本征导电性本征导电性。41学习交流PPTE 空带空带 导带导带 满带满带禁带禁带Eg=36eV绝缘体绝缘体禁带较宽禁带较宽(相对于半导体相对于半导体)，禁带宽度，禁带宽度 Eg=Eg=3 36 eV 6 eV 一般的热激发、光激发或外加电场不太强一般的热激发、光激发或外加电场不太强时，满带中的电子很难能越过禁带而被激发时，满带中的电子很难能越过禁带而被激发到空带上去。到空带上去。当外电场非常强时，电子有可能越过禁带当外电场非常强时，电子有可能越过禁带跃迁到上面的空带中去形成电流，这时绝缘跃迁到上面的空带中去形成电流，这时绝缘体就被击穿而变成导体了。体就被
31、击穿而变成导体了。绝缘体绝缘体 金钢石金钢石 氧化锌氧化锌 氯化银氯化银 硫化钙硫化钙 eV 5.33 3.2 3.2 2.42 半导体半导体 硅硅 锗锗 碲碲 锑化锢锑化锢 eV 1.14 0.67 0.33 0.23 能能 隙隙(eV)42学习交流PPT能带理论对于导电差异简单解释 导体中存在自由电子，价带半满或是价带和导带相连，在外电场作用下，自由电子可以直接进入导带参与导电，电子的迁移率较高，因此导体的导电能力较强。半导体的价带和导带之间存在一个较小的能隙，称为禁带。在较低温度的时候，由于能量较低，价带电子不能进入导带参与导电，因此低温下的半导体几乎不导电。而在较高温度下，价带电子可以
32、激发进入导带，形成导带电子，同时在价带中形成一个空穴，导带中的电子和价带中的空穴都作为载流子可以在外电场的作用下迁移，参与导电过程。半导体在较高温度下可以导电，但导电能力较导体要弱。绝缘体中几乎不存在自由电子，价带和导带之间存在一个较大的能隙（一般绝缘体中大于3eV），即使在较高温度下，热激发也不足以使价带电子进入导带，因此绝缘体几乎不导电。材料的物理性能就是其内部电子能量结构和状态的材料的物理性能就是其内部电子能量结构和状态的体现，这应该用能带理论来解释，来描述，限于课程内体现，这应该用能带理论来解释，来描述，限于课程内容，只能做一些简单的定性或半定量解释。容，只能做一些简单的定性或半定量解释。43学习交流PPT推荐书籍推荐书籍1.1.新量子世界，新量子世界，英英 安东尼安东尼黑黑,帕特里克帕特里克沃尔特沃尔特斯斯 著，雷奕安著，雷奕安 译译 湖南科学技术出版社湖南科学技术出版社20052005年年5 5月月2.2.物理定律的本性，物理定律的本性，美美RRP P费曼费曼 著，关洪著，关洪 译译 湖湖南科学技术出版社南科学技术出版社20052005年年2 2月月3.3.费曼讲物理入门，费曼讲物理入门，美美RRP P费曼费曼 著，麦克诚著，麦克诚 译译 湖南科学技术出版社湖南科学技术出版社20042004年年5 5月月44学习交流PPT
