1、第15讲：反比例函数及其应用( 二） 中考数学系统班 刷题进行时 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上，反比例函 数 y k x （x0）的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C若菱形 OABC 的面积 为 12，则 k 的值为（ ） 一、选择题一、选择题 A6 B5 C4 D3 刷题进行时 解：解：如图，连接 AC，四边形 OABC 是菱形，AC 经过点 D，且 D 是 AC 的中点 设点 A 的坐标为（a，0） ，点 C 坐标为（b，c） ， 则点 D 坐标为（ 2 ab+ ， 2 c ） 点 C 和点 D 都在反比例函数 y= k x 的图
2、象上， bc= 2 ab+ 2 c ，a=3b； 菱形的面积为 12，ac=12，3bc=12，bc=4，即 k=4故选 C 刷题进行时 2.如图，已知 A 为反比例函数 k y x =（x0）的图像上一点，过点 A 作 ABy轴，垂 足为 B.若OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A.2 B. -2 C. 4 D.-4 x y x y O -6 O O O BC A A B B A P E F 解解：如图，ABy 轴， SOAB2，而 SOAB 1 2 |k|， 1 2 |k|2， k0，k4故选 D 刷题进行时 3.如图，点 A 的坐标是(2，0)，点 B 的坐标是(0，6)，C
3、为 OB 的中点，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 90 后得到ABC若反比例函数 y k x 的图象恰好经过 AB 的 中点 D，则 k 的值是（ ） A9 B12 C15 D18 x y DA C C B AO 解：解：取取 AB 的中点（的中点（1，3） ，） ， 旋转后旋转后 D（3，5） k3 515，选，选 C 解：因为反比例函数 的图像在二四象限， 如图，将A,B,C三点在图像上表示， 答案为B 刷题进行时 4. 若点 A(-3，y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数 x y 12 的图像上，则 y1，y2，y3的 大小关系是（ ） (A) y2y1y3 (B) y
4、3 y1 y2 (C) y1 y2y3 (D) y3 y2y1 x y 12 刷题进行时 5.若点 A（4，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）都在反比例函数 y= 的图象上， 则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy1y3y2 解：点 A（4，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）都在反比例函数 y= 的图象 上，y1= = ，y2= = ，y3= ， 又 ，y3y1y2 故选：C 刷题进行时 解：函数 yx+k 与 y= （k 为常数，且 k0） ， 当 k0 时，yx+k 经过第一、二、四象限， y= 经过第一、三象限，故选项
5、 A、B 错误， 当 k0 时，yx+k 经过第二、三、四象限，y= 经过第二、四象限， 故选项 C 正确，选项 D 错误，故选：C 解：分别过点 A、B 作 x 轴的垂线 AC 和 BD，垂足为 C、D. 则BDOOCA， 2 S =() S BDO OCA BD OA SBDO= 5 2 ，SACO= 1 2 ， 2 () =5 BD OA ， tanBAO=5 BD OA 刷题进行时 二、填空题二、填空题 1.如图， RtAOB 中， AOB=90 ， 顶点 A， B 分别在反比例函数 1 (0)yx x 与 5 (0)yx x 的图象上则 tanBAO 的值为 刷题进行时 2.如图，A
6、、B 两点在反比例函数 x k y 1 的图像上，C、D 两点在反比例函数 x k y 2 的图像上，ACx 轴于点 E，BDx 轴于点 F，AC=2，BD=4，EF=3， 则 12 kk =_ 解：设 A（m， m k1 ） B（m， m k2 ） C（n， n k1 ） D（n， n k2 ） 由题意得：m-n=3 2 12 m kk 4 21 n kk 联立三个式子，解得：4 12 kk 解：如图，过点 D 作 DFy 轴于点 F， 则由 CEx 轴于点 E 可知：SOCEk，SODF2k COE 的面积与DOB 的面积相等，SOBDSFBD 易知 A(2，0)，B(0，1)， 从而 O
7、BBF1，OF2令 D(m，2)， 则由 D 点在直线 y 1 2 x1 上，得2 1 2 m1， 解得 m2，故 D(2，2)，从而 2k(2) (2)，解得 k2 刷题进行时 3.如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 1 2 x1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 B，分别交反比例函数 y1 k x （k0，x0） ，y2 2k x （x0）的图像于点 C 和点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E，连结 OC，OD若COE 的面积与DOB 的面积相等，则 k 的值是 刷题进行时 4.在平面直角坐标系xOy中，点(3 ,2 )A mn在直线1yx 上，点( , )B m n
8、在双曲线 k y x 上，则k的 取值范围为 解： 点(3 ,2 )A mn在直线1yx 上，231nm ，即 31 2 m n ， 31 ( ,) 2 m B m ， 点B在双曲线 k y x 上， 2 31311 () 22624 m kmm ， 3 0 2 ，k有最大值为 1 24 ，k的取值范围为 1 24 k， 故答案为 1 24 k 刷题进行时 三、解答题三、解答题 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=kx+b(k0)的图象与反比例函数 y2= (m0)的图象相交于第一、三象限内的 A（3，5） ，B（a,-3）两点，与 x 轴交 于点 C. （1）求该反比例函数和一次函
9、数的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P 使 PB-PC 最大，求 PB-PC 的最大值及点 P 的坐标； （3）直接写出当 y1y2时，x 的取值范围. 解： （1）A（3,5）代入 y2= 得，5= ，m=15.反比例函数是 y2= . 当 y2=-3 时，-3= ，x=-5，B 坐标为（-5，-3）. 将 A（3,5） ，B（-5，-3）代入 y1=kx+b 得， + = + = 解得， = = .一次函数为 y1=x+2. （2）令 y1=0 时，x+2=0,x=-2.点 C 坐标为（-2,0）. 令 x=0，则 y1=2.点 D 坐标为（0，-2）. 连接 PB，PC， 当 B，C
10、 和 P 不共线时，由三角形三边关系，PBPCBC； 当 B，C 和 P 共线时，PBPC=BC， PBPCBC. 由勾股定理可知，BC= ( + )+ ( )= . 当 P 与 D 重合，即 P 为（0,2）时，PB-PC 取最大值，最大值为 . 刷题进行时 刷题进行时 2.如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 y m x 的图象在第二象限交于点 B， 与 x 轴交于点 C， 点 A 在 y 轴上， 满足条件： CACB， 且 CACB，点 C 的坐标为（3，0），cosACO 5 5 （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kxb
11、 m x 的解集。 解：（1）如图作 BHx 轴于点 H ,则BHCBCACOA90 , BCHCAO, 点 C 的坐标为(3,0) OC3, cosACO 5 5 ,AC35, AO6, 在BHC 和COA 中，有90 BCAC BHCCOA BCHCAO BHCCOA BHCO3，CHAO6OH9，即 B (9,3) m9 327反比例函数解析式为 y 27 x （2）因为在第二象限中， B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方 所以当 x0 时，kxb m x 的解集为9x0. 刷题进行时 刷题进行时 3.已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于点 A,
12、与 x 轴交于点 B(5,0),若 OBAB,且 SOAB 15 2 . (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)若点 P 为 x 轴上一点,ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 刷题进行时 刷题进行时 (2)设点 P(x,0),A(9,3),B(5,0),AB2(95)2+3225, AP2(9x)2+32x218x+90,BP2 (5x)2x210x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论: 令 AB2AP2,得 25x218x+90,解之,得:x15,x213,当 x5 时, 点 P 与点 B 重合,故舍去,P1(13,0); 令 AB2BP2,得 25x210x+25,解之
13、,得:x30,x410,当 x0 时, 点 P 与原点重合,故 P2(0,0),P3(10,0); 令 AP2BP2,得 x218x+90x210x+25,解之,得:x 65 8 ,P4( 65 8 ,0); 综上所述,使ABP 是等腰三角形的点 P 的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4( 65 8 ,0). 解： （1）把点 P（2，1）代入反比例函数 m y x ，得：1 2 m ，m=2； （2）由（1）可知反比例函数解析式为 2 y x ， 2 4kx x ， 整理得： 2 420kxx， 双曲线与直线有两个不同的交点，0 即： 2 ( 4)4( 2)0k
14、 解得：k2 又k0，k 的取值范围为2k0 刷题进行时 4.如图，双曲线 m y x 经过点 P（2，1） ，且与直线 y=kx4（k0）有两个不同的 交点 （1）求 m 的值； （2）求 k 的取值范围 刷题进行时 5.如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A（m，4） 、B（2，n） 两点，与坐标轴分别交于 M、N 两点 （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 kx+b 0 中 x 的取值范围； （3）求AOB 的面积 刷题进行时 解：（1）点 A 在反比例函数 y= 上， =4，解得 m1， 点 A 的坐标为（1，4） ， 又点 B 也在反比例函数 y
15、= 上， =n，解得 n2， 点 B 的坐标为（2，2） ， 又点 A、B 在 ykx+b 的图象上， + = + = ，解得 = = ， 一次函数的解析式为 y2x+6 （2）根据图象得：kx+b 0 时，x 的取值范围为 x0 或 1x2； （3）直线 y2x+6 与 x 轴的交点为 N， 点 N 的坐标为（3，0） ，SAOBSAONSBON= 3 4 3 23 刷题进行时 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+5 和 y2x 的图象相交于点 A，反比例函数 y= 的图象经过点 A （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数 y= x+5 的图象与反比例函数 y= 的图象的另一个交点为 B，连 接 OB，求ABO 的面积 解：（1）由 = + = 得 = = ，A（2，4） ， 反比例函数 y= 的图象经过点 A，k2 48， 反比例函数的表达式是 y= ； （2）解 = = + 得 = = 或 = = ，B（8，1） ， 由直线 AB 的解析式为 y= x+5 得到直线与 x 轴的交点为（10，0） ， SAOB= 10 4 10 115 刷题进行时
