1、2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究核心素养核心素养：空间观念、推理能力、几何直观、抽象能力空间观念、推理能力、几何直观、抽象能力一、思维导一、思维导图图二、考情分二、考情分析析甘肃中考近三年考查情况甘肃中考近三年考查情况省卷省卷兰州卷兰州卷年份年份/分值分值2024/15分分2023/11分分2022/8分分2024/6分分2023/15分分2022/12分分尺规作图尺规作图20.三等分圆三等分圆(1)根据作图根据作图步骤作图步骤作图(2)求三角形求三角形的周长的周长5.与尺规作与尺规作图痕迹有关图痕迹有关的计算的计算20四等分四等分圆圆(根据作图根据
2、作图步骤作图步骤作图)21.三等分角三等分角(1)根据根据作图作图步骤步骤作图作图(2)求角之间求角之间的关系的关系23.作直角作直角(1)根据作图步骤根据作图步骤作图作图(2)填写作图依据填写作图依据(3)尺规作图作直尺规作图作直角角10.与尺规与尺规作图作图痕迹痕迹有关的有关的计算计算(作平行线作平行线)12与尺规与尺规作图作图痕迹痕迹有关的有关的计算计算21作角平分线作角平分线(1)填写填写作图依据作图依据(2)说明说明作图理由作图理由(3)尺规尺规作图作作图作角角平分线平分线22.确定圆心确定圆心(1)三角板作圆心三角板作圆心(2)三角板作圆心三角板作圆心(3)尺规作图作圆尺规作图作圆
3、心，并说明理由心，并说明理由甘肃中考近三年考查情况甘肃中考近三年考查情况省卷省卷兰州卷兰州卷年份年份/分值分值2024/15分分2023/11分分2022/8分分2024/6分分2023/15分分2022/12分分视图与投影视图与投影2.主视图主视图图形的对称、图形的对称、平移与旋转平移与旋转14.轴对称轴对称图形的判图形的判断断15.正方形的正方形的旋转旋转3.轴对称图形轴对称图形的识别的识别15矩形的矩形的折叠折叠第26讲尺规作图(省卷省卷：5年年6考考；兰州兰州：3年年5考考)目 录C O N T E N T S1考点梳理考点梳理2甘肃甘肃5 5年中考真题及拓展年中考真题及拓展能用尺规作
4、图：作一条线段等于已知线段能用尺规作图：作一条线段等于已知线段(移至小学阶段学习移至小学阶段学习)能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线(新增新增)*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线(新增新增)考点梳理考点梳理2022年年版课标重要变化版课标重要变化 基本基本尺规尺规作图作图考点考点 1 1 1 1图示图示步骤步骤作图原理作图原理应用应用(1)作射线作射线OP；(2)在在OP上截取上截取OAa，OA即为即为所求线段所求线段圆上的点到圆心的圆上的点到圆心的距离等于半径长距离等于半径长已知：线段已知：线段a，b，
5、c.求作：求作：ABC，使，使ABc，ACb，BCa.【自主作图自主作图】1.1.作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段(已知线段已知线段a)2 2.作一个角等于已知角作一个角等于已知角(已知已知a)3.3.作已知角的平分线作已知角的平分线(已知已知AOB)图示图示步骤步骤作图原理作图原理应用应用(1)以点以点O为圆心，任意长为半为圆心，任意长为半径画弧，分别交径画弧，分别交OA，OB于点于点N，M；(2)分别以点分别以点M，N为圆心，以为圆心，以大于大于MN的长为半径画弧，两的长为半径画弧，两弧交于点弧交于点P；(3)作射线作射线OP，OP即为所求角即为所求角的平分线的平分线三边分别相
6、等的两三边分别相等的两个三角形全等；个三角形全等；全等三角形的对应全等三角形的对应角相等；角相等；两点确定一条直线两点确定一条直线已知：已知：ABC.求作：求作：ABC的内的内切圆切圆O.【自主作图】【自主作图】4.4.作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线(已知线段已知线段AB)图示图示步骤步骤作图原理作图原理应用应用(1)分别以点分别以点A，B为圆心，为圆心，以大于以大于AB的长为半径在的长为半径在AB两侧作弧，两弧分别交于点两侧作弧，两弧分别交于点M，N；(2)过点过点M，N作直线作直线MN，MN即为所求线段即为所求线段AB的垂直的垂直平分线平分线到线段两端点到线段两端点距离相等的点距离相
7、等的点在这条线段的在这条线段的垂直平分线上；垂直平分线上；两点确定一条两点确定一条直线直线已知：平面内不共线的已知：平面内不共线的A，B，C三点三点求作：求作：O，使得，使得A，B，C三点均在圆上三点均在圆上【自主作图自主作图】5.5.过一点过一点(P)作已知直线作已知直线(l)的垂线的垂线分类分类图示图示步骤步骤作图原理作图原理应用应用点点在在直直线线上上(1)以点以点P为圆心，任意长为半为圆心，任意长为半径向点径向点P两侧画弧，分别交直两侧画弧，分别交直线线l于于A，B两点；两点；(2)分别以点分别以点A，B为圆心，以大为圆心，以大于于AB的长为半径画弧，两弧分的长为半径画弧，两弧分别交于
8、点别交于点M，N；(3)过点过点M，N作直线作直线MN，MN即为所求直线即为所求直线(l)的垂线的垂线等腰三角形等腰三角形“三线合三线合一一”；两点确定一两点确定一条直线条直线已知：线段已知：线段a，b.求作：求作：RtABC，使，使得得A为直角，为直角，BCa，ACb.【自主作图自主作图】分类分类图示图示步骤步骤作图原理作图原理应用应用点点在在直直线线外外(1)任意取一点任意取一点M，使点，使点M和点和点P在直线在直线l的两侧；的两侧；(2)以点以点P为圆心，为圆心，PM长长为半径画弧，交直线为半径画弧，交直线l于于A，B两点；两点；(3)分别以点分别以点A，B为圆心，为圆心，以大于以大于A
9、B的长为半径画的长为半径画弧，交点弧，交点M同侧于点同侧于点N；(4)过过P，N两点作直线两点作直线PN，PN即为所求直线即为所求直线(l)垂线垂线到线段两端点距到线段两端点距离相等的点在这离相等的点在这条线段的垂直平条线段的垂直平分线上；分线上；两点确定一条直两点确定一条直线线已知：直线已知：直线l及直线及直线l外一外一点点A.求作：求作：A，使，使A与直与直线线l相切相切【自主作图自主作图】过过直线外一点直线外一点(O)作已知直线作已知直线(l)的平行线的平行线(2022年版课标新增年版课标新增)考点考点 1 1 2 2作等角作等角作菱形作菱形作中位线作中位线作角平分线和等腰三角形作角平分
10、线和等腰三角形过过圆外一点作圆的圆外一点作圆的切线切线(2022年版课标新增年版课标新增)考点考点 1 1 3 3图示图示作法作法(1)连接连接PO，分别以点，分别以点P，O为圆心，为圆心，大于大于PO的长为半径画弧，两弧交于点的长为半径画弧，两弧交于点M，N；(2)作直线作直线MN，交，交PO于点于点A；(3)以点以点A为圆心，为圆心，OA长为半径画圆，交长为半径画圆，交O于于点点Q，R；(4)连接连接PQ，PR，则射线，则射线PQ，PR即为所求即为所求甘肃甘肃5 5年中考真题及拓展年中考真题及拓展 与尺规作图与尺规作图痕迹有关的痕迹有关的计算计算(省卷：省卷：2023.5；兰州：；兰州：3
11、年年2考考)12023兰州兰州12题题如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E为为BA延长线上一点，延长线上一点，F为为CE的中点，以的中点，以B为圆心，为圆心，BF长为半径的圆弧过长为半径的圆弧过AD与与CE的交点的交点G，连，连接接BG.若若AB4，CE10，则，则AG()A2B2.5C3D3.5命题点命题点 1 1C22023兰州兰州10题题我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法如我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法如淮南子天文训中记载：淮南子天文训中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始
12、出北廉日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康则定望日始出北廉日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康则定东方两表之中与西方之表，则东西也东方两表之中与西方之表，则东西也”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线线a和直线外一定点和直线外一定点O，过点，过点O作直线与作直线与a平行平行(1)以以O为圆心，单位长为半径作圆，为圆心，单位长为半径作圆，交直线交直线a于点于点M，N；(2)分别在分别在MO的延长线及的延长线及ON上取点上取点A，B，使，使OAOB；(3)连连接接AB，取其中点，取其中点C，过，过O，C两点确定直线两点确定直线b
13、，则直线，则直线ab.按以上作图顺序，若按以上作图顺序，若MNO35，则，则AOC()A35B30C25D20A 与与尺规作图有关的证明与尺规作图有关的证明与计算计算(省卷：省卷：5年年5考；兰州：考；兰州：3年年3考考)类型类型1基本尺规作图基本尺规作图32020省卷省卷21题题如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC边上一点，且边上一点，且BDBA.(1)尺规作图尺规作图(保留作图痕迹，不写作法保留作图痕迹，不写作法)：作作ABC的平分线交的平分线交AD于点于点E；命题点命题点 2 2解解：如解图，如解图，BE即为所求即为所求作线段作线段DC的垂直平分线交的垂直平分线交DC于点于点F.解：
14、线段解：线段DC的垂直平分线交的垂直平分线交DC于点于点F，如解图，如解图(2)连接连接EF，直接写出线段，直接写出线段EF和和AC的数量关系及位置关系的数量关系及位置关系解：数量关系：解：数量关系：EFAC；位置关系：；位置关系：EFAC.类型类型2根据作图步骤作图根据作图步骤作图42024省卷省卷20题题马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术
15、精品，体现了古代劳动人民的智慧如图创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧如图1的的彩陶彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通如图种方法和下面三等分圆周的方法相通如图2，已知，已知O和圆上一点和圆上一点M.作法如下：作法如下：以点以点M为圆心，为圆心，OM长为半径，长为半径，作作弧弧交交O于于A，B两点；两点；延长延长MO交交O于点于点C；即点即点A，B，C将将O的圆周三等分的圆周三等分(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺
16、和圆规在图请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将中将O的圆周的圆周三等分；三等分；(保留作图痕迹，不写作法保留作图痕迹，不写作法)解解：如：如解图解图1，点，点A,B,C将将O的圆周三等分的圆周三等分(2)根据根据(1)画出的图形，连接画出的图形，连接AB，AC，BC，若，若O的半径为的半径为2cm，则，则ABC的周长的周长为为_cm.52023省卷省卷20题题1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作欧几里得作图年，丹麦数学家莫尔在他的著作欧几里得作图中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发
17、现此结论，并写在他的著作圆规的几何学中请你凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作圆规的几何学中请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知如图，已知O，A是是O上一点，只用圆规将上一点，只用圆规将O的圆周四等分的圆周四等分(按如按如下步骤完成，保留作图痕迹下步骤完成，保留作图痕迹)分别以点分别以点A，点，点D为圆心，为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于长为半径作弧，两弧交于O上方的点上方的点E；以点以点A为圆心，为圆心，OE长为半径作弧交长为半径作弧交O于于G，H两点，即点两点，即点A，G，D，H将将O的圆周四等分的圆周四等分解：如解图，点解
18、：如解图，点A，G，D，H把把O的圆周四等分的圆周四等分62022省卷省卷21题题中国清朝末期的几何作图教科书最新中学教科书用器画由国中国清朝末期的几何作图教科书最新中学教科书用器画由国人自编人自编(图图1)，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题编记载了这样一道几何作图题：原文原文释义释义甲乙丙为定直角甲乙丙为定直角以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得
19、交点庚；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线乙与己及庚相连作线如图如图2，ABC为直角为直角以点以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射为圆心，以任意长为半径画弧，交射线线BA，BC分别于点分别于点D，E；以点以点D为圆心，以为圆心，以BD长为半径画弧与交于长为半径画弧与交于点点F；再以点再以点E为圆心，仍以为圆心，仍以BD长为半径画弧与长为半径画弧与交于点交于点G；作射线作射线BF，BG.(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题；中完成这道作图题；(保留保留作图痕迹，不写作法作图痕迹，不写作法)解：
20、如解图，射线解：如解图，射线BF，BG即为所求即为所求(2)根据根据(1)完成的图，直接写出完成的图，直接写出DBG，GBF，FBE的大小关系的大小关系解：解：DBGGBFFBE.72024兰州一诊兰州一诊23题题数学家为解决数学家为解决“化圆为方化圆为方”问题，将其转化为特殊的问题，将其转化为特殊的“化矩化矩形为方形为方”问题化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方问题化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形形如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD.尺规作图完成尺规作图完成“化矩形化矩形ABCD为正方形为正方形BPQR”问题以下为问题以下为作图过程：作图过
21、程：以点以点B为圆心，为圆心，BC长为半径画弧，交长为半径画弧，交AB延长线于点延长线于点E；分别以点分别以点A，E为圆心，为圆心，大于大于AE的长为半径画弧，两弧交于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接两点，连接MN交交AE于点于点F，则点，则点F为为AE的中点的中点；以点以点F为圆心，为圆心，AF长为半径画弧，交长为半径画弧，交CB延长线于点延长线于点P；以以BP为边，在边为边，在边BP右侧右侧作正方形作正方形BPQR，即，即“化矩形化矩形ABCD为正方形为正方形BPQR”(1)请按照作图过程中请按照作图过程中的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；的要求，用无刻度直尺和圆规将所
22、给图形补充完整；(保留保留作图痕迹，不写作法作图痕迹，不写作法)解解：如：如解图，正方形解图，正方形BPQR即为所求即为所求(2)根据已补充完整的图形解决问题：根据已补充完整的图形解决问题：在矩形在矩形ABCD中，已知中，已知AB5，AD1，则则BF_，PF_，进而求得正方形，进而求得正方形BPQR的边的边BP_由此可得由此可得S矩形矩形ABCDS正方形正方形BPQR，即达到，即达到“化矩形为方化矩形为方”的目的的目的238.2024兰州兰州23题题观察发现：观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的的方法
23、，正如木匠刘师傅的“木条画直角法木条画直角法”如图如图1，他用木条能快速画出一个以，他用木条能快速画出一个以点点A为顶点的直角，具体作法如下：为顶点的直角，具体作法如下：木条的两端分别记为点木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点，先将木条的端点M与点与点A重合，任意摆放木条后，重合，任意摆放木条后，另一个端点另一个端点N的位置记为点的位置记为点B，连接，连接AB；木条的端点木条的端点N固定在点固定在点B处，将木条绕点处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点顺时针旋转一定的角度，端点M的落点的落点记为点记为点C(点点A，B，C不在同一条直线上不在同一条直线上)；连接连接CB并延长，将木条沿
24、点并延长，将木条沿点C到点到点B的方向平移，使得端点的方向平移，使得端点M与点与点B重合，端点重合，端点N在在CB延长线上的落点记为点延长线上的落点记为点D；用另一根足够长的木条画线，连接用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的，则画出的DAC是直角是直角操作体验：操作体验：(1)根据根据“观察发现观察发现”中的信息重现刘师傅的画法如图中的信息重现刘师傅的画法如图2，BABC.请请画出以点画出以点A为顶点的直角，记作为顶点的直角，记作DAC.解解：作作DAC如解图如解图1.推理论证：推理论证：(2)如图如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依，小亮尝试揭示此操作的
25、数学原理，请你补全括号里的证明依据：据：证明证明：ABBCBD，ABC与与ABD是等腰三角形是等腰三角形BCABAC，BDABAD.(依据依据1)BCABDABACBADDAC.DACBCABDA180，(依据依据2)2DAC180.DAC90.依据依据1：_；依据依据2：_等边对等角等边对等角(等腰三角形的性质等腰三角形的性质)三角形内角和定理三角形内角和定理拓展探究拓展探究：(3)小亮进一步研究发现小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差如图习的尺规作图的方法可以减少误差如图3，点点O在直线在直线l上上
26、，请用无刻度的直尺和请用无刻度的直尺和圆规在图圆规在图3中作出一个以中作出一个以O为顶点的直角为顶点的直角，记作记作POQ，使得直角边使得直角边OP(或或OQ)在直在直线线l上上(保留作图痕迹保留作图痕迹，不写作法不写作法)解解：作作POQ如解图如解图2.92023兰州兰州21题题综合与实践综合与实践：问题探究问题探究：(1)如图如图1是古希腊数学家欧几里得所著的几何原本第是古希腊数学家欧几里得所著的几何原本第1卷命题卷命题9：“平分一个已知角平分一个已知角”即即：作一个已知角的平分线如图作一个已知角的平分线如图2是欧几里得在几何原是欧几里得在几何原本中给出的角平分线作图法本中给出的角平分线作
27、图法：在在OA和和OB上分别取点上分别取点C和和D，使得使得OCOD，连接连接CD，以以CD为边作等边三角形为边作等边三角形CDE，则则OE就是就是AOB的平分线的平分线请写出请写出OE平分平分AOB的依据的依据：_全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等类型类型3根据几何图形性质作图根据几何图形性质作图类比迁移类比迁移：(2)小明根据以上信息研究发现小明根据以上信息研究发现：CDE不一定必须是等边三角形不一定必须是等边三角形，只需只需CEDE即可他查阅资料即可他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角作法如下我国古代已经用角尺平分任意角作法如下：如图如图3，在在AOB的边的边OA，OB上分别取
28、上分别取OMON，移动角尺移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与使角尺两边相同刻度分别与点点M，N重合重合，则过角尺顶点则过角尺顶点C的射线的射线OC是是AOB的平分线请说明此作法的理的平分线请说明此作法的理由由解解：理由理由：OMON，CMCN，OCOC，OCMOCN(SSS)，AOCBOC，OC是是AOB的平分线的平分线拓展实践拓展实践：(3)小明将研究应用于实践如图小明将研究应用于实践如图4，校园的两条小路校园的两条小路AB和和AC汇聚形成了汇聚形成了一个岔路口一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮两条小路一样亮)，并且路灯并且路灯E到岔路口到岔路口A的距离和休息椅的距离和休息椅D到岔路口到岔路口A的距离相等的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作中作出路灯出路灯E的位置的位置(保留作图痕迹保留作图痕迹，不写作法不写作法)解解：如解图如解图，点点E即为所求即为所求
