1、2022年版义务教育数学课程标准解读及学习心得体会新旧课程标准的课程内容变化分析1一、小学部分（一）数与代数数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题.学段之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构.“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算.数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联.学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法.初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及
2、运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识.“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律.学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识.【内容要求】2022年版2011年版第一学段（1-2年级）1.数与运算（1）在实际情境中感悟并理解万以内数的意义，理解数位的含义，知道用算盘可以表示多位数（例1）.（2）了解符号,=, 的含义，会比较万以内数的大小；通过数的大小比较，感悟相等和不等关系（新增）（例2）o（3）在具体情境中，了解四则运算的意
3、义，感悟运算之间的关系（例3）.（4）探索加法和减法的算理与算法（新增），会整数加减法.（5）探索乘法和除法的算理与算法（新增），会简单的整数乘除法.（6）在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识.（新增）2.数量关系（1）在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题，能解释结果的实际意义，形成初步的应用意识.（2）探索用数或符号表达简单情境中的变化规律（例4和例5）.第二学段（3-4年级）1.数与运算（1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法；探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化（例8）.（2）结合具体情境，初步认识小
4、数和分数，感悟分数单位（例9）；会同分母分数的加减法和一位小数的加减法.（3）在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算.（4）探索并了解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律.（5）会运用数描述生活情境中事物的特征（例10），逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识.（新增）2.数量关系（1）在实际情境中，运用数和数的运算解决问题；在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例11）.（2）能借助计算器进行计算，解决简单的实际问题，探索简单的规律（例12）.（3）在具体
5、情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量（例13）、总价=单价数量、路程=速度时间；能利用这些关系解决简单的实际问题.（4）能在具体情境中了解等量的等量相等.（5）能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程（例14），形成初步的模型意识和应用意识.（新增）第三学段(5-6年级)1.数与运算（1）知道2, 3, 5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质数(或素数)和合数.（2）结合具体情境探索并理解小数和分数的意义，感悟计数单位.会进行小数、分数的转化，进一步发展数感和符号意识.（3）结合具体情境理解整数除法与分数的关
6、系(例16).（4）能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识.（新增）2.数量关系（1）根据具体情境理解等式的基本性质(例17).（2）在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算(例18）.（新增）（3）在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性（例19）.（4）在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题.（5）通过具体情境，认识成正比的量（如=5）（例20）；能探索规律或变化趋势（如y = 5x）（例21）.（6）能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意
7、识和几何直观，提高解决问题的能力.（新增）第一学段（1-3年级）1.数的认识（1）在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置.（2）能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数.（3）理解符号，的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小.（4）在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计.（删除）（5）能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数.（6）能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小.（删除）（7）能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流.2.数的运算（1）结合具体情境，
8、体会整数四则运算的意义（参见例5）.（2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数.（3）能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法.（4）认识小括号（删除），能进行简单的整数四则混合运算（两步）（删除）.（5）会进行同分母分数（分母小于10）（删除）的加减运算以及一位小数的加减运算.（6）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用.（7）经历与他人交流各自算法的过程.（8）能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释.3.常见的量（1）
9、在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系.（删除）（2）能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短.（删除）（3）认识年、月、日，了解它们之间的关系.（删除）（4）在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算.（删除）（5）能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题.（删除）4.探索规律探索简单情境下的变化规律.第二学段（4-6年级）1.数的认识（1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数.（2）结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计.（3）会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用.（4）知道
10、2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数.（5）了解公因数和最大公因数；在1100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数.（6）了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数.（7）结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）.（8）能比较小数的大小和分数的大小.（9）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量.（删除）2.数的运算（1）能计算三位数乘两位数的乘
11、法，三位数除以两位数的除法.（2）认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）.（3）探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算.（4）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系.（5）能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）.（6）能解决小数、分数和百分数的简单实际问题.（7）在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价数量、路程=速度时间，并能解决简单的实际问题.（8）经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法.（
12、删除）（9）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算.（10）能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律.3.式与方程（1）在具体情境中能用字母表示数.（2）结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示.（3）能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+25，2x-x3），了解方程的作用.（删除）（4）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程.4.正比例、反比例（1）在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题.（2）通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量.（3）会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值.（4）
13、能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流.5.探索规律探索给定情境中隐含的规律或变化趋势.【学业要求】（新增）第一学段（1-2年级）1.数与运算能用数表示物体的个数或事物的顺序，能认、读、写万以内的数；能说出不同数位上的数表示的数值；能用符号表示数的大小关系（例6）,形成初步的数感和符号意识.能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算；能熟练口算20以内数的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内数的加减法；能计算两位数和三位数的加减法.形成初步的运算能力.2.数量关系能在熟悉的生活情境中运用数和数的运算，合理表达简单的数量关系，解决简单
14、的问题.能在解决问题的过程中，体会解决问题的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识.第二学段（3-4年级）1.数与运算能结合具体实例解释万以上数的含义，能认、读、写万以上的数，会用万、亿为单位表示大数.能计算两位数乘除三位数.能直观描述小数和分数，能比较简单的小数的大小和分数的大小；会进行同分母分数的加减运算和一位小数的加减运算.形成数感、符号意识和运算能力.能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系；能进行整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），正确运用小括号和中括号.能说出运算律的含义，并能用字母表示；能运用运算律进行简便运算，解决
15、相关的简单实际问题，形成运算能力.2.数量关系能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识.能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；能借助计算器进行计算，并解释计算结果的实际意义；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识.能在真实情境中，合理利用等量的等量相等进行推理，形成初步的推理意识（例15）.第三学段(5-6年级)1.数与运算能找出2，3，5的倍数.在1100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数；能判断
16、一个自然数是否是质数或合数.能用直观的方式表示分数和小数，能比较两个分数的大小和两个小数的大小；会进行小数和分数的转化（不包括将循环小数转化成分数）.能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感.能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程.能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识.2.数量关系能在具体问题中感受等式的基本性质（例17）.能在解决实际问题中运用恰当的方法进行估算，并能描述估算的过程.能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性.能在具体情境中判断两个量
17、的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题.能在具体情境中描述成正比的量=k（k0），能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx （k0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值.能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力.【教学提示】（新增）第一学段（1-2年级）第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的活动经验和生活经验，遵循本阶段学生的思维特点和认知规律，为学生提供生动有趣的活动，更好地完成从幼儿园阶段到小学阶段的学习过渡.数与运算的教学.数的认识与数的运算具有密切的
18、联系，既要注重各自的特征，也要关注二者的联系.数的认识是数的运算的基础，通过数的运算有助于学生更好地认识数.数的认识教学应提供学生熟悉的情境，使学生感受具体情境中的数量，可以用对应的方法，借助小方块、圆片和小棒等表示相等的数量，然后过渡到用数字表达，使学生体会可以用一个数字符号表示同样的数量；知道不同数位上的数字表示不同的值.教学中应注意，10以内数的教学重点是使学生体验19从数量到数的抽象过程，通过9再加1就是十，体会十的表达与19的不同是在新的位置上写1,这个位置叫十位，十位上的1表示1个十，1个十用数字符号10表达.同理认识百以内数、万以内数.通过数量多少的比较，理解数的大小关系（例7）
19、.在这样的教学活动中，帮助学生形成初步的符号意识和数感.数的运算教学应让学生感知数的加减运算要在相同数位上进行, 体会简单的推理过程.引导学生通过具体操作活动，利用对应的方法理解加法的意义，感悟减法是加法的逆运算；在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算，感悟除法是乘法的逆运算.在教学活动中，始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展.数量关系的教学.通过创设简单的情境，提出合适的问题，引导学生发现数量关系；利用画图、实物操作等方法，引导学生用学过的知识表达情境中的数量关系，体会几何直观，形成初步的应用意识.第二学段（3-4年级）数与运算的教学.在认识整数的基础上，认识小数和分数.通过数
20、的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性.数的认识教学应为学生提供合理的情境，引导学生进一步经历整数的抽象过程，知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感；通过学生熟悉的具体情境，引导学生初步认识分数，进行简单的分数大小比较，感悟分数单位；借助学生的生活经验，引导学生认识小数单位，进一步感悟十进制计数法.在这样的过程中，发展学生数感.数的运算教学应利用整数的乘法运算，理解算理与算法之间的关系；在进行除法计算的过程中，进一步理解除法是乘法的逆运算.在这样的过程中，感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识.通过小数加减运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生
21、初步了解运算的一致性，培养运算能力.通过实际问题和具体计算，引导学生用归纳的方法探索运算律、用字母表示运算律，感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维.数量关系的教学.在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义.估算的重点是解决实际问题.常见数量关系的教学要在了解四则运算含义的基础上，引导学生理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和，乘法模型可大体分为与个数有关（总价=单价数量）和与物理量有关（路程= 速度时间）的两种形式，感悟模型中量纲的意义.应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的
22、语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升问题解决能力.利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识（例15）.估算教学要引导学生在具体的问题情境中选择合适的单位进行估算，体会估算在解决实际问题中的作用，了解估算的实际意义.第三学段(5-6年级)数与运算的教学.通过整数的运算，感悟整数的性质；通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性.数的认识教学要引导学生根据数的意义，用列举、计算、归纳等方法，探索2, 3, 5的倍数的特征，理解公因数和公倍数、奇数和偶数、质数和合数，形成推理意识.在初步认识小数和分数的基础上，引导学生在具体情
23、境中，理解小数和分数的意义，感悟计数单位.在教学过程中，可以让学生体验与小数有关的数学文化（例22），理解、描述各数位上数字的意义，进一步提升数感.数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性.例如，在分数加减运算的过程中，引导学生理解通分的目的是得到同样计数单位，进一步理解计数单位对分数表达的重要性，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性.数量关系的教学.理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维.用字母表示的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律.例如：用 字母
24、表达常见数量关系及其变形，“路程=速度时间”表示为s=vt，这个关系的变式表示为v=st，t=sv；还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感受字母表达的一般性.运用数和字母表达数量关系，通过运算或推理解决问题（例23），形成与发展学生的符号意识、推理意识和初步的应用意识.估算教学要借助真实情境，引导学生在选择合适单位估算的基础上，感悟选择合适的方法估算的重要性，提高解决问题的能力，发展初步的应用意识.比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系.例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题.成正比的
25、量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k（k0）的形式，也可以表示为y=kx（k0）的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验.例1 用算盘表示多位数【说明】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5,每个下珠代表1.每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数，可以任意选定某档为个位，不拨珠空档表示0.例如，513和602在算盘上表示如图1.更大的数可用同样的方法表示.让学生感受
26、用算盘表示数的同时，向学生介绍算盘的历史，引导学生体会算盘是我国的优秀文化遗产.例2 感悟大小关系小阳和小冬用边摆边说.数一数，想一想，看看他们说的话对吗？【说明】相等和不等是数的两个基本关系.在数量一样多、较多和较少的具体情境中，引导学生感悟数的相等和不等关系；知道可以用符号=，分别表示数与数之间的相等、大于和小于关系；感悟大小关系的传递性：如果86, 63,那么83.对于关系传递性，只要求学生感悟，为将来理解代数基本事实作感性铺垫，不作为学业要求.例3运算与运算之间的关系二年级（3）班有8个学习小组，每组5人，这个班一共有多少人?【说明】如图3，针对问题背景，让学生经历用图形表示数量关系的
27、过程，理解乘法运算以及乘法与加法的关系.还可以用类似的方法，让学生感悟减法运算以及减法是加法的逆运算，感悟除法运算以及除法是乘法的逆运算.例4用不同符号表示变化规律在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由.1,1,2；1,1,2;，.A, A, B；A, A, B;，.口，口，日；口，口，日；，.【说明】启发学生在解决问题的过程中探索规律.引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同.例5借助图形发现运算规律在表4中，标出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别标出相加等于6, 9的格子，你能发现什么规律？987654321+
28、123456789【说明】通过这样的活动，不仅可以帮助学生熟练20以内数的加法，还可以让学生感悟加数与和之间的关系，让学生感悟数值与图形的结合，有利于为后续学习图形的位置等内容做准备.教师可以根据实际情况灵活地设计教学活动.例如，可以根据上表，让学生判断：出现次数最多的和是几？最少的是几？例6根据大小关系排序将数50, 98, 38, 10, 51排序，用符号，表示.用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步表示它们之间的关系.【说明】数的最基本的关系是大小关系，通过排序可以考查学生对大小关系及其传递性的理解.可以用不同的排序方法，让学生经历选择方法的过程，引导学生表述排序方法的操作过程，帮
29、助学生积累思维的经验和做事的经验；引导学生用恰当的语言表述大小关系的程度，体会大小关系的传递性，培养思维的逻辑性.例7通过对应理解大小关系图4第（1）题是小华完成的，你能像她一样完成其他两道题吗？【说明】通过两个集合中元素之间一一对应的方法判断集合中元素的多少.这种对应的方法是数学的基本方法.通过对应的方法，学生可以感受由数量抽象到数、由数量的多少关系抽象为数的大小关系.在这个例子中，学生通过“连一连比较两个集合中元素的多少，进一步感知用一一对应的方法能够进行数量多少的比较，建立数感.例8感悟从未知到已知的转化学校图书馆为同学们购买图书，其中数学绘本每本14元，如果买12本，需要付多少元？【说
30、明】在知道两位数乘一位数的基础上，引导学生探索两位数乘两位数的方法，感悟从未知到已知的转化.重点是理解从一位数乘法到两位数乘法算理和算法的迁移.学生已知1410的计算方法和142的计算方法，探索1412的计算方法.可以引导学生将12分解成(10+2),然后利用横式体现算理，1412=14(10+2)=1410+ 142,就可以把未知转化为已知；在分析的基础上建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法.在这样的过程中，发展学生的运算能力和推理意识.此外，可以引导学生借助面积表述运算的道理，培养几何直观.例9感悟分数单位比较的大小.【说明】把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，通过比较各自1份面积大小
31、的方法，引导学生直观理解分数的大小.然后，进一步把两个圆都平均分成为6份，通过，所以，帮助学生理解分数单位之间的关系，知道只有在相同单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的.例10 生活中的数某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生.例如，202103321表示“2021年入学的（3）班的第32号同学，该同学是男生”，那么202104302表示什么？【说明】这个例子启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息.例如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生.同时, 可以引导学生设计本校的学生编号方案.例11现实生活中的估算学校组织987名学生去公园游玩.如果
32、公园的门票每张8元， 8000元够不够？【说明】在日常生活中，许多问题并不需要精确的答案.这个例子可以让学生了解在什么样的情境中需要估算，认识到能结合具体情境选择适当的单位是估算的关键.例如，在此例中把987人看成 1000人，8000元是够的，这里适当的单位是“1000人”.在估计长度、质量和其他度量值时也需要选择合适的单位.一般来说，估计教室的长度时以“米”为单位，估计书本的长度时以“厘米”为单位.此外，还可以引导学生选用自己熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等.例12 利用计算器探索规律利用计算器计算1515, 2525,，9595,并探索规律.【说明】引导学生利用计算器进行重复性的计
33、算，从中发现一些有趣的规律.例如，在下面计算中观察结果与因数的关系，发现以下规律：1515=225=12100+25,2525=625=23100+25,3535=1225=34100+25,.这个规律在实际运算中是有意义的.例13 利用数据提出问题某展览中心周六和周日有一个艺术展，图5记录了参观人数.根据记录的参观人数，你能提出哪些问题？【说明】通过这个例子讨论“总量=分量+分量”的数量关系，例如，周六上午57人、下午64人都是中小学生参观人数的分量，分量和57+64=121 （人）是周六的中小学生参观人数总量.周六的中小学生参观人数总量又是周六参观人数的分量.启发学生提出许多类似问题，关注
34、学生思维的逻辑.通过这个例子，学生也可以提出相应的减法问题，即“分量=总量-分量”的数量关系，只需要把其中的一个分量作为未知量.例14寻找规律进行推断联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.你知道第16个气球是什么颜色吗？【说明】在例4借助符号表示规律的基础上，感知通过规律可以进行推断.在解决这个问题时，学生可以有多种方法.例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，排列顺序可以表示为AAABBCAAABBC从中找出第16个字母，由此推断第16个气球的颜色.例15曹冲称象的故事通过具体情境认识物体的质量，感悟质量的度量方法，掌握度量单位的换算，感悟
35、等量的概念，尝试运用等量的等量相等进行推理, 知道常见数量关系：总量等于各分量之和.【说明】通过“称重”等具体活动，结合学生生活中对物体质量的认识经验，帮助学生认识克、千克、吨，了解它们之间的关系，积累数学活动经验，发展量感.此主题活动可作如下设计.（1）我也来称象通过“曹冲称象”的故事引导学生思考下列问题，引发对“质量单位、称量工具”的学习：在古代为什么大象的体重难称量？要称量 大象的体重，需要哪些条件？充分结合学生生活中对各种物品质量的经验，帮助学生感受“物体轻、物体重”需要规定合适的单位来表示，进而理解克、千克、吨 这些常用质量单位的意义及其关系，并尝试利用等量的等量相等进行推理.（2）
36、各种各样的秤组织学生收集各种称量物体质量的工具，如生活中常见的秤、实验室中用的天平等，扩展学生对称量工具及质量单位的认识.（3）都来称一称学生组建小组，使用某些秤或者已经称量好的物品作为称量工具，如用一袋盐作“秤”，去估一估、称一称，想办法得到教室内、生活中各类物品的质量，经历度量的过程，体会误差，归纳估测的方法，丰富并发展量感.例16除法可以写成分数的形式为什么42可以写成？【说明】首先，可以通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系.前者可以表示把4个苹果分给2个人，每人分到2个；后者可以表示4个苹果的，等价于2个苹果.其次，通过算理进行一般性说明.怎样知道“42=”中的“ ”
37、是多少，由于除法是乘法的逆运算，它等价于“4=2”.根据等式的基本性质，等号两边同乘后等式不变，计算得到4=.根据基本事实“等量的等量相等”，所以42=4成立.最后，因为4表示4个相加，所以写成.即42=.这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数.例17等式的基本性质观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现.【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质.第一组是等式的基本性质I,即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”.第二组是等式的基本性质,即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”.这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方
38、程时会用到.例18估算的上界和下界李阿姨去商店购物，带了100元，她买了 2袋面，每袋30.4元; 又买了 1块牛肉，用了 19.4元.她还想买1条鱼，大一些的每条 25.2元，小一些的每条15.8元.请帮助李阿姨估算一下，她此时剩余的钱够不够买小鱼？够不够买大鱼？【说明】对于给定的数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界.为此，需要对给定的数量进行适当放大或缩小，凑整计算.此例中两个问题的核心都是估计用100元购物后的剩余金额，但两种估计 方法有所不同.第一问“够不够买小鱼”需要估计剩余金额的下界（至少剩余多少元），如果下界超过15.8元，就够买小鱼.对于估计下界的问题, 购物金额要适当地放
39、大.例如，买1袋面不超过31元，买2袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；总共不超过62+20=82（元），至少还剩100-82=18（元）.所以，李阿姨剩余的钱买1条小鱼是够用的.第二问“够不够买大鱼”需要估计剩余金额的上界（至多剩余多少元），如果上界不到25.2元，就不够买大鱼.对于估计上界的问题，购物金额要适当地缩小.例如，买1袋面至少要30元，买2袋 面至少要60元；买牛肉至少要19元；总共至少要60+19=79（元），至多还剩100-79=21（元）.所以，李阿姨剩余的钱不够买1条大鱼.例19用字母表示数量关系或规律（1）小华比小明多5张漫画卡.如果小明有8张，小华有几张? 如果小明
40、有12张呢？如果小明有若干张，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡？（2）我们学习过一些图形面积的计算公式，还学过加法和乘法的运算律，你能用字母表示这些计算公式和运算律吗？（3）如图6, 1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3 张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐多少人？【说明】这三个问题涉及用字母表示数量关系或规律.（1）教学时，可以先从具体数量入手：小明有8张、12张时, 小华的漫画卡数量应如何表示？如果小明有不知道具体数量的若干张时，小华的漫画卡数量可以表示为（5+a）,其中的字母a表示小明的漫画卡数量，是一个变化的值.（2）让学生探索用字母表示面积计算公式和运
41、算律的过程，感悟用字母表示所得到的结果具有一般性.（3）让学生经历用字母表示变化规律的过程，培养符号意识.1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可 坐8人，以此类推，n张餐桌拼在一起可坐（2n+2）人.例20认识成正比的量王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，如果购买2千克、3千 克分别需要多少元？【说明】可以借助列表或者画图象的方法分析问题，例如，把计算的结果记录在表5中.数量/千克12345总价/元510152025表5买苹果的数量及总价观察表5可以发现，随着购买苹果数量的增多，总价也增多，这两个量变化的最基本特征是：总价与数量的比值保持不变.可以把这个关系表示为,或者
42、用符号表示为,这时称y和x为成正比的量.例21探索数量之间的变化规律王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，购买2千克、3千克分别需要多少元？探索其中的规律.【说明】这是例20的延续.从例20的说明中可以知道，为了保证两个数量的比值保持不变，这两个数量必须一起变化.显然，也可以把这个表达式转化为y =5x的形式.这样的表达能够更好地体现“随着购买苹果数量的增多，总价也増多”的变化规律，这就是初中将要学习的正比例函数.例22圆周率的故事通过讲述祖冲之计算圆周率的故事，让学生感知圆周率的逼近过程，同时，也理解小数的十进制名称的表达，感受中国古代数学家的杰出贡献.【说明】据隋书卷十六志第十一律历记载，南
43、北朝时期的祖冲之得到圆周率的结果是：以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间.密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五.约率，圆径七，周二十二所著之书，名为缀术，学官莫能究其深奥，是故废而不理.因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926和3. 1415927之间；根据不同的需要，可近似取作（约率）或（密率）.由此可以看到，祖冲之得到的圆周率精确到小数点后第6位，这个结果领先世界约1 000年之久.特别值得指出，类似自然数的单位（如个、十、百、千、万等），祖冲之清晰地表达、定义了十进制的小数单位尺、寸、分、厘、 毫、秒、忽，表述到小数点后七位.由此可见，中国古代人民对于小数的理解和表达都是深刻的.例23用字母表示数量关系回顾例19 （3）的情境，请用字母表示餐桌数与人数之间的关系.【说明】引导学生用不同的字母分别表示餐桌数和人数，建立二者之间的关系.例如，用a表示餐桌数，b表示人数.根据问题的背景，可以建立关系式：b =2a + 2.引导学生理解，如果知道两个量中的一个量，就可以通过对关系式的四则运算得到另一个量.在上式中，如果a =2,那么b=6；如 果a =3,那么b=8.反之亦然.在这样的过程中，启发学生进一步感悟可以用字母表示数量关系，让学生初步经历通过具体数值的计算归纳一般关系的过程.
