1、1第三章 板料成形的有限元基础 3.1 序言 3.2 杆和梁单元 3.2 二维问题 3.3 有限元求解技术 3.4 板壳单元23.1.13.1.1 基本概念基本概念3.1.2 3.1.2 矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾3.1.3 3.1.3 弹簧元弹簧元3 有限元方法或有限元分析的基本思想就是有限元方法或有限元分析的基本思想就是将一个复杂的物体分解成许多易于处理的小片将一个复杂的物体分解成许多易于处理的小片来处理。这种思路在日常生活和工程实际中经来处理。这种思路在日常生活和工程实际中经常被使用。常被使用。3.1.13.1.1 基本概念基本概念搭积木游戏搭积木游戏建筑建筑4基本概念基本概念圆面积的
2、近似求解：圆面积的近似求解：注意：一个复杂的连续的物体可以被许多小片（单元）注意：一个复杂的连续的物体可以被许多小片（单元）来近似代替。来近似代替。5工程中有限元的应用工程中有限元的应用机械、航空、土木、汽车车工程结构结构分析（静态静态/动态动态、线线性/非线线性）热热/液体流动动电电磁地质质力学学生物力学学齿轮式弹性轴接的模型齿轮式弹性轴接的模型基本概念基本概念6有限元的简要发展历史有限元的简要发展历史1943 Courant 1956 Tuner,Clough,Martin,Topp(Stiffness)1960 Clough(“Finite Element”平面问题问题)1970s 在大
3、型机上得到应应用1980s 在微机上得到应应用，前后处处理软软件1990s 大型机构构系统统分析基本概念基本概念7基本概念基本概念易拉罐的跌落测试易拉罐的跌落测试8结构分析中的有限元（过程）结构分析中的有限元（过程）将结构将结构体划划分成小片（单单元，节节点）形成描绘绘物理特性的单单元刚刚度将单将单元组组装成一个个整体结构结构的近似方程组组求解已经经引入位置物理量（位移）的方程组组计计算单单元中用户户所关关心的物理量（应变应变，应应力）基本概念基本概念9计算机计算机前处处理（建立有限元模型，载载荷和约约束）有限元求解器（组组装和求解系统统方程）后处处理（显显示计计算结结果）商业化有限元软件包商
4、业化有限元软件包ANSYS，NASTRAN，ALGOR(通用目的)ABAQUS(非线线性动动力分析)PATRAN，HyperMesh(前后处处理)LS-DYNA(碰碰撞动动力分析)DynaForm(前后处处理)基本概念基本概念10本章有限元基础课的目的本章有限元基础课的目的理解有限元分析的基本原理和思路 掌握本章中所涉及到的单单元模型的推导导和适用范围围对对一个给个给定的问题问题能够够建立适当当的有限元模型能够够解释并评释并评价有限元分析结结果的优优劣（知道问题问题的物理意思）明白有限元的局限性（不要错误错误地应应用有限元数值数值工具）基本概念基本概念11线性代数方程组系统：线性代数方程组系统
5、：矩阵形式：矩阵形式：A称为称为nn矩阵，矩阵，x和和b分别是分别是n维的列向量维的列向量矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾12矩阵的加法减法：矩阵的加法减法：矩阵的乘法：矩阵的乘法：矩阵的转置：矩阵的转置：对称矩阵：对称矩阵：单位矩阵：单位矩阵：矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾13矩阵行列式的值：矩阵行列式的值：奇异矩阵：奇异矩阵：如果 det A=0，那么么系统统存在问题问题（非唯一解，发发散等）矩阵的逆：矩阵的逆：矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾14线性方程组系统的求解技术：线性方程组系统的求解技术：高斯消去法迭代法正定矩阵：正定矩阵：对对于所有非零向量X，有XTAX0，A为为正定矩阵阵正定矩阵为阵为
6、非奇异异矩阵阵矩阵的导数和积分：矩阵的导数和积分：矩阵代数的回顾矩阵代数的回顾15弹簧元：弹簧元：16考虑弹簧元的力的平衡条件：考虑弹簧元的力的平衡条件：节节点i：节节点j：矩阵阵形式：注意：注意：K为对称矩阵，为对称矩阵，K是非奇异的还是奇异的？是非奇异的还是奇异的？17弹簧元系统：弹簧元系统：单单元1：单单元2：18对整个系统进行单元刚度矩阵的组装：对整个系统进行单元刚度矩阵的组装：考虑节虑节点力的平衡条条件：节节点1：节节点2：节节点3：矩阵阵形式：K为该弹为该弹簧系统统的刚刚度矩阵阵（结构结构矩阵阵）19单元刚度矩阵另一种组装方法：单元刚度矩阵另一种组装方法：分别扩别扩大单单元1和2的
7、刚刚度矩阵阵这与这与根据节节点力平衡得出的矩阵阵是一样样的。20引入边界条件和力的条件：引入边界条件和力的条件：假设设u1=0，F2=F3=P，那么么未知量为为：u2，u3和F1求解方程可得：21检查计算结果：检查计算结果：结构变结构变形后的形状状外力平衡有关弹簧元的注意事项：有关弹簧元的注意事项：适于刚刚度分析的计计算不适合用于弹弹簧本身的应应力分析计计算在弹弹簧元的横横向是否具有刚刚度，弹弹簧元是否具有扭转刚扭转刚度22例子例子1：已知：求：(a)整体刚刚度矩阵阵(b)节节点2和3的位移(c)节节点1和4的支反力(d)弹弹簧2的力23（a）问：分别求出单元刚度矩阵：）问：分别求出单元刚度矩
8、阵：单单元1：单单元2：单单元3：组组装后：24组装后：组装后：注意到整体刚刚度矩阵阵是对称并带状对称并带状分布的。该系统的平衡方程为：该系统的平衡方程为：25（b）问：）问：将边将边界条条件（u1=u4=0）应应用到平衡方程中，去掉1行1列，4行4列后：求解得：（c）问：）问：从从平衡方程组组中的1和4可得：26（d）问：）问：弹弹簧元2的平衡方程为为：式中i=2，j=3，可以计计算出弹弹簧力为为：27例子例子2：问题问题描述：对对上述一个个具有任意弹弹簧元节节点和单单元的系统统，求其整体刚刚度矩阵阵。28单元拓扑关系：单元拓扑关系：上表中为为每个弹个弹簧元的局部节节点号号和整体节节点号号的
9、对应对应关关系。然后依次求出每个弹簧元的刚度矩阵：然后依次求出每个弹簧元的刚度矩阵：29组组装后：整体刚刚度矩阵阵是对称并带状对称并带状分布的。303.2.13.2.1 线性静力分析线性静力分析3.2.2 3.2.2 杆单元杆单元3.2.3 3.2.3 梁单元梁单元31大部分结构分析问题都可以看作是线性静力分析大部分结构分析问题都可以看作是线性静力分析问题，它们都基于以下假设：问题，它们都基于以下假设：1.小变变形（加载载方式不会会因为变为变形而改变变）2.线弹线弹性材料（不存在塑性和破裂）3.静静力载载荷（在结构结构上的载载荷是慢速平稳稳地施加上去的）线性静力分析可以解决结构分析问题中大部分
10、的线性静力分析可以解决结构分析问题中大部分的问题，对于大多数的结构分析问题，静力分析可问题，对于大多数的结构分析问题，静力分析可以得到一个近似的结果。以得到一个近似的结果。线性静力分析是非线性分析的基础。线性静力分析是非线性分析的基础。线性静力分析线性静力分析32杆单元：杆单元：杆单元杆单元33刚度矩阵刚度矩阵直接法：直接法：假设设位移u沿着杆的轴轴向线线性分布：K即为为杆单单元的刚刚度系数数，杆单单元和弹弹簧元类类似。杆单元杆单元34单单元刚刚度矩阵为阵为：单单元的平衡方程组为组为：节节点自由度：对对一维维的杆单单元，每个节个节点就只有一个个自由度刚刚度矩阵阵K中系数数的物理意义义：K中第j
11、列的系数数表示在节节点j施加单单位位移而其他节节点固定不动动的时时候，杆上所承受的力。杆单元杆单元35刚度矩阵刚度矩阵正规推导方法：正规推导方法：定义两个义两个形函数数：位移u沿着杆的轴轴向线线性分布：可得应变为应变为：B为单为单元的应变应变-位移矩阵阵：杆单元杆单元36单单元应应力为为：杆单单元上的应变应变能为为：杆单单元2个节个节点所做的功为为：对对于保守系统统，U=W，故有：杆单元杆单元37上式等价于：其中k即为为单单元刚刚度矩阵阵上述方法就是正规规的推导过导过程，该该方法也可以用来来推导导其他类类型的单单元刚刚度矩阵阵。单单元刚刚度矩阵阵也可以通过过其他严严格的方法获获得，比如最小势势
12、能原理，伽辽辽金方法等。于是我们们可以得到杆单单元的刚刚度矩阵阵：上式结结果和直接法的结结果一样样。杆单元杆单元38例子：例子：问题问题描述：在节节点2处处施加F，求杆1和杆2上的应应力。求解方法：用1-D杆单单元。单单元1和单单元2的刚刚度矩阵阵分别为别为：假设设在节节点2处处是用一个个无摩擦的铰链将铰链将杆1和杆2所连连接。杆单元杆单元39组组装后：载载荷和边边界条条件为为：删删除第1行第1列和第3行第3列后得：杆单元杆单元40最后可以得到单单元1内内的应应力：同理，可以得到单单元2内内的应应力：负号负号表示单单元2所受的是压应压应力。杆单元杆单元41注意：注意：1)在这个这个例子中，根据
13、一维线维线性理论论所计计算出来来的单单元1和2中的应应力是精确解，所以如果我们将单们将单元细细化不会会提高精度。2)如果对对于阶阶梯杆结构结构，其中的A要采用横横截面的平均面积积。3)为为了得到单单元1和2中的应应力，我们们首先要得到节节点的位移，因为为采用的基于位移场场的有限元法。杆单元杆单元42二维空间上的杆单元：二维空间上的杆单元：注意：在线弹线弹性理论论的前提下，横横向位移 对对杆单单元的拉伸没没有贡献贡献。杆单元杆单元43坐标变换：坐标变换：矩阵阵形式：杆单元杆单元44对于对于2个节点的杆单元有：个节点的杆单元有：节节点力也采用相同的变换变换方法：二维空间下的局部坐标系下的刚度矩阵：
14、二维空间下的局部坐标系下的刚度矩阵：杆单元杆单元45扩大后：扩大后：矩阵阵形式：K为为整体坐标标系下的刚刚度矩阵阵杆单元杆单元46K的显显式表达达式为为：单单元应应力：杆单元杆单元47三维空间上的杆单元：三维空间上的杆单元：先在局部坐标标系下求出单单元刚刚度矩阵阵，然后再转换并组转换并组装到整体坐标标系下进进行计计算。杆单元杆单元48简单的平面梁单元：简单的平面梁单元：基本的梁理论论：梁单元梁单元493.3.13.3.1 基本理论回顾基本理论回顾3.3.2 3.3.2 二维问题的有限元二维问题的有限元50应力和应变：应力和应变：在特定的条条件下，应应力应变状态应变状态可以简简化，因此，一般的三
15、维问题维问题可以简简化成二维问题来维问题来分析基本理论回顾基本理论回顾51平面应应力：平面应变应变：基本理论回顾基本理论回顾52本构关构关系（平面应应力）：本构关构关系（平面应变应变）：基本理论回顾基本理论回顾53应变与应变与位移的关关系：边边界条条件：基本理论回顾基本理论回顾54常应变单元（常应变单元（CST or T3）位移函数数：55位移插值插值函数数：56应变应变：CST单单元刚刚度矩阵为阵为：t为单为单元厚度，k为为一个个66的对称对称矩阵阵。57双线性四边形单元（双线性四边形单元（Q4）位移函数数：58例子：例子：59网格划分：网格划分：60计算结果：计算结果：61载荷的变换：载荷
16、的变换：集中力(点载载荷)，面力(压压力载载荷)，体力(重力)为为三种种主要的外载载荷。面力和体力都需要经过变换经过变换以后才能加到有限元中。变换变换的基本思想就是：等效功。62其中，t为单为单元厚度，L为单为单元边长边长，un为为垂直于边边界AB的位移分量。对对于Q4单单元来说来说，有：63应力计算：应力计算：单单元内内的应应力计计算公式为为：B为应变与节为应变与节点位移之间间的关关系矩阵阵，d为计为计算后的节节点位移向量。我们们可以计计算出单单元内内部任意一点的应应力，包括单单元中心和节节点位置。应应力分布的等值线值线可以通过过后处处理软软件显显示出来来。64讨论：讨论：1）需要了解每个单
17、个单元类类型的特性：T3和Q4：线线性位移，常量应变应变和应应力T6和Q8：二次位移，线线性的应变应变和应应力2）对对于一个个特定的问题选择问题选择一种种合适的单单元毫无疑问问，应该尽应该尽可能地采用高阶单阶单元和细网细网格。3）要避免单单元具有大形状状比和尖角：65讨论：讨论：4）单单元之间间要互相连连通：在有限元模型中不能存在间间隙或自由单单元。663.3.13.3.1 方程组求解方程组求解3.3.2 3.3.2 有限元方法的实质有限元方法的实质3.3.3 3.3.3 数值误差数值误差3.3.4 3.3.4 有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性67直接法（高斯消去法）：直接法（高斯消去法）
18、：求解时间时间是和NB2成正比（N为为矩阵阵的维数维数，B为为矩阵阵的带宽带宽）适合小到中等规规模的问题问题，小带宽带宽的问题问题。对对于多重载载荷的情况况，容易处处理。迭代法：迭代法：求解时间时间事先不可预预知降低对对存储储空间间的要求适合大型规规模问题问题的求解（带宽带宽可以很大，收敛敛快）对对于不同载载荷的工况况需要重新求解。方程组求解方程组求解68高斯消去法例子：高斯消去法例子：回代求解：方程组求解方程组求解69迭代法（高斯迭代法（高斯-赛德尔）例子：赛德尔）例子：从从一个个初始解X(0)开开始按照以下公式计计算：一直到X满满足以下条条件，迭代终终止。其中为为收敛敛控制的容忍误误差。方
19、程组求解方程组求解70有限元模型有限元模型是基于很多近似以后对实际结构的是基于很多近似以后对实际结构的一个数学模型。一个数学模型。实际结构实际结构具有无限个节点，所以具有无限个自具有无限个节点，所以具有无限个自由度。由度。有限元模型有限元模型具有有限个节点，所以具有有限个具有有限个节点，所以具有有限个自由度。自由度。位移场场是被有限个节个节点位移的值值所控制的：有限元方法的实质有限元方法的实质71刚刚度效果：有限元模型比实际结构实际结构要更刚刚一些。一般来说来说，位移解要比实际实际情况况偏小一些。所以，有限元计计算的位移是精确解的一个个下限：有限元方法的实质有限元方法的实质72误差误差错误（模
20、型和计算）。错误（模型和计算）。误差的类型：误差的类型：模型误误差（梁，板，理论论）离散误误差（有限，分段，）数值误数值误差（在求解有限元方程组组的时时候）例子（数值误差）：例子（数值误差）：数值误差数值误差73有限元方程组为：有限元方程组为：如果K2 K1的话话，方程组组是非病态态的：在有限元模型中不同部分的刚刚度相差很大的话话有可能导导致有限元方程组组的病态态，产产生很大的误误差。病态态方程组组的情况况下，很小的输输入变变化量（右端项项向量）求解时会时会引起很大的变变化量。数值误差数值误差75随着有限元模型中的网格不断地被加密和细化，随着有限元模型中的网格不断地被加密和细化，有限元的计算结
21、果将收敛于被求解的问题的数学有限元的计算结果将收敛于被求解的问题的数学模型的精确解。模型的精确解。有限元网格自适应类型：有限元网格自适应类型：h-refinement:减减小单单元尺寸（h指单单元的尺寸）。p-refinement:增加单单元多项项式插值插值函数数的阶阶次（p指更高阶阶次的多项项式插值插值函数数）。r-refinement:重新划划分有限元网网格。hp-refinement:h方法和p方法互相结结合的方法。有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性76网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性77网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：有限元求解的收
22、敛性有限元求解的收敛性78网格自适应类型例子：网格自适应类型例子：有限元求解的收敛性有限元求解的收敛性793.4.13.4.1 板理论板理论3.4.2 3.4.2 板单元板单元3.4.3 3.4.3 壳和壳单元壳和壳单元80板理论：板理论：平板横横向加载载弯弯曲效应为应为主注意：应用范围：应用范围：剪力墙墙地板架子等板理论板理论81板单单元的力和弯弯矩：应应力：板理论板理论82板单单元的力和应应力之间间的关关系：单单位长长度的弯弯矩：单单位长长度的扭扭矩：单单位长长度的剪力：最大弯弯曲应应力：最大弯弯曲应应力总总是在在中性层没层没有弯弯曲应应力（与与梁单单元类类似）板理论板理论83薄板理论（薄
23、板理论（Kichhoff 板理论）：板理论）：直法线线假设设（与与梁单单元类类似）：与与中性层层垂直的直法线线在变变形后仍然与与中性层层保持垂直，也就是说没说没有剪切变变形：位移：板理论板理论84应变应变：注意：在中性层没层没有拉伸变变形。应应力（平面应应力）：剪力和弯弯矩：板理论板理论85厚板理论（厚板理论（Mindlin 板理论）：板理论）：如果板厚不够够薄，即 t/L 1/10，应该应该采用厚板理论论。直线线假设设：该该理论认为论认为在变变形过过程中截面角度发发生改变变，即：与与中性层层垂直的直线线在变变形后与与中性层层不再保持垂直，但仍然是直线线。板理论板理论86新的独独立变变量：x和
24、y：分别为别为直线线沿x轴轴和y轴轴的旋转转角度，变变形前该该直线与线与中性层层垂直。新的关关系：注意：如果我们们引入以下条条件，厚板理论论又可以退化成薄板理论论。板理论板理论87Kichhoff 板单元：板单元：四节节点四边边形单单元每个节个节点的自由度：每个单个单元的z方向的位移为为：板单元板单元88Kichhoff 板单单元是一种种不协调单协调单元，但是其刚刚度矩阵阵仍旧旧可以写写成：B为应变与为应变与位移的关关系矩阵阵，E为应为应力应变关应变关系矩阵阵。板单元板单元89Mindlin 板单元：板单元：4-nodes四边边形单单元 8-nodes四边边形单单元 每个节个节点的自由度：每个
25、单个单元有：三个独个独立的位移场场对对Q4，w(x,y)是线线性的，对对Q8，w(x,y)是二次。板单元板单元90离散的离散的Kichhoff 板单元（板单元（DKT）：）：三角形板单单元，推导开导开始于6-nodes三角形单单元：每个个角节节点的自由度：每个个中节节点的自由度：总总自由度为为21。然后引入边边界条条件：减减少自由度。板单元板单元91可以得到：每个节个节点的自由度：总总自由度为为9（DKT单单元）。DKT 板单单元的w(x,y)也是不协调协调位移函数数，DKT板单单元收敛敛速度快，有效。板单元板单元92壳：具有弯曲面的薄结构壳：具有弯曲面的薄结构例子：鸡鸡蛋壳壳（自然界的奇迹）
26、容器，管道，罐汽车车车车身屋顶顶，穹顶结构顶结构的建筑，等等壳与壳单元壳与壳单元93壳壳中的力：膜力+弯弯矩（板只能承受弯弯矩）例子：圆圆柱形容器壳与壳单元壳与壳单元94壳壳理论论：薄壳壳理论论厚壳壳理论论在力学学中，壳壳理论论是一种种在列式和分析方面最复杂复杂的理论论之一。（前苏联苏联的科学学家贡献贡献很大）：工程技能技能需要很强的分析技巧需要很强的分析技巧壳与壳单元壳与壳单元95平板壳单元（应用最广泛）：平板壳单元（应用最广泛）：比较较：杆单单元+简单简单梁单单元=一般的梁单单元 膜单单元+平板单单元 =平板壳单壳单元每个节个节点的自由度：Q4或Q8壳单壳单元：壳与壳单元壳与壳单元96弯曲壳单元：弯曲壳单元：基于壳壳理论论最一般的壳单壳单元平板壳单壳单元和板单单元是其子集列式和推导极导极其复杂复杂壳与壳单元壳与壳单元
