1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(4)求出曲线的全部渐近线(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制 点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹 凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.例5 作出例4中函数的图形)1(4)3(2xxy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(1)定义域为x1的实数;当x=1时为间断点,x=0时y=-9/4,y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点 为(0,-9/4),(3,0)222)1(9668241 xxxxx(2)2
2、22)1()3()1)(3(241)1(4)3(xxxxxxy222)1(4)1)(3()1(3241 xxxxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 令y=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域 分成四个区域:曲线在(-,-1,3,+)之内y0,函数单调上升;曲线在-1,1),(1,3内y0函数单调下降.函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有 极大值 y(-1)=-2;函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有 极小值y(3)=0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(3),)1
3、(4)3(2xxy当x1时,y”1时,y”0,曲线下凹,没有拐点.x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此x=1不是点.,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2 xy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4)1(4)3(limlim211xxyxx所以x=1是曲线的竖直渐近线;41)1(4)3(limlim2kxxxxyxx是曲线的斜渐近线(5)函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点 (2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)45195lim411)1()3(lim41)41(lim2xxx
4、xxxxyxxx4541xy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系yxx=14y=x-5x (-,-1)-1 (-1,1)1 (1,3)3 (3,+)y +0 -不存在 -0 +y”-不存在 +y -2 -,+0 +综合上面的讨论,列表如下:高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等式.(2)证明某些等式.(3)方程根的进一步讨论.(1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:10 利用导数定义证明.20 利用微分中值定理;30 利用函数的单调性;高等数学电子教案高
5、等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 40 利用极值(或最值);50 利用泰勒公式.60 利用函数的凹凸性证明 20 利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯 西中值定理证.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 证明不等式).1,1(,ln)1(21111211nanaaaanannnn证明：把lna乘以各式,得到)1(,ln)1(ln21
6、111211anaaaanaannnn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系区间1/(n+1),1/n上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f()(b-a)111nnaa)1,11(),111(ln111nnnnaaaann其中)1,11(,)1(ln)1(1)1(1111111nnnnaaaannnnnnnnnn 因为 是函数f(x)=ax 在高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系11111ln(),1nnaaaann11(,)1nn其 中11111(1)(1)nnnnn nn n11111,(,
7、)ln(1)1nnaaaan nnn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系111,1ann1111111112222(1)(1)ln(1)nnnnnnaaaaaaann nnnan111111(1)(1)(1)nnnnaaaaaan nn nn n高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系21112120,(coscos)2xxxxxeexxe如果证明例321112:.coscosxxxeeexx分 析把 原 式 变 成 为.这是两个函数的商利用柯西定理12:(),()cos,(),(),tf te g ttf tg tx x证明 令
8、则在上.满足柯西定理高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系21212112()()(),()()()coscosxxf xf xfeeg xg xgxx的条件 故12,0sin2exx2112(coscos)sinxxeeexx从而有11212(coscos)(coscos)xxxexxe高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系30 利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证0)(0)1ln(3232xfxxxx
9、)1ln(3232xxxx例4 当x0时,证明不等式高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf其辅助函数为)1ln(32)(32xxxxxf0)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2 fxxxf)0(0)1(11 2)1(22)(33 xxxxf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf 所以当x0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0)(x0)从而f(x)严格单调增加,于是当x0时f(x)f(0)=00
10、)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2 fxxxf)0(0)1(11 2)1(22)(33 xxxxf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 设f”(x)0,f(0)=0,证明当0ab时,f(a+b)f(a)+f(b)(1)证明由微分中值定理知)()(12ff函数f(x)严格单调减少证明:要证明f(a+b)f(a)+f(b)就只要证f(a+b)-f(b)0,y0时,xlnx+ylny(x+y)ln(x+y)/2有于是对任意为凹函数因此,0,0,)(yxtf),()(21)2(yfxfyxfyyxxyxyxlnln2ln)(即高等数学电子教
11、案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)证明某些等式证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知 道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变
12、形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.)()(xfexx解:辅助函数为例9 设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明在(a,b)内至少存在一点,使f()+f()=0,这里的是任意实数.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系根据连续函数的性质可知,(x)在a,b上连续,在(a,b)内也可导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点0)()(0)()()(ffffe例10 设f(x)在a,b上连续(0ab),在(a,b)内可导,证明在(a,b)内存在,使得abff)()(2应用柯西定理有与上对在证明xxgxfba1)()(,:)
13、(1)()()(11)()(2bafababafbfabafbf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系有应用拉格郎日定理上对再在,)(,xfba(3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨论.关于方程根的证明,主要有两种情况(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性)()()()(bafabafbf),()()()()(2baffababafbf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系ln20(0,)xxe
14、证明方程在区间内至少有两个实根例11由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+)内各有一个根.xyY=lnx1:()ln2,()(0,)xf xxf xe证明 令问题变成证明在区间内至少有两个00,lim()lim(ln2)xxxf xxe零点因为()1 1220f e lim()lim(ln2)xxxf xxe高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系2.利用罗尔定理证明方程根的存在性 这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅助函数,把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点的存在性.例12 设实数a0,a1,a2,a3,an,满足关系式01.32210
15、naaaan证明 方程a0+a1x+a2x2+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系01:().,(),nnxaa xa xf x 证明 令作辅助函数()().fxx使()0(),xfx于是方程的存在性变成的零点的存在性()()fxx由231120().231nnaaaf xa xxxxn 易知(0)(1)0,()0,1fff x在上满足罗尔定理中,(0,1),.的三个条件 故在内至少存在一点01()0,.0(0,1)nnfaa xa x 使即方程在内.至少有一根高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉
16、科技学院数理系(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根证明的步骤和方法如下:方法有:利用函数的单调增减性;用反证法,通常可利用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.2.再证唯一性或最多有几个根.方法有:利用连续性函数的介值定理;利用罗尔定理.1.先证存在性高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例13 设f(x)在0,1上可导,且0f(x)1,又对于(0,1)内所有的 x,f(x)-1,证明方程f(x)=1-x在(0,1)内有唯一的实根.证明:先证存在性.令(x)=f(x)+x-1,则(x)在0,1上可导,因为0f(x)1,所以(0)=f(0)-10,由介
17、值定理知 (x)在0,1内至少有一个零点.即方程f(x)=1-x 在(0,1)内至少有一个根.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 再证唯一性.用反证法.设方程f(x)=1-x在(0,1)内有 两个根x1,x2.不妨设0 x1x21.即f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2.对f(x),在x1,x2 0,1上应用拉格朗日中值定理,有 (x1,x2),使1)1(1)()()(12121212xxxxxxxfxff 这与假设f(x)-1矛盾,故唯一性得证.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系有些同学是这样做的:2222.037121.2.03712.0371其实(下面是按 的微分展开)211）（与1相比,并没有近似为0.所以上面的解法和精确的值相差较大.应该是这样做:1037.21037.222计算的近似值2220.42.03715
