1、第二章 矩阵及其运算(Matrix&Operation)矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。则与技巧。某班级同学早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名姓名馒头馒头包
2、子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周星周星驰驰4221张曼张曼玉玉0000陈水陈水扁扁4986422100004986 为了方便，常用下面右边的数表表示为了方便，常用下面右边的数表表示2.11.定义定义2.1 由由mn个个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的排成的m行行n列的数表列的数表111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa称称m行行n列矩阵，简称列矩阵，简称mn矩阵。记作矩阵。记作111212122212.nnmmmnaaaaaaaaaA2.说明说明:矩阵与行列式不同矩阵与行列式不同1)形式不同形式不同 矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同矩阵的行列数可不同，但行列式必须
3、行列数同.2)内容不同内容不同 矩阵是一个数表，但行列式必是一个数矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵实矩阵、复矩阵5.矩阵矩阵 相等相等 充要条件是充要条件是:BA是同型矩阵是同型矩阵、）BA1)(2位置上的元素相等位置上的元素相等，第第）jibajiji 4.同型矩阵同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵2.1.2 一些特殊矩阵一些特殊矩阵1.方阵方阵 若若A为为n行行n列的矩阵，称列的矩阵，称A为为n阶方阵。阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵行矩阵行矩阵 只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。列矩阵列矩阵 只有一列的矩矩阵只
4、有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵零矩阵、单位矩阵表零矩阵nm 00n阶单位矩阵阶单位矩阵 100010001nI4.对角矩阵与数量矩阵对角矩阵与数量矩阵;),(2121nnaaaaaadiag5.上（下）三角形矩阵上（下）三角形矩阵 nnnnaaaaaaA22211211 nnnnbbbbbbB21222111kkkkI2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.2.1.2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:111112121121212222221122.nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
5、同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。元素进行相加。1.矩阵的加法（定义矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)2.矩阵的数乘矩阵的数乘 定义定义2.3 数数与矩阵与矩阵的乘积记为的乘积记为A或或A，并规定：，并规定：111212122212.nnmmmnaaaaaaaaaA负矩阵负矩阵:A=(aij)减法：减法：B=+(B)3.矩阵线性运算律：矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O (4)1A=A (5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA (7)k(A+B)=kA+k
6、B 例例1若若X满足满足XBA22 其中其中534021A,435628B求求 X.解解 X=2.2.2.矩阵的乘法矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩阵、矩阵阶矩阵、矩阵B为为 sn 阶矩阶矩阵，阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵，则矩阵 A与与 B 的乘积为一的乘积为一 mn 阶矩阵阶矩阵C=(cij)mn，记，记 C=AB，且且112211,2,()1,2,ijijijinnjnikkjkca baba bima bjpsss11.jiinijnjbaacb 就是说，矩阵就是说，矩阵C 的第的第 i 行第行第 j
7、列的元素等于列的元素等于矩阵矩阵 A 的第的第 i 行的所有元素与矩阵行的所有元素与矩阵 B 的第的第 j 列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。ss例例2 计算计算 152295211081043521430112例例3.非齐次线性方程组的矩阵表示非齐次线性方程组的矩阵表示 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111记记 mnnmjibbbxxxaA11)(则非齐次线性方程组可简记为则非齐次线性方程组可简记为bAx (1)()()(2)()()()(3)()()(4)mm nm nm nnm nAB CA BCABA BA
8、 BA B CABACB C ABA CAE AAAEA关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵）矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右做乘法必须是左矩阵的列数与右 矩阵的行数相等；矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是是 A左乘左乘B的乘积，的乘积，BA是是A右乘右乘B的乘积；的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律矩阵乘法与加法满足的运算规律（3 3）ABAB与与BABA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一定相等；不一定相等；（4 4）AB=O AB
9、=O 不一定有不一定有A=OA=O或或B=O B=O；A(XA(X Y)=O Y)=O 且且 A O A O 也不可能一定有也不可能一定有X=YX=Y1 111 1 11122 22.O0如：显然有：矩阵乘法不满足总结:交换律与消去律ABABBAABABBA例例4定理定理2.1 若矩阵若矩阵A的第的第i行是零行，则乘积行是零行，则乘积 AB的第的第i行行也是零；若矩阵也是零；若矩阵 B的第的第j行是零列，则乘积行是零列，则乘积 AB的第的第j列也是零。若列也是零。若A(或或B)是零矩阵，则乘积是零矩阵，则乘积 AB也是零矩也是零矩阵。阵。例例5 设设 321121,111121BA求求AB与与
10、BA 1710303036231BAAB解解只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m (2)(An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk()nnn 为正数AAAA3.矩阵的乘幂：设矩阵的乘幂：设 A 是是 n 阶方阵，定义阶方阵，定义：101020,.(2 3.)001kAAk求、例例6 解解），32(121kAkk 4.4.方阵方阵A的的n次多项式次多项式012012 ()()()()()()()nnkmxaa xaaxnma
11、aaafmggx2n2nfx+.+xA f AEAA+.+AAAAAEAf AAA f AA设为 的 次多项式，为 阶方阵，记称为矩阵 的 次多项式.由于方阵、对乘法是可交换的，所以矩阵 的多项式的乘法也是可交换的，即从而 的多项式可以象数 的多项式分233232(2)()()33AAEAEAEAEAAAE解因式.如：5.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 A2.6 A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，是将，是将A A的行列互换后所的行列互换后所得矩阵如果得矩阵如果 A A是一个是一个 m mn n 阶矩阵，阶矩阵，A AT T 是一个是一个 n nm m 阶矩阵阶矩阵。T14
12、1232545636AAT TTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAA BABAAABB A矩阵的转置的性质矩阵的转置的性质证明证明（1）、（）、（2）、（）、（3）易证，下证明）易证，下证明(4).设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩阵，矩阵阶矩阵，矩阵 B为为sn阶矩阵，那么：阶矩阵，那么：(AB)T与与 BTAT 是同型矩阵；是同型矩阵；又设又设 C=A B，因为，因为 CT的第的第 i 行第行第 j 列的元素正好是列的元素正好是 C 的的 cji，即，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而而b1i，b2i，bsi
13、正好是正好是 BT的第的第 i 行，行，aj1,aj2,ajs 正正好是好是 AT的第的第 j 列，因此列，因此 cji 是是 BTAT的第的第 i 行第行第 j 列的元列的元素。故素。故 (AB)T=AT BT 6.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵 设设 A为为 n 阶方阵，阶方阵，若若 AT=A，即即 aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵A 为对称矩阵；为对称矩阵；若若AT=A，即即 aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵 A 为反对称矩阵。为反对称矩阵。171720103A如右边的矩阵如右边的矩阵A 为对称矩阵为对称矩阵7.方阵的行列式方阵的行列式（
14、1）方阵）方阵 A 的行列式，记为的行列式，记为|A|或或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律）方阵的行列式满足以下运算规律(设设 A、B为为n 阶方阵，阶方阵，为实数为实数)T(1)|(2)|(3)|(4)|nAAAAABA BABBA1)伴随矩阵：设伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵，矩阵A中元素中元素aij的代数的代数余子式余子式Aij构成的如下矩阵构成的如下矩阵8 8、再讲几类特殊的矩阵、再讲几类特殊的矩阵11211*1222212.nnnnnnAAA
15、AAAAAAA称矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为的伴随矩阵，记为AT1 1 1 2 312 3 nABCABC设，求例例1 18例例矩阵运算举例矩阵运算举例*(det)AAA AA E伴随矩阵有如下重要性质：1 12 3112332.()().()().()11 1 1 232 33111 12 3132 12 3331nnnn CCC CAB ABABABABABBAC而所以：解：T n设、为 阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。A BAB AB例例2 2.TTTTTTTTT ()()因为，所以故是对称矩阵。证明：AAB ABB ABB ABB AB9例例 n例3.A BABABBA设、都
16、是 阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是TTTTTTTTT()()()ABABABABB AAA BBABB ABAABBAAB是对称矩阵而，又，所以有：故是为对称矩阵的证明：充要条件.10例例TT TT TTT2T 2TT 2TTTTTTTT(2)(2)2(2)44()44()()44()44HEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXXXXEXXX X X XEXXXXE证明：TT12TT(,.,)42nx xxn例.XX XEHEXXHHHE设列矩阵满足=1,为 阶单位矩阵，,证明是对称矩阵，且=11例例 设对于设对于 n 阶方阵阶方阵 A，若存在，若存在 n 阶方阵阶方阵 B
17、 使得使得 A B=B A=E 恒成立，则称矩阵恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；或非奇异矩阵；B 称为称为 A 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 A1=B 。1）.若矩阵若矩阵 A可逆，则可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。证明：证明：设设 A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B1、B2，则，则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质2.31*1121111121*122222122212121 .nnnnnnnnnnnni
18、jijaaaaaaaaaa A A A A A A A A AA A A A AA A其中是矩阵的元素的代数余子式。证明：充分性证明：充分性 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又，又|A|02）.定理定理2.2 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0，且，且A可逆可逆时有时有*1*111()():|AAA AEAAAAA故3）.对于对于n 阶方阵阶方阵 A、B 若有若有 AB=E 则：则：A、B 均可均可逆，且它们互为可逆矩阵。逆，且它们互为可逆矩阵。证明：证明：AB=E|A|B|=1 故故|A|0且且|
19、B|0，A、B均可逆，又均可逆，又BA=BABB1=BB1=E,故故 A1=B必要性证明：必要性证明：A可逆可逆 A A1=A1 A=E故故|A|A1|=1，即，即|A|0，A可逆，可逆，同时还有同时还有11|AA奇异矩阵与非奇异矩阵：若奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵方阵的行列式的行列式|A|0，称矩阵，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。称为奇异矩阵。4）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质 如果如果A、B均可逆，那么均可逆，那么AT与与AB都可逆，且都可逆，且 (A 1)1A (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 (kB)1k1A1(k为非零）为非零）|A1|=
20、|A|1 证明：证明：A、B均可逆均可逆 AA1=A1AE 故故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理同理(AB)(B 1 A1)(B 1 A1)(AB)E (A)1=1 A111111.0 1.11nnnnaaaaaaAABABBAEAB设且，求：且所以例有解：12例例有关逆矩阵例题有关逆矩阵例题1*1*3 1.0 22160311136102.2AAAAAAA例解：设，求，13例例1*1*1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1121001211001200011231010121001201.00AAAAAAA设，求：，例解：所 以 14例例
21、1212121212 ().().(.()(.4.(.kkkkkkkAEAEAAAEA EAAAEAAAEAEAAAAAAEAE0如果，那么（）例证明：）15例例*1*1().0 1()5.AAAAAAA AAAEAAAAEAAAAAAQ设 矩 阵 可 逆，求 证 也 可 逆，并 求可 逆，有由 公 式 有 ，可 逆且 例证：16例例2310:041.AAEOA AE已知，证明和都可逆，并求出例它们的逆矩阵13(3)10101(3)10AEA AEEAEAAAE所以可逆且证：，明17例1(4)()6(4)61(4)()6AEAEAEEAEEAAEAE又所以 可逆，且 本节来介绍一个在处理高阶矩
22、阵时常用的方法，本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。111213142122232431323334 aaaaaaaaaaaaAA例如，设矩阵，将矩阵分成子块的形式有很多种，下面就是三种不同2.4 2.4 分块矩阵分块矩阵1112131421
23、2223243132333411121314111213142122232421222324313233343132333411122122 1)2)3)1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAA的分块形式：在分块形式中，其中11111212131423242122212231323334 ,aaaaaaaaaaaaAAAA，111211112121222212221212.ssssrrrsrrrsA AAB BBA AAB BBABA AAB BB即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与行数，则：A与与B 的和就是以的和就是以Ai
24、j与与Bij为元素的形式矩阵相加。为元素的形式矩阵相加。2.4.1 分块矩阵的加法：分块矩阵的加法：设矩阵设矩阵A,矩阵矩阵B为为：111112121121212222221122.ssssrrrrrsrsABABABABABABAABABAB2.4.2 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法：设矩阵设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵且矩阵 A 列列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。11121111212122221222121212112122.srsststrrrssssttmmmpnnnnpnnpAAABBBAAAABBBBAAABBB1112121222121 12 212112.(1,2,.,1,
25、2,.,)ttrrrtspqpqpqpssqpkkqktrpppmr qmpmt C CCC ABC CCC CCCA BA BA BA B于 是 有，其 中，1111222212111212122212TTT21TTTTTTT.rrssrsssrrrsAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设矩阵 的分块矩阵为则矩阵 的转置矩阵为2.4.3 分块矩阵的转置分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为为准对角矩阵（或对角块矩阵）。准对角矩阵（
26、或对角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质对于准对角矩阵，有以下运算性质：若若A与与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设是具有相同分块的准对角矩阵，且设120.00.0.00.sAAAA2.4.4 准对角矩阵准对角矩阵 若矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式的分块矩阵具有以下形式11220.00.00.00.0.00.00.ssABABABAB则：11220.00.0.00.ssABABABAB11220.00.0.00.ssA BA BA BA BT1TT2T0.00.0.00.sAAAA若准对角矩阵若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵阵A
27、也可逆，且也可逆，且1111210.00.0.00.sAAAA12120.00.0.0 0.ssAAAA AAA2.4.5 矩阵分块的应用矩阵分块的应用1231231 2 0 0 03 7 0 0 00 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0 7 41 2 0 0 03 7 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0 7 41 2 9 5|13 7 73.4AAAAAAAAAAA设，求对进行分块如下解：例：18例11111122122111212122211121112112222 .4 A 0XACB CXXXXX XEXXXXE 0A 0B CXX0 EAXAXE 0B
28、XCXBXCX0 E设，且 与 均是可逆例解：矩阵，求设即：19例1111111212111121211122222211111 0 XAAXEXAXBXCXXC BABXCXEXCAXC BA C故：0002.4.6 矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块1112121222121212.(1,2,.)(,.,).nnmmmnjjjnmjaaaaaaaaaaajnaAA 记则11 11221121 1222221 1221112111122212222.().nnnnmmmnnmijnnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbaaaabxbxbaaabxbA
29、xbB对于线性方程组记12.mmmnmaaabAxb则2.线性方程线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式的等价形式bAX 则方程记为12121 12 2 (,.,).nnn nxxxxxxAx bb即如果把系数矩阵如果把系数矩阵A A按列分成按列分成 n n块，则线性方程组可块，则线性方程组可记作记作Axb2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换(Elementary operation)1 初等变换 定义定定下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩阵的初等变换初等变换：(i).对调两行对调两行(ii).以非以非0数乘以某
30、一行的所有元素；数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去倍加到另一行对应的元素上去 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，即得矩阵的初等列变换的，即得矩阵的初等列变换的定义。定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。是同一种初等变换。例18 设 17533164221421001111A（1）用行初等变换用行初等变换 把把A化为阶梯形，进一化为阶梯形，进一步化为行标
31、准形步化为行标准形（2）再用列初等变换再用列初等变换 把把A化为标准形化为标准形解解（1）22例 17533164221421001111A 142001420014210111111413)3()2(rrrr 000001420000010111113432)1(rrrr（行阶梯形）（行阶梯形）000002121000001011111)21(3r行行标标准准型型）(B 00000212100000102110013121rrrr 00000001000001000001初等列变换初等列变换B标准型）标准型）(2 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵定义定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一
32、个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行都是零行 如下面的阶梯形矩阵如下面的阶梯形矩阵 0000220011202121 0000000000930008760032121行标准型行标准型00#rI标准型 000rI下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型下面形式的矩阵称为标准型3.定理定理2.3设设A是一个是一个m行行n列矩阵，通过行初等变换可列矩阵，通过行初等变换可以把以把A化为如下行
33、标准型化为如下行标准型00#rI 4 定理定理 矩阵矩阵A可经初等变换化为标准形可经初等变换化为标准形:000rI（1）.已知已知分别将分别将A的第一、二行互换和将的第一、二行互换和将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵并用矩阵乘法将这两种变换表示出来乘法将这两种变换表示出来。123456A23例解解 交换交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘左乘A：01(1,2)10E0 1 1 2 34 5 61 0 4 5 61 2 3 21R将将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵倍加
34、到第二列，即用三阶初等矩阵右乘右乘A：120(1,2(2)010001E120123103010456436001)2(12C2.5.2 初等矩阵初等矩阵1.初等矩阵的定义（定义初等矩阵的定义（定义2.12）由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。
35、此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。(1)对于对于n阶单位矩阵阶单位矩阵I，交换，交换E的第的第 行行 ，得到的初等矩阵记作：，得到的初等矩阵记作：1011(,)1101iE i jj行行ijRji,)(ji(2)用非零数用非零数k乘以乘以I的第的第 行，得到的初等矩行，得到的初等矩阵记作阵记作:11()11 E i kkii行列i)(kiR(3)将将I的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行，得到的行，得到的初等矩阵记作：初等矩阵记作：11(,()11 kiE i j kij行行列列jjki)(kjiR(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵ijC)(
36、kijC)(kiC2.初等矩阵之间的关系初等矩阵之间的关系,ijijCR )(kiR )(kjiR)(kiC)(kijC 3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题先看下面的例题,ijijCR 如ijTijTijRCR 131211232221333231333231232221131211001010100aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333233312322232113121311333231232221131211222102010001aaaa
37、aaaaaaaaaaaaaaaaa1）行初等矩阵左乘矩阵）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵列初等矩阵右乘矩阵2）.结论结论定理定理2.4 A为矩阵为矩阵,对对A进行初等行变换等同于用相应的进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘行初等矩阵左乘A，对，对A进列变换等同于用相进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘应的列初等矩阵右乘A。5.矩阵等价矩阵等价定义定义2.13 若矩阵若矩阵A经过行（列）初等变换可化为经过行（列）初等变换可化为B则称则称A与与B行（列）等价。若矩阵行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可经过初等变换可化为化为B则称则称A与与B等价等价6.初等矩阵可逆性初等矩阵可逆
38、性初等矩阵是可逆的，且有初等矩阵是可逆的，且有)(1)()1(1)(1)(,)(,)(kjikjikikiijijRRRRRR)(1)()1(1)(1)(,)(,)(kjikjikikiijijCCCCCC7.结论结论定理定理2.6 可逆矩阵可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积也可以表示为有限个列初等矩阵的积。证明：证明：因为任意矩阵因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵，有行、列初等矩阵tsQQPP11;00011rtsIQAQPP使得使得因因A可逆，所以可逆，
39、所以A的标准形中不可能有零行，的标准形中不可能有零行，从而从而 r=n,即有即有nr IQAQPPts 11于是有于是有111111QQPPAts证毕证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。定理定理2.5 矩阵矩阵A 与与B等价当且仅当存在可逆的等价当且仅当存在可逆的P与与Q，使得，使得 PAQ=B.特别地，矩阵特别地，矩阵A等价于等价于A的标准形。的标准形。证明：证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩
40、阵一定可以经初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积限初等矩阵的积8.可逆矩阵的逆的求法可逆矩阵的逆的求法 A可逆可逆,则有行初等行矩阵则有行初等行矩阵sPP1使得使得IAPPs 1 则有则有11 AIPPs记记 IAIPPPAPPPss1212 11 AIPPIs则有行初等矩阵则有行初等矩阵)(121IAPPPPss使得使得121PPPPss上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：单方法，举例如下：例4 求A的逆矩阵 3152A 2110112
41、110310152IA解解：21105301 21531A24例例例5 求求A的逆矩阵的逆矩阵 111011201A解解 100111010011001201IA 110100010010001201 110100211010221001 1102112211A25例2.6 矩阵的秩矩阵的秩2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix)1.定义定义 在在m n矩阵矩阵A中，任取中，任取k行行k列（列（k m，k n），），位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的k阶行列式，称为阶行列式，称
42、为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式。2.定义定义2.14 如果矩阵如果矩阵A有一个不等于零的有一个不等于零的r阶子式阶子式D，并，并且所有的且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩为矩阵阵A的最高阶非零子式，称的最高阶非零子式，称r为为 矩阵矩阵A的秩的秩，记为，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。并规定零矩阵的秩等于零。4.由矩阵的秩的定义易得：由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵）矩阵A的秩等于矩阵的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的的转置矩阵的秩。不为零的常常 数数k与矩
43、阵与矩阵A的积的秩等于矩阵的积的秩等于矩阵 A 的秩。的秩。（3）n阶矩阵阶矩阵A的秩等于的秩等于n充要条件是充要条件是A为可逆矩阵（满秩为可逆矩阵（满秩 矩阵）。矩阵）。（4）若）若A有一个有一个r阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则r(A)大于大于 等于等于r;若若 A所有一个所有一个r+1阶子式等于零，阶子式等于零，则则r(A)小小 于等于于等于r。例20 求下列矩阵的秩解：解：A是一个阶梯型是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个中有一个三阶子式不为三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为，而所有的四阶子式全为0，故，故R(A)3。对于对于B，可以验证，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子
44、式中有一个二阶子式不为不为0，而所有的三阶子式（四个）全为，而所有的三阶子式（四个）全为0，9001712413931)2(,00000110002152043121)1(BA26例2.6.2 用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩定理定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩证明 从前面的讨论显然有上面的结论从上面的例题很容易看出：从上面的例题很容易看出：阶梯型阶梯型矩阵的秩易求，矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩因此我们用初等变换方法求矩阵的秩例例21 用初等变换求下列矩阵的秩用初等变换求下列矩阵的秩 2101126415017141701201A27例 210
45、1126415017141701201A解解 212310641501001001201 312300141001001001201 00000141001001001201 00000001000001000001故故A的秩为的秩为3定理定理2.8 设矩阵设矩阵A，可逆的，可逆的P与与Q，则，则r(PA)=r(A)2.6.3 矩阵秩矩阵秩 的不等式的不等式r(AQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)证明证明 从前面的讨论显然有上面的结论从前面的讨论显然有上面的结论以下结论很重要，会经常应用以下结论很重要，会经常应用定理定理2.9 两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，两个矩阵积的秩不超过每个因子的
46、秩，设设A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵矩阵,则则 )(),(min)(BrArABr 证明 设 r(A)=r由定理 2.5可逆的P与Q使得 000rIPAQ于是11000 QIPArBQIPABr11000 将BQ1 分块 211CCBQ于是有krnkrCC )(21)(,)(000011211CPCCIPABr再由定理再由定理2.8，有有)0()(11 CPrABr)0(1Cr)(1Cr)(Ar 同理可证)()(BrABr 定理定理2.10（Sylvester 公式）公式）A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵，则矩阵，则的行数）的列数（或 BABrArABr)()()(特别的的
47、行行数数）的的列列数数（或或则则，若若BABrArAB )()(0定理定理2.11 A、B是是m n矩阵，则矩阵，则)()()(BrArBAr证明将将A,B排成排成m 2n的矩阵的矩阵 BA 则有则有nnIIBABA由定理由定理2.9有有 BArBAr )(BArBBAr000)()(BrAr BAr BBAr0综上，有综上，有)()()(BrArBAr 由定理由定理2.7例例22 设设A为为n阶幂等矩阵，即阶幂等矩阵，即证明证明证明证明AA2nAIrAr)()(由AA 2有0)(AIA由定理由定理2.10有nAIrAr )()(另一方面另一方面由定理由定理2.11 有)(Irn )(AIAr )()(AIrAr 故有nAIrAr)()(28例
