1、第二章第二章 导数导数2.1 导数的背景导数的背景 复习：复习：1.直线的斜率公式：直线的斜率公式：.),(),(1212222111xxyykyxPyxP斜斜率率公公式式为为的的直直线线的的、经经过过两两点点2.直线方程的点斜式：直线方程的点斜式：经过点经过点 P1(x1,y1),且斜率为且斜率为 k 的直线方程为的直线方程为 y -y1=k(x-x1).引言引言 问题问题 1：一个小球自由下落，求它在下落：一个小球自由下落，求它在下落 3 秒时的速度秒时的速度.学完本章的导数知识后，就可以根据自由落体的运动公式，学完本章的导数知识后，就可以根据自由落体的运动公式，求出小球下落求出小球下落
2、3 秒时的速度秒时的速度.6060 xxxx 问题问题 2：用边长为：用边长为 60cm 的正方形铁皮，做一个无盖水箱，的正方形铁皮，做一个无盖水箱，先在四角截去一个小正方形，然后把四边翻转先在四角截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接角，再焊接而成而成.水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？求最大容积水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？求最大容积.学完导学完导数一章之后，数一章之后，这个问题也这个问题也就可以解决就可以解决了了.（一）瞬时速度：（一）瞬时速度：问题问题 1：一个小球自由下落，求它在下落：一个小球自由下落，求它在下落 3 秒秒时的速度时的速度.9.4,/8.9,212
3、22tssmggts 其其运运动动公公式式为为取取式式为为自自由由落落体体运运动动的的运运动动公公 （1）求小球从）求小球从 3 s 到到(3+t)s 这段时间的平均速这段时间的平均速度度(其中其中 t 叫做时间增量叫做时间增量)：这段时间内的位移增量这段时间内的位移增量 s为为 s=s(3+t)s(3)=4.9(3+t)2-4.9 32=29.4 t +4.9(t)2.9.44.29)3(3ttsvsts 这这段段时时间间的的平平均均速速度度为为到到所所以以，从从 （2）求当）求当 t 0 时，平均速度的极限：时，平均速度的极限：.)/(29.40),/(29.40)/(4.29smtsts
4、mtstsmtsvt的的极极限限是是时时，趋趋近近于于这这时时我我们们就就说说，当当无无限限趋趋近近于于时时，无无限限趋趋近近于于，当当越越接接近近于于越越小小，平平均均速速度度一一方方面面，.9.44.29)3(3ttsvsts 这这段段时时间间的的平平均均速速度度为为到到所所以以，从从.30时时的的速速度度就就是是小小球球下下落落的的极极限限平平均均速速度度时时，趋趋近近于于另另一一方方面面，当当stst 所以，小球下落所以，小球下落 3 秒时的速度是秒时的速度是 29.4(m/s).00.)()()(的的瞬瞬时时速速度度在在时时刻刻就就是是物物体体这这时时的的极极限限为为时时，趋趋近近于
5、于说说，当当，就就无无限限趋趋近近于于某某个个常常数数时时，无无限限趋趋近近于于如如果果为为这这段段时时间间内内的的平平均均速速度度到到，则则物物体体在在律律是是小小结结：设设物物体体的的运运动动规规taatstatstttsttststtttss （二）切线的斜率：（二）切线的斜率：问题：如图，问题：如图，P(1，1)是曲线是曲线 y=x 2 上的一点，上的一点，Q 是曲线上点是曲线上点 P 附近的一个点，观察点附近的一个点，观察点 Q 沿曲线逐渐向沿曲线逐渐向点点 P 接近时割线接近时割线 PQ 的变化情况的变化情况.（1）求割线）求割线 PQ 的斜率：的斜率：设点设点 Q 的横坐标为的横
6、坐标为 1+x，则，则点点 Q 的纵坐标为的纵坐标为(1+x)2.点点 Q 对于点对于点 P 的纵坐标的增量的纵坐标的增量（即函数的增量）（即函数的增量）y=(1+x)2 1=2 x+(x)2.2)(22xxxxxykPQPQ 的斜率为的斜率为所以割线所以割线 （2）求过）求过 P 点的曲线的切线的斜率：点的曲线的切线的斜率：当点当点 Q 无限接近于点无限接近于点 P 时，也就是当时，也就是当 x无限趋近无限趋近于于0时时，割线割线 PQ 的极限位置叫做曲线在点的极限位置叫做曲线在点 P 处的切处的切线线.220.20的的曲曲线线的的切切线线的的斜斜率率是是，所所以以过过点点的的极极限限是是时
7、时，趋趋近近于于我我们们就就说说，当当无无限限趋趋近近于于时时，割割线线的的斜斜率率无无限限趋趋近近于于我我们们看看到到，当当Pxyxxyx 由点斜式，这条切线的方程为由点斜式，这条切线的方程为 y 1=2(x-1)即即 y=2x-1.2)(22xxxxxykPQPQ 的斜率为的斜率为所以割线所以割线OxyPQ y xM.,0,.)(),()(0000处处的的切切线线叫叫做做曲曲线线在在点点那那么么直直线线位位置置无无限限趋趋近近于于一一个个极极限限时时，如如果果割割线线趋趋向向于于即即沿沿着着曲曲线线无无限限接接近近于于点点当当点点转转动动绕绕着着点点接接近近时时，割割线线沿沿着着曲曲线线逐
8、逐渐渐向向点点两两点点，当当点点上上的的是是曲曲线线，、，线线的的图图象象是是如如图图所所示示的的曲曲已已知知函函数数定定义义：PPTPTPQxPQPPQPQCyyxxQyxPCxfy y=f(x)CT.)()(limlim),(PQ0000000 xxfxxfxykyxPPxykxxxPQ 的的切切线线的的斜斜率率曲曲线线在在点点也也就就是是，处处的的切切线线的的斜斜率率，的的极极限限就就是是曲曲线线在在点点的的斜斜率率时时，割割线线趋趋近近于于切切线线斜斜率率：当当OxyPQ y xM T y=f(x)C 复习：复习：1.瞬时速度：瞬时速度：.00.)()()(的的瞬瞬时时速速度度在在时时
9、刻刻就就是是物物体体这这时时的的极极限限为为时时，趋趋近近于于说说，当当，就就无无限限趋趋近近于于某某个个常常数数时时，无无限限趋趋近近于于如如果果为为这这段段时时间间内内的的平平均均速速度度到到，则则物物体体在在律律是是小小结结：设设物物体体的的运运动动规规taatstatstttsttststtttss 2.曲线在一点处的切线的斜率：曲线在一点处的切线的斜率：OxyPQ y xM y=f(x)CT.,0,.)(),()(0000处处的的切切线线叫叫做做曲曲线线在在点点那那么么直直线线位位置置无无限限趋趋近近于于一一个个极极限限时时，如如果果割割线线趋趋向向于于即即沿沿着着曲曲线线无无限限接
10、接近近于于点点当当点点转转动动绕绕着着点点接接近近时时，割割线线沿沿着着曲曲线线逐逐渐渐向向点点两两点点，当当点点上上的的是是曲曲线线，、，线线的的图图象象是是如如图图所所示示的的曲曲已已知知函函数数定定义义：PPTPTPQxPQPPQPQCyyxxQyxPCxfy .)()(limlim),(PQ0000000 xxfxxfxykyxPPxykxxxPQ 的的切切线线的的斜斜率率曲曲线线在在点点也也就就是是，处处的的切切线线的的斜斜率率，的的极极限限就就是是曲曲线线在在点点的的斜斜率率时时，割割线线趋趋近近于于切切线线斜斜率率：当当OxyPQ y xM T y=f(x)C（三）边际成本：（三
11、）边际成本：问题问题3：设：设 C 为成本为成本，q 为产量为产量，成本与产量的，成本与产量的函数关系式为函数关系式为 C(q)=3 q 2 +10，我们来研究当，我们来研究当 q 50 时，产量变化时，产量变化 q 对成本的影响对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：在本问题中，成本的增量为：)50()50(CqCC )10503(10)50(322 q2)(3300qq 来来刻刻画画，对对成成本本的的影影响响可可用用产产量量变变化化qCq qqC 3300qqC 3300.30003000300的的极极限限是是时时，趋趋向向于于，这这时时就就说说，当当无无限限趋趋近近于于时时，无无限限趋趋
12、近近于于，当当越越接接近近越越小小，qCqqCqqCq .103)(503002的的边边际际成成本本时时叫叫做做当当的的极极限限我我们们把把 qqCqqC.,00)()()(000为为边边际际成成本本则则称称的的极极限限是是时时，趋趋近近于于，也也就就是是，当当无无限限趋趋近近于于常常数数时时，无无限限趋趋近近于于刻刻画画，如如果果比比对对成成本本的的影影响响可可用用增增量量时时，产产量量变变化化，当当产产量量为为函函数数关关系系式式为为为为产产量量，成成本本与与产产量量的的为为成成本本，一一般般地地，设设AAqCqAqCqqqCqqCqCqqqCCqC 导数的背景小结：导数的背景小结：.0)3(0)2(0)1(时时的的极极限限趋趋近近于于当当边边际际成成本本是是增增量量比比时时的的极极限限；趋趋近近于于当当斜斜率率，切切线线的的斜斜率率是是割割线线切切线线是是割割线线的的极极限限位位置置极极限限；时时的的趋趋近近于于当当瞬瞬时时速速度度是是平平均均速速度度qqCxxytts 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
