1、 2023年中考数学复习二次函数动态几何问题专项刷题练习题1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长（不必写解答过程）2如图，若二次函数y= 36 x2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=
2、 3 x的图象的对称点为C（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图，过点B作DBx轴交正比例函数y= 3 x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y= 3 x的图象于点E，连结AD、CD如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，经过点B（0，3）和点（2，3），与x
3、轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），且OD=OB（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接AB，BD，DA，试判断ABD的形状；（3）点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，BPD的面积最大？求出此时点P的坐标及BPD的面积4已知抛物线 y=12x2+32x+2 ，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段 BC 上的一个动点若 PQx 轴，交抛物线于点Q，当 BP+PQ 取最大值时，求点P的坐标；求 2AP+PB 的最小值5如图，在 ABC 中， B=90 ， AB=5cm ， BC=7cm ，点P从点A开始沿 AB
4、边向点B以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿 BC 边向点C以 2cm/s 的速度移动. （1）如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发，那么几秒后， PBQ 的面积等于 4cm2 ？ （2）如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发， PBQ 的面积能否等于 8cm2 ？ （3）如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发，那么几秒后， PQ 的长度等于 5cm ？ 6在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+2mxm2+1的对称轴是直线x=1（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，
5、当1p2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx4的上方，求k的取值范围7如图，梯形ABCD中，ADBC，C90，BABC动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BAADDC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s设E出发t s时，EBF的面积为y cm2已知y与t的函数图象如图所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD cm，BC cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于58如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与一次函数y=x-3
6、的图象交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点M（1）求a、c的值和点M的坐标；（2）点P是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，点P的坐标为（x，n）（0 x 3），m=PM2，求m关于n的函数关系式，并求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？9如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1，0)，B(3，0) 两点. （1）求 b 和 c（2）当 0x0)个单位,同时将该二次函数在2x7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G,请结合图象直接回答,当图象G与平移后的线段有公共点时,n的取值范围.13已知抛物线 y=ax2+bx4 经过点 A
7、(2,0) ， B(4,0) ，与y轴交于点C. （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形 ABPC 面积的最大值. 14如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 (1,0) ，且 OA=OC=4OB ，抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 图象经过 A,B,C 三点. （1）求 A,C 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PDAC 于点 D ，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值. 15如图1（注：与图2完全相同），二次函数y= 43 x2+bx+c的图象与
8、x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）答案解析部分1【答案】（1）解：由题意得CM=BM，PMC=DMB，RtPMCRtDMB，DB=PC，DB=2m，AD=4m，点D的坐标为（2，4m）（2）解：分三种情况若AP=AD，则
9、4+m2=（4m）2，解得 m=32 ；若PD=PA过P作PFAB于点F（如图），则AF=FD= 12 AD= 12 （4m）又OP=AF，m=12(4m)则 m=43若PD=DA，PMCDMB，PM= 12 PD= 12 AD= 12 （4m），PC2+CM2=PM2，(2m)2+1=14(4m)2 ，解得 m1=23,m2=2 （舍去）综上所述，当APD是等腰三角形时，m的值为 32 或 43 或 23（3）解：点H所经过的路径长为 54 ；理由是：P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），0m2，当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y=x2+3x，此时ME的解析式为
10、y=x+3，则MEO=45，又OHEM，OHE为等腰直角三角形，点O、H、B三点共线，点H所经过的路径以OM为直径的劣弧 HMC 的长度，COH=45，H转过的圆心角为90，OM= 5 ，则弧长= nr180 = 905360 = 54 2【答案】（1）解：点A（2，0），B（3，0）在抛物线y= 36 x2+bx+c上，3642b+c=0369+3b+c=0 ，解得：b= 36 ，c= 3（2）解：设点F在直线y= 3 x上，且F（2， 23 ）如答图1所示，过点F作FHx轴于点H，则FH= 23 ，OH=2，tanFOB= FHOH = 3 ，FOB=60AOE=FOB=60连接OC，过点
11、C作CKx轴于点K点A、C关于y= 3 x对称，OC=OA=2，COE=AOE=60COK=180AOECOE=60在RtCOK中，CK=OCsin60=2 32 = 3 ，OK=OCcos60=2 12 =1C（1， 3 ）抛物线的解析式为：y= 36 x2 36 x 3 ，当x=1时，y= 3 ，点C在所求二次函数的图象上（3）解：假设存在如答图1所示，在RtACK中，由勾股定理得：AC= AK2+CK2 = 32+(3)2 = 23 如答图2所示，OB=3，BD=3 3 ，AB=OA+OB=5在RtABD中，由勾股定理得：AD= AB2+BD2 = 52+(33)2 =2 13 点A、C
12、关于y= 3 x对称，CD=AD=2 13 ，DAC=DCA，AE=CE= 12 AC= 3 连接PQ、PE，QE，则APE=QPE，PQE=CQE在四边形APQC中，DAC+APQ+PQC+DCA=360（四边形内角和等于360），即2DAC+2APE+2CQE=360，DAC+APE+CQE=180又DAC+APE+AEP=180（三角形内角和定理），AEP=CQE在APE与CEQ中，DAC=DCA，AEP=CQE，APECEQ，CQAE=CEAP ，即： 213t3=32t ，整理得：2t2 413 t+3=0，解得：t= 213462 或t= 213+462 （t 13 ，所以舍去）存
13、在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC，此时t= 2134623【答案】（1）解：B（0，3）和点（2，3）的纵坐标相同，抛物线的对称轴为x=1，OB=3OD=OB，OD=3抛物线与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），D（3，0）将点B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入抛物线的解析式得： c=04a+2b+c=09a+3b+c=0 ，解得：a=1，b=2，c=3抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）解：y=x2+2x+3=（x1）2+4，点A的坐标为（1，4）依据两点间的距离公式可知：AB2=（10）2+（43）2=2，AD2=（31）2+（40）2=20，BD2=（30
14、）2+（03）2=18，AB2+BD2=AD2ABD为直角三角形（3）解：如图所示：连结OP设点P的坐标为（x，x2+2x+3）DBP的面积=OBP的面积+ODP的面积BOD的面积= 12 3x+ 12 3（x2+2x+3） 12 33= 32 x2+ 92 x= 32 （x 32 ）2+ 278 当x= 32 时，DBP的面积最大，最大值为 278 将x= 32 代入抛物线的解析式得y= 154 ，点P的坐标为（ 32 ， 154 ）4【答案】解：令 y=0 ，则 12x2+32x+2=0 ，解得 x1=1 ， x2=4 A点坐标为 (1，0) ，B点坐标为 (4，0) 令 x=0 ，则 y
15、=2 C点坐标为 (0，2) （）已知P是线段 BC 上的一个动点 若 PQx 轴，交抛物线于点Q，当 BP+PQ 取最大值时，求点P的坐标； 求 2AP+PB 的最小值 解：设： lBC：y=mx+n ，将 B(4，0) ， C(0，2) 分别代入得， 0=4m+n2=n ，解得 m=12n=2 ，故 lBC：y=12x+2 可设 P(t，12t+2) ， 0t4 ，则 Q(t，12t2+32t+2) ，且Q在P上方 所以 PQ=12t2+32t+2(12t+2)=12t2+2t 又 BP=(4t)2+(12t+2)2=52(4t) 故 BP+PQ=52(4t)+(12t2+2t)=12t2
16、+(252)t+25 当 t=252 时取得最大值，此时 P(252，1+54) 如图，延长 AC 至点D，使得 CD=CB ，连接 BD ，作 DEy 轴于点E，过点P作 PHBD 于点H 由 AC2=12+22=5 ， BC2=22+42=20 ， AB2=(14)2=25 ， 所以 AC2+BC2=AB2 ， ACB=90 则 BDC 是等腰直角三角形， CBD=45 2AP+PB=2(AP+PBsin45)=2(AP+PH) ，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时 (AP+PH) 取得最小值 BCD=DEC=COB=90 ， DCE+BCO=BCO+CBO=90 ， DCE=CBO C
17、DEBCO DE=CO=2 ， CE=BO=4 可得点D的坐标为 (2，6) BD=(24)2+(60)2=210 ， SABD=12AByD=12BDAH ，代入可得 1256=12210AH ， 解得 AH=3102 ，故有 2AP+PB=2(AP+PH)2AH=35 所以 2AP+PB 的最小值为 35 （1）解：令 y=0 ，则 12x2+32x+2=0 ，解得 x1=1 ， x2=4 A点坐标为 (1，0) ，B点坐标为 (4，0) 令 x=0 ，则 y=2 C点坐标为 (0，2) （2） 解：设： lBC：y=mx+n ，将 B(4，0) ， C(0，2) 分别代入得， 0=4m+
18、n2=n ，解得 m=12n=2 ，故 lBC：y=12x+2 可设 P(t，12t+2) ， 0t4 ，则 Q(t，12t2+32t+2) ，且Q在P上方所以 PQ=12t2+32t+2(12t+2)=12t2+2t 又 BP=(4t)2+(12t+2)2=52(4t) 故 BP+PQ=52(4t)+(12t2+2t)=12t2+(252)t+25 当 t=252 时取得最大值，此时 P(252，1+54) 如图，延长 AC 至点D，使得 CD=CB ，连接 BD ，作 DEy 轴于点E，过点P作 PHBD 于点H由 AC2=12+22=5 ， BC2=22+42=20 ， AB2=(14)
19、2=25 ，所以 AC2+BC2=AB2 ， ACB=90 则 BDC 是等腰直角三角形， CBD=45 2AP+PB=2(AP+PBsin45)=2(AP+PH) ，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时 (AP+PH) 取得最小值BCD=DEC=COB=90 ，DCE+BCO=BCO+CBO=90 ，DCE=CBO CDEBCO DE=CO=2 ， CE=BO=4 可得点D的坐标为 (2，6) BD=(24)2+(60)2=210 ，SABD=12AByD=12BDAH ，代入可得 1256=12210AH ，解得 AH=3102 ，故有 2AP+PB=2(AP+PH)2AH=35 所以 2
20、AP+PB 的最小值为 35 5【答案】（1）解：设xs后， BP=ABAP=(5x)cm ， BQ=2xcm . 根据三角形的面积公式列方程，得： x(5x)=4 .解得： x1=1 ， x2=4 .当 x=4 时， BQ=42=8cm 7cm ，不合题意，舍去.所以 1s 后， PBQ 的面积等于 4cm2（2）解： PBQ 的面积不能等于 8cm2 . 理由：根据三角形的面积公式列方程，得： x(5x)=8 ，整理，得： x25x+8=0 .因为 =(5)2418=70 ，所以 PBQ 的面积不能等于 8cm2 .（3）解：根据勾股定理列方程， 得： (5x)2+(2x)2=25 .解得
21、： x1=2 ， x2=0 （不符合题意，舍去）.所以 2s 后， PQ 的长度等于 5cm6【答案】（1）解：抛物线的对称轴为x=1，x= b2a = 2m12 =1解得：m=1抛物线的解析式为y=x2+2x（2）解：将x=3代入抛物线的解析式得y=32+23=3将y=3代入得：x2+2x=3解得：x1=1，x2=3a=10，当n1或n3时，y1y2（3）解：设点M关于y轴对称点为M，则点M运动的轨迹如图所示：当P=1时，q=（1）2+2（1）=3点M关于y轴的对称点M1的坐标为（1，3）当P=2时，q=22+22=0，点M关于y轴的对称点M2的坐标为（2，0）当k0时，点M关于y轴的对称点
22、都在直线y=kx4的上方，2k40解得：k2当k0时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx4的上方，k43解得；k1k的取值范围是2k17【答案】（1）2；5（2）解：过A作AHBC，H为垂足，由已知BH=3，BA=BC=5，AH=4，当点E、F分别运动到A、C时EBF的面积为： 12 BCAH= 12 54=10，即a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C 并停止运动，这时EBF的面积为10 cm2（3）解：当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at2，把M点的坐标（5，10）代入得a= 25 ，y= 25 t2，0t5；当点E在DC上运
23、动时，设直线的解析式为y=kt+b，把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=- 52 ，b= 552 ，所以y=- 52 t+ 552 ，（7t11）把y=5分别代入y= 25 t2和y=- 52 t+ 552 得，5= 25 t2和5=- 52 t+ 552 ，解得：t= 522 或t=98【答案】（1）把 x=0 代入 y=x3 ，得 y=3 ，即 A(0，3) ， 把 y=0 代入 y=x3 ，得 x3=0 ，解得 x=3 ，即 B(3，0) ， 又A(0,3) 、 B(3,0) 在二次函数 y=ax2+4x+c 的图象上，c=39a+43+c=0
24、 ，解得 a=1c=3 ， 二次函数解析式为 y=x2+4x3 ，y=x2+4x3=(x2)2+1 ，把 x=2 代入 y=x3 ，得 y=1 ，点M的坐标为 (2，1) ；（2）如图， 由（1）知二次函数对称轴为直线 x=2 ，过点P作 PN 垂直直线 x=2 于点N，则 PN=|x2|，MN=|n+1| ，m=PM2=PN2+MN2=(x2)2+(n+1)2 ， 点P在抛物线上，(x2)2+1=n ，(x2)2=1n ，m=1n+(n+1)2=n2+n+2=(n+12)2+74 ， 0x3 ，抛物线顶点坐标为(2，1)，3n1 ，当 n=12 时，m有最小值，最小值为 74 9【答案】（1
25、）解：将点 A(1，0)，B(3，0) 代入抛物线 y=x2+bx+c 有 1b+c=0和 9+3b+c=0解得： b=2，c=3 .（2）解：由（1）可知抛物线解析式为 y=x22x3=(x1)24 ，即抛物线对称轴为 x=1 ， 所以当 x=1 时， ymin=4 ；当 x=4 时， ymax=5 ；而由已知知： 0x4 ，所以此时 y 的范围为 4y5 .（3）解：当点 P 在抛物线顶点 (1，4) 时 SPAB 最大， 最大面积为 SPAB=12AB|yp|=1244=8 .10【答案】（1）解：二次函数过A(3，0)，B(1，0)两点，设二次函数解析式为y=a(x+3)(x1)，二次
26、函数过C点(0，3)，3=a(0+3)(01)，解得a1，y=(x+3)(x1)=x2+2x3即二次函数解析式为y=x2+2x3；（2）解：设直线AC解析式为：ykxb，A(3，0)，C(0，3)，3k+b=0b=3，解得k=1b=3，直线AC的解析式为yx3，过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为(x，x2+2x3)，则G(x，x3)，点P在第三象限，PG=x3(x2+2x3)=x3x22x+3=x23x，S=12PGOA=12(x23x)3=32x292x=32(x+32)2+278，当x=32时，S最大=278，此时x2+2x3=(32)2+2(32)3=154，点P(32，15
27、4).即S的最大值是278，此时点P的坐标是(32，154).11【答案】（1）解：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=x2+bx+c，得 9+3b+c=0c=3 ，解得 b=2c=3抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）解：OA=OB=3，BOA=90，QAP=45如图所示：PQA=90时，设运动时间为t秒，则QA= 2t ，PA=3t在RtPQA中， QAPA=22 ，即： 2t3t=22 ，解得：t=1；如图所示：QPA=90时，设运动时间为t秒，则QA=
28、 2t ，PA=3t在RtPQA中， PAQA=22 ，即： 3t2t=22 ，解得：t= 32 综上所述，当t=1或t= 32 时，PQA是直角三角形；（3）解：如图所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，t+3），则EP=3t，点Q的坐标为（3t，t），点F的坐标为（3t，（3t）2+2（3t）+3），则FQ=3tt2EPFQ，EFPQ，EP=FQ即：3t=3tt2解得：t1=1，t2=3（舍去）将t=1代入F（3t，（3t）2+2（3t）+3），得点F的坐标为（2，3）（4）解：如图所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3t） 2 y=x2+2x+3=（x1）2+4，点
29、M的坐标为（1，4）MB= 12+12 = 2 当BOPQBM时， MBOP=BQOB 即： 2t=(3t)23 ，整理得：t23t+3=0，=324130，无解：当BOPMBQ时， BMOB=BQOP 即： 23=(3t)2t ，解得t= 94 当t= 94 时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似12【答案】（1）解：二次函数在x=0和x=6时函数值相等, 该二次函数的对称轴为x=3 x= (2a+2)2a=3 ,解并检验得:a= 12 .（2）解：直线y=-2x过点(2,m), m=-22=-4, 由题意,点(2,-4)在抛物线上,且由(1)a= 12 ,抛物线为y
30、= 12 x2-3x+b,可得:2-6+b=-4,解得b=0,抛物线的解析式为y= 12 x2-3x.（3）n=1或2n4 13【答案】（1）解：抛物线 y=ax2+bx4 经过点 A(2,0) ， B(4,0) ， 4a+2b4=016a4b4=0 ，解得 a=12b=1 ，抛物线的解析式为 y=12x2+x4 ，（2）解：如图，连接 OP ， 设点 P(x,12x2+x4) ，4x0 ，四边形 ABPC 的面积为S，由题意得点 C(0,4) ，S=SAOC+SOCP+SOBP=1224+124(x)+124(12x2x+4)=42xx22x+8=x24x+12=(x+2)2+16 ，10
31、，开口向下， S 有最大值，当 x=2 时，四边形 ABPC 的面积最大，最大值为16.14【答案】（1）解：OAOC4OB4， 故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）（2）解：抛物线的表达式为： ya（x+1）(x4)=a(x23x4) ， 即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为： yx23x4（3）解：直线CA过点C，设其函数表达式为： ykx4 ， 将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45 ，PH/y轴，PHDOCA45 ，设点 P（x，x23x4） ，则点H（x，x4），PD22（x4x2+3x
32、+4）=22x2+22x22 0，PD有最大值，当x2时，其最大值为 22 ，此时点P（2，6）.15【答案】（1）解：二次函数y= 43 x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），439+3b+c=0431+b+c=0 ，解得： b=83c=4 ，y= 43 x2 83 x4（2）解：过点D作DMy轴于点M，y= 43 x2 83 x4= 43 （x1）2 163 ，点D（1， 163 ）、点C（0，4），则SACD=S梯形AOMDSCDMSAOC= 12 （1+3） 163 12 （ 163 4）1 12 34=4；（3）解：四边形APEQ为菱形，E点坐标为（ 58 ， 2916 ）理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QFAP于F，AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQAP=AQ=QE=EP，四边形AQEP为菱形，FQOC，AFAO = FQOC = AQAC ，AF3 = FQ4 = t5AF= 35 t，FQ= 45 tQ（3 35 t， 45 t），EQ=AP=t，E（3 35 tt， 45 t），E在二次函数y= 43 x2 83 x4上， 45 t= 43 （3 85 t）2 83 （3 85 t）4，t= 14564 ，或t=0（与A重合，舍去），E（ 58 ， 2916 ）第 24 页 共 24 页
