1、1方程模型适用的主要对象方程模型适用的主要对象-动态系统动态系统n动态系统：与时间有关的系统动态系统：与时间有关的系统n建立动态模型的目的建立动态模型的目的描述描述对象随时间对象随时间(与空间与空间)的演变过程的演变过程分析分析对象的变化规律对象的变化规律预报预报对象的未来性态对象的未来性态研究研究控制控制对象的方法等对象的方法等2常见的动态模型常见的动态模型n确定性模型：确定性模型：微分方程微分方程常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程差分方程差分方程n随机性模型：随机过程随机性模型：随机过程3动态动态-变化变化-导数、差分导数、差分n连续对象连续对象-函数函数：函数的变化率-导数微分方程
2、n离散对象离散对象-数列数列：差分差分方程n两者互相转化两者互相转化4基础概念基础概念-变化率变化率n设自变量t有微小改变量t时，因变量W的增量W，W对t的变化率有单位n相对变化率相对数,WdWtdt,WdWW tWdt5实践中的变化率实践中的变化率n“速度”、“增长率”、“速率”、“衰变率”、“边际”、“弹性”、“利率”、“出生率”等6本次讲座内容本次讲座内容n传染病模型传染病模型n鱼雷击舰问题鱼雷击舰问题n人口问题和生态问题人口问题和生态问题n常微分方程建模步骤常微分方程建模步骤7例一、传染病模型例一、传染病模型n按照传染病传播规律建立模型按照传染病传播规律建立模型n描述传染病的传播过程描
3、述传染病的传播过程n分析病人数的变化规律分析病人数的变化规律n预报传染病传播高潮到来的时刻预报传染病传播高潮到来的时刻n研究用隔离、治疗、打预防针等研究用隔离、治疗、打预防针等方法后对传染病蔓延的影响方法后对传染病蔓延的影响问题问题8传染病模型传染病模型 I I：指数增长模型：指数增长模型n假设：单位时间新增病人数与现有病人数成正比，比假设：单位时间新增病人数与现有病人数成正比，比例系数为例系数为 (日传染率：平均一个病人一天传染给几个日传染率：平均一个病人一天传染给几个健康人得病健康人得病)n记号：记号：t 时刻的病人数为时刻的病人数为 i(t)-函数函数ttititti)()()(建模建模
4、0)0(iiidtditeiti0)()()()(tittitti9问题问题1 1：模型中的：模型中的 如何确定如何确定？idtdiidtdi2121()-()(-)(*)i ti ttti t用 已 知 的 数 据 估 计 未 知 的 参 数的选择 *)(ti10如何利用实际数据确定？n按上述公式选择适当的t*采用部分数据确定 采用全部数据按统计方法确定n先确定解的形式，再用函数拟合方法求出其中参数n选取 的效果常用模型计算解(理论值)和实际数据值之间的误差予以检验11it?必须区分病人和健康人必须区分病人和健康人问题2：问题问题 人口总数有限；传染病通过病人与健康人的接人口总数有限；传染病
5、通过病人与健康人的接触使病人数增加、健康人减少触使病人数增加、健康人减少teiti0)(12传染病模型传染病模型 II：Logistic 模型模型 假设：假设：总人口数总人口数 N 不变，病人不变，病人i,健康人：健康人：N-i新增病人数与现有病人数成正比，其比例系数记新增病人数与现有病人数成正比，其比例系数记为为k：k 与与健康人占总人口比例成正比健康人占总人口比例成正比,即即 k=(N-i)/N(N-i)/NOR 新增病人数与两种人数的乘积成正比新增病人数与两种人数的乘积成正比建模建模iNiNdtdi()()()i tti tNNiittt)()()()(tiNtiNttitti13数学模
6、型简化数学模型简化NiNdiidt ,:iiiN病人数设占总人口的比例0)0()1(iiiidtdi()1diNi Ntid ii将仍记为14解模00-1ln-1ln1iiiit0)0()1(iiiidtditeiti1111)(00=(1)(0)d id tiiii15解的图像Logistic 模型teiti1111)(0ii010t16利用Matlab求积分kxi，n int(1/k/x/(1-x)n1/k*log(x)-1/k*log(-1+x)nsolve(t=1/k*log(x)-1/k*log(-1+x)n1/(-1+exp(t*k)*exp(t*k)n solve(t=1/k*l
7、og(x)-1/k*log(-1+x)-(1/k*log(a)-1/k*log(-1+a)na*exp(t*k)/(1-+a*exp(t*k)(1)didtiiCiit)1ln(ln10010lnln()1 l1(1nln)itiii()000()1tti ei tii e17选择参数利用Matlab画图nezplot(1/(1-exp(-0.2*t)*(-1+0.1)/0.1),0,40)18利用Matlab直接求微分方程解ndsolve(Du=k*u*(1-u),t)n1/(1+exp(-k*t)*C1)n dsolve(Du=k*u*(1-u),u(0)=a)n1/(1-exp(-k*t
8、)*(-1+a)/a)19病人数何时增加得最快？()()0)1(0)1(0dtdiiididiidtddtdidtd1/2tmii010t当当 i=1/2(i=1/2(即病人数为总人口一半即病人数为总人口一半)时时,传染病爆发达到高潮传染病爆发达到高潮di/dt 增速达到增速达到最大最大tm的计算？的计算？0)1(dtdiii 病人始终增加病人始终增加2011ln10itm1/2tmii010t设当设当 t=tm 时对应时对应 i=1/2i=1/2,即即tm时传染病爆发达到高潮时传染病爆发达到高潮00-1ln-1ln1iiiittm=？0 mmttt小则大小则大21问题 31it未考虑病人可以
9、治愈未考虑病人可以治愈?ii010tteiti1111)(022传染病模型传染病模型III：考虑治疗机制：考虑治疗机制n传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为健康人，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染健康人可再次被感染n增加假设：单位时间病人治愈的比例为增加假设：单位时间病人治愈的比例为 (一一天平均有多少比例的病人可以治愈天平均有多少比例的病人可以治愈)ttNittNititittiN)()()(-(1)()(建模建模0)0()1(iiiiidtdi23参数解释：参数解释：/日传染率日传染率：平平均一个病人一天传均一个病人一天传染给几个健康人得染给几个健康人得病病1/感染期感染期 感染
10、期内每天平均感染期内每天平均每个病人传染的人每个病人传染的人数，称为数，称为传染数传染数。0)0()1(iiiiidtdi (一天平均有多少一天平均有多少比例的病人可以治愈比例的病人可以治愈)24方程求解0)0()11(iiiidtdi01-1-1-1-1-11-1)(ietit /记：传染数iiidtdi)1(1)diiidt25)1(,011)(i解的研究：情况1(传染数传染数1)01-1-1-1-1-11-1)(ietit)1(,011126)1(,011)(ii0i00ti 11-1/解的研究：情况1(传染数传染数1)011-i时形曲线增长按处达到的最大值在 )(1-121 Stiid
11、tdim011-i时单调减小 )(ti0)0()11(iiiidtdi27用matlab计算例子n=0.4n 1.21n 11/0.1667n i0=0.2(上图);0.1(下图)n ezplot(1/(6-exp(-1/15*t),0,100)(上图)nezplot(1/(6+4*exp(-1/15*t),0,100)(下图)28i0i0t 1di/dt 0解的研究：情况2(传染数传染数1)(1ti,0111i-)i/-(1i0)0()11(iiiidtdi29)1(,0)(ii0i0t 1di/dt ezplot(1/(-4+9*exp(1/10*t),0,100)(上图)nezplot(
12、1/(6+4*exp(-1/15*t),0,100)(下图)31模型的意义模型的意义:传染病机制解释传染病机制解释传染病终趋消失的条件传染病终趋消失的条件 1:感染因素强于治疗因素32传染病模型传染病模型IVIV：传染病有免疫性传染病有免疫性n前面模型隐含病人治愈后会再被感染前面模型隐含病人治愈后会再被感染健康人健康人病人病人健康人健康人病人病人n增加假设增加假设:病人治愈后不会再被感染病人治愈后不会再被感染l三种人：健康人、病人和病愈者三种人：健康人、病人和病愈者l总人数总人数 N 不变，记病人、健康人和病愈者的比例分别为不变，记病人、健康人和病愈者的比例分别为n记病人的日传染记病人的日传染
13、 ,日日治愈率治愈率,传染数传染数 =/n需建立需建立 的两个方程的两个方程()()()1i ts tr t)(),(),(trtsti)(),(tits33建模()()()()(s t NiN i tti tNi tttt()()()()N s ttss t Ni ttt00)0()0(ssiisidtdsisidtdi00)0()0()1(ssiisidtdsisdtdi =/34解模无法求出无法求出 的解析解的解析解)(),(tsti在相平面在相平面 上上研究解的性质研究解的性质is(s(t),i(t)可以看做(s,i)平面上的曲线(相轨线相轨线)的参数式00)0()0()1(ssiis
14、idtdsisdtdi350011iisdsdiss000ln1)()(sssissi研究模型：相轨线方程00)0()0()1(ssiisidtdsisdtdi36000ln1)()(sssissi1,0,0),(isisisD11si0D在在D内作相轨线内作相轨线)(si(s(t),i(t)可以看做(s,i)平面上的曲线(相轨线相轨线)的参数式相轨线37相轨线走势相轨线走势000ln1)()(sssissi0ln1)(00000sssisiss有关、与满足,()()00 ts ts tsssi 由，有极限，设为：若，则，矛盾！0 ,-0 0,isidtdsdtdssst由方程时，当?S00)
15、0()0(ssiisidtdsisidtdi38最大病人数条件1 0 )(max sdtditiim时的条件：求22max()(1)0mmmmi ii ii iii td ididsdssdtdtdtdt的充分条件：00)0()0()1(ssiisidtdsisdtdi39相轨线分析相轨线分析000ln1)()(sssissisi101D有关由表达式可得：与初值达到最大值 ,/1mmiiiiss(t)单调减单调减相轨线向左变化相轨线向左变化0)(,istst，P1s0/1imsP3P4P2S0很小）通常000)0(1rrsi相轨线起点在斜线附近相轨线起点在斜线附近00)0()0()1(ssii
16、sidtdsisdtdi40相轨线分析结论相轨线分析结论000ln1)()(sssissisi101D传染病不蔓延传染病不蔓延P1s0/1imsP2:s01/i(t)先升后先升后降至降至 01/阈值阈值P3P4P2S000)0()0()1(ssiisidtdsisdtdi42ssss00lnln模型的意义模型的意义:预防传染病蔓延预防传染病蔓延 (日传染率日传染率)隔离隔离 (日日治愈率治愈率)提高医疗水平提高医疗水平传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 dsolve(D2u=sqrt(1+(Du)*(Du)/2/(1-t),u(0)=0,Du(0)=0)nans=1/3*i*(2+t)*
17、(-1+t)(1/2)+2/3n-1/3*(2+t)*(1-t)(1/2)+2/3523.建立计算机模拟模型建立计算机模拟模型p鱼雷的鱼雷的初始位置初始位置(0,0);ptk时刻鱼雷的位置为时刻鱼雷的位置为(xk,yk),运动方向的方向运动方向的方向角角a a;ptk时刻敌舰的位置为时刻敌舰的位置为(1,v0tk),初始位置初始位置(1,0)2020202)()1(sin)()1(1coskkkkkkkkkytvxytvytvxxaa53aasincos:,1111tvyytvxxtkkkk则有取时间步长为计算机模拟计算机模拟2020202)()1(sin)()1(1coskkkkkkkkky
18、tvxytvytvxxaa54计算机模拟敌舰计算机模拟敌舰:第第 k 秒秒 x y210.0140410.0280610.0420810.05601010.07001210.08401410.09801610.11201810.12602010.14002210.15402410.1680分即秒取时间步长为0333.0,2t第第 k 秒秒 x y7210.50407410.51807610.53207810.54608010.56008210.57408410.58808610.60208810.61609010.63009210.64409410.658055计算机模拟鱼雷计算机模拟鱼雷:第
19、第 k 秒秒 x y20.02800.000440.05600.001260.08400.002480.11190.0040100.13980.0061120.16770.0086140.19560.0116160.22330.0151180.25110.0190200.27870.0235220.30630.0285240.33370.0340分即秒取时间步长为0333.0,2t第第 k 秒秒 x y720.89940.3670740.91500.3903760.92940.4143780.94260.4390800.95460.4643820.96530.4903840.97470.516
20、6860.98260.5434880.98910.5707900.99420.5982920.99770.6260940.99970.653956类似问题类似问题问题问题:如图所示如图所示,一条猎犬发现它的正西方一条猎犬发现它的正西方1里处有一里处有一只野兔正朝北边只野兔正朝北边1里处的兔巢逃奔里处的兔巢逃奔,猎犬随即朝兔子猎犬随即朝兔子奔走方向追赶奔走方向追赶.已知兔子奔跑速度为已知兔子奔跑速度为0.42里里/分钟分钟,猎猎犬速度为兔子速度的犬速度为兔子速度的2倍倍,试问猎犬能否在野兔逃回试问猎犬能否在野兔逃回兔巢前追上野兔兔巢前追上野兔?57类似问题类似问题问题问题(1988AMCM_A)
21、确定毒品走私位置：确定毒品走私位置：走私船走向随机走私船走向随机发现范围是一个区域发现范围是一个区域寻找最大可能发现毒品船对策略寻找最大可能发现毒品船对策略58例三：人口问题和生态问题例三：人口问题和生态问题n马尔萨斯人口模型n有资源限制的人口模型n勒斯里模型59前两种模型()0)0(iiiiNdtdi0)0()()(-)1(iikikiki0)0(iiidtdi()0)0()()()(-)1(iikikiNkiki60勒斯里模型n人口与年龄、时间有关：两个自变量n归结为含偏导数的微分方程-偏微分方程(参考文献)n离散化后得到差分方程-勒斯里模型简化了的勒斯里模型假设：n三种鱼:一龄鱼、二龄鱼
22、、三龄鱼n只有二龄鱼能生育61简化了的勒斯里模型为已知 )0(),0(),0()2-()()1-()()1()(32123312221NNNtNktNtNktNtrNtNN1的说明对t积分离散化，按1年周期计算11222333123(1)00()(1)00()(1)00()(0),(0),(0)N irN iN ikN iN ikN iNNN为已知62 生态模型与 ode45的用法 x0=1;1x0=1 1 t,x=ode45(aa,0,6,x0);plot(t,x)function rw=aa(t,x)rw=(3-2*x(2)*x(1);(-2.5+x(1)*x(2);1)0()0()5.2(-)2-3(yxyxyxyx6364相轨线65历届数模竞赛中历届数模竞赛中与微分方程有关的问题与微分方程有关的问题n注意：不一定纯粹为微分方程问题，和注意：不一定纯粹为微分方程问题，和统计、计算方法等知识结合起来统计、计算方法等知识结合起来n2019A 最优捕鱼策略最优捕鱼策略n2019A SARS的传播的传播n2019B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测 n2019A 中国人口增长预测中国人口增长预测 谢谢
