1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数(1)(1)目标目标:应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而培应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而培养学生理解实际问题、从数学角度抽象分析问题和运用数学知养学生理解实际问题、从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力。通过实践体会到数学来源于生活又效识解决实际问题的能力。通过实践体会到数学来源于生活又效劳于生活。劳于生活。前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二
2、次函数讨论一些实际问题。一些实际问题。某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，元，每星期可卖出每星期可卖出300300件，市场调查反件，市场调查反映：如调整价格，每涨价映：如调整价格，每涨价1 1元，每元，每星期要少卖出星期要少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，元，每星期可多卖出每星期可多卖出2020件，已知商品件，已知商品的进价为每件的进价为每件4040元，如何定价才元，如何定价才能使利润最大？能使利润最大？探究1 1设每件涨价设每件涨价x元，那么每星期元，那么每星期售出商品的利润售出商品的利润y随之变化。我们先来确随之变化。我们先来确定定y随随x变化的函数式。涨价变
3、化的函数式。涨价x元时，每星元时，每星期少卖期少卖_件，实际卖出件，实际卖出_件，件，销售额为销售额为_.怎样确定x的取值范围 分析：分析：调查价格包括调查价格包括涨价涨价 和降价两种情况。我和降价两种情况。我们先看涨价的情况。们先看涨价的情况。即即y=(300-10 x)(20+x)10 x300-10 x60+x)(300-10 x(0 x30)即即 y=-10 x +100 x+6000,其中，其中，0 x30.根据上面的函数，填空：根据上面的函数，填空：当当x_时，时，y最大，也就是说，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价在涨价的情况下，涨价_元，即定元，即定价价_元时，利润最大，最大
4、利润是元时，利润最大，最大利润是_.255656250(2)(2)在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考(1)(1)的讨论自己得出答案。的讨论自己得出答案。由由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？道应如何定价能使利润最大了吗？设每件降价设每件降价x元元y=(300+20 x)(20-x)当当x时，时，y最大为最大为6125涨价涨价5元时，利润最大为元时，利润最大为6250练习：某商人假设将进货单价为练习：某商人假设将进货单价为8元的商品按每元的商品按每件件10元出售，每天可销售元出售，每天可
5、销售100件。现在他为了件。现在他为了增加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一增加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元，其销售量就减少元，其销售量就减少10件。请你应用已学知识件。请你应用已学知识帮他决定：将售出价定为多少时，才能使每天帮他决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚利润最大？并预算出最大利润。所赚利润最大？并预算出最大利润。此题是确定提高利润的最正确方案问题。此题是确定提高利润的最正确方案问题。解：设这种商品涨了解：设这种商品涨了x元，元，(X为正整数每天所赚利为正整数每天所赚利润为润为y元，元，那么那么y=(2+x)(10010 x)=10 x2+80 x+200 =10(x
6、4)2+360，当当x=4时，利润时，利润y最大，此时售价为最大，此时售价为14元，元，每天所赚利润为每天所赚利润为360元。元。1训练对文字信息的分析能力；训练对文字信息的分析能力；2体验将实际问题转化为数学问题体验将实际问题转化为数学问题的方法：的方法：即在对实际问题理解的根底上，建即在对实际问题理解的根底上，建立起商品涨价的钱数与所获利润的立起商品涨价的钱数与所获利润的函数关系，再应用二次函数的性质函数关系，再应用二次函数的性质求取利润最大值，提出解决问题的求取利润最大值，提出解决问题的方案。方案。问题问题2：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品
7、，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象局部刻画了该公司年初以来累计利润图象局部刻画了该公司年初以来累计利润s万元万元与销售时间与销售时间t月之间的关系即前月之间的关系即前t个月的利润总和个月的利润总和s与与t之间的关系。根据图象提供的信息，解答以下问题：之间的关系。根据图象提供的信息，解答以下问题：012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-11由图象上的三点坐标求累积由图象上的三点坐标求累积利润利润s万元与时间万元与时间t月之间月之间的函数关系式；的函数关系式；2求截止到几月末公司累求截止到几月末公司累积利
8、润可到达积利润可到达30万元；万元；3求第求第8个月公司所获利润是多少万元？个月公司所获利润是多少万元？此题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。此题是涉及实际亏损与盈利的经济问题。012345-2S万元万元t月月123-11由图象上的三点坐标求累积利润由图象上的三点坐标求累积利润s万元与时万元与时 间间t月之间的函数关系式；月之间的函数关系式；关键点：关键点：1观察二次函数的局部图像，用哪三点坐标观察二次函数的局部图像，用哪三点坐标解题更简便？解题更简便？-3解：解：设设s与与t的函数关系式为的函数关系式为 s=at2+bt+c 图像过点图像过点(,),(1,-1.5),(2,-2)a+b+c=1
9、.5 4a+2b+c=2 c=0 解得解得a=21b=2c=0 s=t22t，（t 的整数）21212a2设s=a(t-2)012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-12求截止到几月末公司累积利润可到达求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；万元；1）累积利润）累积利润s（万元）与时（万元）与时 间间t（月）之间的函数关系（月）之间的函数关系 式为式为 s=t22t21解解:把把s=30代入代入 s=t22t 21得得:30=t22t 21 解得解得:t1=10,t2=6(舍舍)答：截止到答：截止到10月末公司累积月末公司累积 利润可到达利润可到达30万元万元关键点：关键点：2
10、实际问题必须考虑自变量实际问题必须考虑自变量t的取值范围，并的取值范围，并结合实际决定计算结果中结合实际决定计算结果中t值的取舍；值的取舍；t 的整数的整数012345-2S（万元）（万元）t（月）（月）123-12截止到截止到10月末公司累积利润可到达月末公司累积利润可到达30万元；万元；1）累积利润）累积利润s（万元）与时（万元）与时 间间t（月）之间的函数关系（月）之间的函数关系 式为式为 s=t22t21解解:把把t=7代入代入:s=7227=10.521答：第答：第8个月公司获利润万元个月公司获利润万元3求第求第8个月公司所获利润是多少个月公司所获利润是多少 万元？万元？把把t=8代
11、入代入:s=8228=162116关键点：关键点：3要认真审题，准确理解题意。体会第要认真审题，准确理解题意。体会第8个月利润与累计利润的区别和如何求取？应用二次个月利润与累计利润的区别和如何求取？应用二次函数的对应关系函数的对应关系此题归纳此题归纳:1训练学生从图像获取信息的能力；训练学生从图像获取信息的能力；2复习稳固三点确定二次函数解析式复习稳固三点确定二次函数解析式的方法；体验生活中两个变量间的对的方法；体验生活中两个变量间的对应关系，是如何应用数学知识表达的。应关系，是如何应用数学知识表达的。如图中如图中,是抛物线形拱桥，当水面是抛物线形拱桥，当水面在在L时，拱顶离水面时，拱顶离水面
12、2米，水面宽米，水面宽4米。水面下降米。水面下降4米，水面宽度增加米，水面宽度增加多少？多少？我们知道，二次函数我们知道，二次函数的图像是抛物线，建的图像是抛物线，建立适当的坐标系，就立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线可以求出这条抛物线表示的二次函数。为表示的二次函数。为解题简便，解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为线的对称轴为y轴，如图建立平面直轴，如图建立平面直角坐标系角坐标系可设这一条抛物线表示的二次函数为可设这一条抛物线表示的二次函数为y=ax.有抛物线经过点（有抛物线经过点（2，-2），），可得：可得：-2=a2,2,这条抛物线表示的二次函
13、数为这条抛物线表示的二次函数为当水面下降当水面下降4 4米时米时,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-6.y=-6.请你根据上面的函数表达式求出这时的请你根据上面的函数表达式求出这时的水面宽度。水面宽度。12a 212yx 水面下降水面下降4米米,水面宽度增加水面宽度增加_米米.4)(4 3XY0BCA探究四探究四:公园要建造圆形的喷水池，在水池中公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水点恰在水面中心，米，由柱子顶端面中心，米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。水流在各个方向沿形状
14、相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为距离为1米处到达距水面最大高度米。如果不米处到达距水面最大高度米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？才能使喷出的水流落不到池外？此题是涉及公园美化的此题是涉及公园美化的应用性问题。应用性问题。XY0BCA解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为B，水流，水流 落落水与水与x轴交于轴交于C点。由题意点。由题意可知可知A，、，、B1，.25、Cx，0 关键点：关键点：1根据题目条件该如何建
15、立直根据题目条件该如何建立直角坐标系角坐标系 XY0BCA 如图建立坐标系，设如图建立坐标系，设抛物线顶点为抛物线顶点为B.由题由题意可知意可知 A0，0、B1，1、Cx，-1.25 XY0BCA 如图建立坐标系，如图建立坐标系，设抛物线顶点为设抛物线顶点为B.由题由题意可知意可知 A(-1,-1),O-1，、，、BO，0、Cx，XY0BCA解：如图建立坐解：如图建立坐标系，设抛物线标系，设抛物线顶点为顶点为B，水流落，水流落水与水与x轴交于轴交于C点。点。由题意可知由题意可知A，、，、B1，.25、Cx，0 解：如图建立坐标系，设抛物线顶点解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为为B，水流落水与
16、，水流落水与x轴交于轴交于C点。点。由题意可知由题意可知A，、，、B1，.25、Cx，0 0BCAXY设抛物线为设抛物线为y=a(x1)2+2.25(a0),点点A坐标代入，得坐标代入，得a=1当当y=0，即，即(x 1)2+2.25=0时，时，水池的半径至少要米。水池的半径至少要米。x=0.5（舍去），（舍去），x=2.5x=0.5（舍去）（舍去）2(1)2.25yx 水流沿抛物线落下，容易联想到水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图像，但是转化为数学问二次函数的图像，但是转化为数学问题的关键是坐标系的建立。题的关键是坐标系的建立。选择了恰当的位置建立坐标系，就选择了恰当的位置建立坐标系，
17、就会给运算带来方便。会给运算带来方便。以以OA所在直线为所在直线为y轴，过轴，过O点垂点垂直于直于OA的直线为的直线为x轴，点轴，点O为原点可为原点可作为最好选择。作为最好选择。XY0BCA思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央思考：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面点恰在水面中心，米，由柱子顶端中心，米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为距离为1米
18、处到达距水面最大高度米。如果不米处到达距水面最大高度米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？才能使喷出的水流落不到池外？课后思考：假设水流喷出的抛课后思考：假设水流喷出的抛物线形状与物线形状与1相同，水池相同，水池的半径为米，要使水流刚好不的半径为米，要使水流刚好不落到池外，这时水流的最大高落到池外，这时水流的最大高度是多少米？度是多少米？轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，
19、都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合
20、，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一
21、个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折
22、叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与
23、联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN 垂直垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC
24、如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的
25、结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直或直线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你
26、能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论
27、？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
