1、一、偏导数的几何应用举例一、偏导数的几何应用举例二、多元函数的极值二、多元函数的极值第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用第九章第九章 多元函数微分学多元函数微分学一、偏导数的几何应用举例一、偏导数的几何应用举例1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面定义定义 1设设 M0 是空间曲线是空间曲线 上的一点上的一点，M 是是 上的上的另一点另一点.当点当点 M 沿曲线沿曲线 趋向于点趋向于点 M0 时，时，则称割线则称割线 M0M 的极限位置的极限位置 M0T(如果存在如果存在)为曲为曲线线 在点在点 M0 处的处的切线切线.过点过点 M0 且与切线且与切线 M0T 垂直的平面，垂直的平
2、面，称为曲线称为曲线 在点在点 M0 处的处的法平面法平面.设曲线设曲线 的参数方称为的参数方称为 ),(tyy ),(tzz 当当 t=t 0 时，时，曲线曲线 上的对应点为上的对应点为 M0(x0,y0,z0).假定假定 可导，可导，)()()(tztytx、且且 不同时为零不同时为零.)()()(000tztytx 、给给 t0 以增量以增量 t，在曲线在曲线 上就有一上就有一对应点对应点),(000zzyyxxM 则割线则割线M0M 的方程为的方程为),(txx 对对上式取极限，上式取极限，,000zzzyyyxxx 上式中各分母除以上式中各分母除以,t 得得,000tzzztyyyt
3、xxx 当点当点 M 沿曲线沿曲线 趋向于点趋向于点 M0 时，时，有有.0 t因为上式各分母趋向于因为上式各分母趋向于,)()()(000tztytx 、且不同时为零，且不同时为零，所以割线的极限位置存在，所以割线的极限位置存在，,)()()(000000tzzztyyytxxx 这就是曲线这就是曲线 在点在点 M0 处的切线处的切线 M0T 的方程的方程.切切线的方向向量线的方向向量 s 可取为可取为 .)(),(),(000tztytx 容易知道，容易知道，曲线曲线 在点在点 M 处的法平面方程为处的法平面方程为.0)()()(000000 zztzyytyxxtx且为且为例例 1 上对
4、应于上对应于 的点处的点处 4 t的切线与法平面方程的切线与法平面方程.解解时时当当 4 t,24cos2 x,24sin2 y.42 z因为因为,sin2tx ,cos2ty ,2 z求螺旋线求螺旋线 ,cos2tx,sin2ty tz2 所以所以,24 tx,24 ty.24 tz于是，于是，所求点处的切线方程为所求点处的切线方程为,2422222 zyx即即.1421212 zyx该点处的法平面方程为该点处的法平面方程为,0)42(2)2(2)2(2 zyx即即.02444 zyx例例 2求曲线求曲线,1612:22 xxyz 在对应于在对应于 的点处的点处21 x的切线与法平面方程的切
5、线与法平面方程.解解 令令 x=t，则曲线则曲线 的参数方程为的参数方程为,162ty .122tz 当当 时，时，21 xt,4 y.3 z ,tx因为因为,121 tx,1621 ty,1221 tz 所所以所求点处的切线方程为以所求点处的切线方程为，123164121 zyx法平面方程为法平面方程为，0)3(12)4(1621 zyx即即.020124322 zyx2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线定义定义 2设设 M0 为曲面为曲面 上的一点，上的一点，若过若过点点 M0 且在曲面且在曲面 上的任何曲线在点上的任何曲线在点 M0 处处 的切的切线均在同一个平面上，线均在同一个平面
6、上，则称该平面为曲面则称该平面为曲面 在在点点 M0 处的处的切平面切平面，过点过点 M0 且垂直于切平面的且垂直于切平面的直线，直线，称为曲面称为曲面 在点在点 M0 处的处的法线法线.则曲面则曲面 在点在点 M0(x0,y0,z0)处的切平面方程处的切平面方程为为设曲面设曲面 的方程为的方程为,0),(zyxF曲面曲面 在点在点 M0 处的法线方程为处的法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ,0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx设曲面的方程为设曲面的方程为,),(yxfz
7、则曲面在点则曲面在点 M0 处的切平面方程为处的切平面方程为而法线方程为而法线方程为.)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx .1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx例例 3 求圆锥面求圆锥面 在点在点(3,4,5)处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.22yxz 解解设设.),(22yxyxfz ,22yxxfx ,22yxyfy ,53)4,3(xf.54)4,3(yf,)4(54)3(535 yxz即即,0543 zyx法线方程为法线方程为,15544533 zyx因此，因此，所求点的切平面方程为所求点的切平面方程为即即.554433 zyx例
8、例 4问球面问球面 上上104222 zyx 哪一点的哪一点的切平面切平面与平面与平面 平行？平行？243 zyx 并求此切平面并求此切平面方程方程.解解 设设,104),(222 zyxzyxF则则,2xFx ,2yFy .2zFz 104222 zyx若球面若球面 上点上点 M0(x0,y0,z0)处的切平面平行于处的切平面平行于平面平面,243 zyx则则,143zyxFFF 解得解得,4,30000zyzx 而而,104202020 zyx,104169202020 zzz解得解得,20 z于是于是.8,600 yx即即即即,124232000zyx 的的切平面都平行于平面切平面都平行
9、于平面,243 zyx 且切平面且切平面方程为方程为,0)2(4)8(16)6(12 zyx.0)2(4)8(16)6(12 zyx即即05243 zyx及及.05243 zyx及及故在该球面上，点故在该球面上，点(6,8,2)及及(6,8,2)处处二、多元函数的极值二、多元函数的极值1.二元函数的极值二元函数的极值定义定义 3 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的的某个邻域内有定义，某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于如果对于该邻域内异于(x0,y0)的点的点(x,y)都有都有),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf(或或 )，极大值和极小值统称为极大值和
10、极小值统称为极值极值.则称则称 f(x0,y0)为函数为函数 f(x,y)的的极大值极大值(或极小值或极小值).设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的偏导数的偏导数 极大值点和极小值极大值点和极小值点统称为点统称为极值点极值点.称为极大值点称为极大值点(或极小值点或极小值点)，使函数取得使函数取得极大值的点极大值的点(或极小值的点或极小值的点)(x0,y0)，定理定理 1(极值存在的必要条件极值存在的必要条件)且在点且在点 P0 处有极值，处有极值，则在该点的偏导数必为则在该点的偏导数必为零，零，即即 ,0,00)(yxfx.0,00 )(yxfy,),(00yxfx),
11、(00yxfy 使得偏导数为使得偏导数为 0 点称为函数的驻点点称为函数的驻点.存在，存在，设设 P0(x0,y0)是函数是函数 z=f(x,y)的驻点，的驻点，且函数在点且函数在点 P0 的某个的某个邻域内二阶偏导数连续，邻域内二阶偏导数连续，定理定理 2(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)令令,00)yxfAxx(,00)(yxfBxy ,00)(yxfCyy ,2ACB 则，则，(1)当当 0 且且 A 0 时时,f(x0,y0)是极大值，是极大值，当当 0 时，时，f(x0,y0)是极小值；是极小值；也可能没有极值也可能没有极值.函数函数 f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)可
12、能有极值，可能有极值，(3)当当 0 时，时，)(00,yxf不是极值；不是极值；(1)先求偏导数先求偏导数；yyxyxxyxfffff ,(2)解方程组解方程组 ,0),(,0),(yxfyxfxy求出驻点；求出驻点；(3)确定驻点处确定驻点处),(00yxfAxx 据此判断出极值点，据此判断出极值点，并求出极值并求出极值.若函数若函数 z=f(x,y)的二阶偏导数连续，的二阶偏导数连续，就可以就可以按照下列步骤求该函数的极值：按照下列步骤求该函数的极值：(xyfB ,),00yx),(00yxfCyy 及及 的符号，的符号，ACB 2的值的值例例 5 求函数求函数 的极值的极值.124),
13、(223 yxyxxyxf解解(1)求偏导数求偏导数,283),(2yxxyxfx ,22),(yxyxfy ,86),(xyxfxx,2),(yxfxy.2),(yxfyy(2)解方程组解方程组 ,0283,0222yxxfyxfxy 得驻点得驻点(0,0)及及(2,2).(3)列表判断极值点列表判断极值点.驻点驻点(x0,y0)(0,0)(2,2)结结 论论极大值极大值 f(0,0)=1 f(2,2)不是极值不是极值A8 4B22C2 2 的符号的符号ACB 2 +2.最大值及最小值最大值及最小值例例 6 使它到三使它到三点点 P1(0,0)、P2(1,0)、P3(0,1)距离的平方和为最
14、距离的平方和为最小小.解解 l 为为 P 到到 P1、P2、P3 三点距离的平方和，三点距离的平方和，即即,232221PPPPPPl 因为因为,2221yxPP ,)1(2222yxPP ,)1(2223 yxPP在在 x y 坐标面上找出一点坐标面上找出一点 P，设设 P(x,y)为所求之点，为所求之点，对对 x，y 求偏导数，求偏导数，有有,26 xlx,26 yly令令 ,0,0yxll即即 ,026,026yx解方程组得驻点解方程组得驻点.31,31 .2223322 yxyx222222)1()1(yxyxyxl所以所以由问题的实际意义，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小到三点
15、距离平方和最小的点一定存在，的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，可微，又只有一个驻点，因此因此 即为所求之点即为所求之点.31,31例例 7要制造一个无盖的长方体水槽，要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的已知它的底部造价为底部造价为 18 元元/m2，侧面造价均为侧面造价均为 6 元元/m2，设计设计的总造价为的总造价为 216 元，元，问如何选取它的尺寸，问如何选取它的尺寸，才能使才能使水槽容积最大？水槽容积最大？解解 设水槽的长、宽、高分别为设水槽的长、宽、高分别为 x、y、z，则容则容积为积为 V=xyz(x 0,y 0,z 0)，由题设知由题设知,216)22(618 yzxzxy
16、,36)(23 yxzxy即即解出解出 z，得，得,1223)(2336yxxyyxxyz 将将 式代入式代入 V=xyz 中，中，得二元函数得二元函数,122322yxyxxyV 求求 V 对对 x,y 的偏导数：的偏导数：,)()12()(212(232222yxyxxyyxxyyxV 令令,0,0 yVxV得方程组得方程组解之，解之，得得 x=2,y=2.再代入再代入 式中得式中得 z=3.,)()12()(212(232222yxyxxyyxyxxyV ,0)12()(212(222 yxxyyxyxx ,0)12()(212(222 yxxyyxxyy 所以取长为所以取长为 2 m，
17、宽为，宽为 2 m，高为，高为 3 m 时，时，水槽的容积最大水槽的容积最大.由问题的实际意义得知，由问题的实际意义得知，函数函数 V(x,y)在在 x 0,y 0 时确有最大值，时确有最大值，又因为又因为 V=V(x,y)可微，且只可微，且只有一个驻点，有一个驻点，3.条件极值条件极值设二元函数设二元函数 z=f(x,y)和和 (x,y)在所考虑的区域在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数，且且 不同不同时为零，时为零，),(),(yxyxyx 、可用下面步骤来求：可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数构造辅助函数,),(),(),(yxyxfyxF 称为称为拉格朗日函数拉格
18、朗日函数，称为拉格朗日乘数；称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组解联立方程组 求函数求函数 在约束条件在约束条件 下下的极值，的极值，),(yxfz ),(yx 0 ,0 yF.0),(yx,0 xF 在实际问题中，往往就是在实际问题中，往往就是所求的极值点所求的极值点.即即,0),(),(yxyxfyy ,0),(yx 得可能的极值点得可能的极值点(x,y)，此法称此法称拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.,0),(),(yxyxfxx 例例 8用拉格朗日乘数法解例用拉格朗日乘数法解例 7.解解按题意组成方程组：按题意组成方程组：即求函数即求函数构造辅助函数构造辅助函数 ,36)(23),(yxz
19、xyxyzzyxF .0),(zyx,0 yFxyzV 在条件在条件)(23yxzxy 下的最大值下的最大值.36,0 xF,0 zF 且可能的极值点只且可能的极值点只有一个，有一个，,023 zxxz ,0)(2 yxxy,036)(23 yxxy 解之，得解之，得.2,3 yxz实际问题的确存在最大值，实际问题的确存在最大值，所以当长为所以当长为 2 m，宽为，宽为 2 m，高为，高为 3 m 时，时，水槽容积最大水槽容积最大.即即,023 zyyz 哪一个哪一个平面平面例例 9经过点经过点(1,1,1)的所有平面中，的所有平面中，在第一卦限与坐标面所围的立体的体积最小，在第一卦限与坐标面
20、所围的立体的体积最小，并求此最小体积并求此最小体积.解解设所求平面方程为设所求平面方程为),0,0,0(1 cbaczbyax 所以该点所以该点坐标满足方程，坐标满足方程，.1111 cba因为平面过点因为平面过点(1,1,1)，即即 又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围立体的体积为立体的体积为 V，所以所以.61abcV xyzabcO 现在求函数现在求函数 在条件在条件 下的最小值下的最小值.abcV61)0,0,0(1111 cbacba构造辅助函数构造辅助函数,)1111(61),(cbaabccbaF 设设 ,0 bF,0 cF.1111 cba,0 aF即即 ,0612 bac,0612 cab.01111 cba解得解得 a=b=c=3.,0612 abc 它它在第一卦限中与三个坐标面所围立体的体积在第一卦限中与三个坐标面所围立体的体积 V 最最小小.由问题的性质可知最小值必定存在，由问题的性质可知最小值必定存在，又因为可又因为可能极值点唯一，能极值点唯一，所以当平面为所以当平面为 x+y+z=3 时，时，这时这时.293613 V
