1、实际问题与二次函数实际问题与二次函数（1 1）最值问题）最值问题1 1经历探索实际问题中两个变量的变化过程，经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路2 2初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题题重难点：重难点：用抛物线知识解决实际问题用抛物线知识解决实际问题教学目标：教学目标：3.3.会求几何问题中应用二次函数的最值；会求几何问题中应用二次函数的最值；二、新课引入二、新课引入1.1.二次函数二次函数y=a(x-h)+ky=a(x-h)+k的图象是一的图象是一 条条 ,它的对称轴
2、是它的对称轴是 ,顶点坐标是顶点坐标是 .2.2.二次函数二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c的图象是一的图象是一条条 ,它的对称轴是它的对称轴是 ,顶顶点坐标是点坐标是 .3.3.二次函数二次函数y=2(x-3)+5y=2(x-3)+5的对称轴的对称轴是是 ,顶点坐标是顶点坐标是 .4.4.二次函数二次函数y=x-4x+9y=x-4x+9的对称轴是的对称轴是 ,顶点坐标是顶点坐标是 .抛物线抛物线x=h x=h （h,kh,k）抛物线抛物线x=3x=3 （3,53,5）（2,52,5）24,24ba cbaa2bxa 2 2=x x三、研学教材三、研学教材 认真阅读课本第认真阅读课本
3、第4949问题至问题至5050页探页探究究1 1的内容，完成下面练习并体验知识的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程点的形成过程.三、研学教材三、研学教材知识点一知识点一 利用二次函数图象求最值问题利用二次函数图象求最值问题 例例1.1.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度度h h（单位：（单位：m m）与小球的运动时间）与小球的运动时间t t（单位：（单位：s s）之间的关系式是：）之间的关系式是：小球运动的时间是多少时，小球最高？小球小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？运动中的最大高度是多少？2305htt06t问题问题 分析
4、：分析：画出 的图象，借助函数图象解决实际问题：230506httt 0 0三、研学教材三、研学教材 h=30t-5t h=30t-5t2 2 0 0 25 25 4040 45 45 40 40 25 25 0 0t t0 02 24 46 61 13 35 5230506httt广东省怀集县凤岗镇初级中学广东省怀集县凤岗镇初级中学 黄柳燕黄柳燕从函数的图象看是一条抛物线的一部分可从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的的 点，也就是说，当点，也就是说，当t t取顶点的横坐取顶点的横坐标时，这个函数有最标时，这个函数有最
5、值值 解：当解：当 =时，时，h h有最大值有最大值 =小球运动的时间是小球运动的时间是 时，小球运时，小球运动到最大高度是动到最大高度是 .2bta 24503 0453025244acba45453 33s3s45m45m 最高最高大大一般地，一般地，当当a a0 0（a a ）时，抛物线）时，抛物线 (a0)(a0)的顶点是最低的顶点是最低()()点，也就是说，点，也就是说，当当x=x=时，时，y y有最小有最小（）值值是是 。归纳归纳2ba00高高大大244acbac c+bxbx+axax=y y2 2 练一练练一练 1 1、二次函数、二次函数y=2(x-3)y=2(x-3)2 2+
6、5+5，当，当x=x=时时,y,y有最有最 值是值是 。2 2、二次函数、二次函数y=xy=x2 2-4x+9-4x+9，当，当x=x=时时,y,y有有最最 值是值是 。3 3、已知当、已知当x x1 1时，二次函数有最大值为时，二次函数有最大值为5 5，且图象过点，且图象过点(0(0，3)3)，此函数关系式，此函数关系式 是是 。3 35 52 25 5y=-8(x-1)y=-8(x-1)2 2+5+5小小小小 用二次函数解决几何最值问题用二次函数解决几何最值问题 例例2.2.用总长为用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地的篱笆围成矩形场地，矩形面积，矩形面积S S随矩形一边长随矩形一边长L
7、 L的变化而的变化而变化变化.当当 L L是多少米时，场地的面积是多少米时，场地的面积 S S最大？最大？知识点二知识点二解：解：矩形场地的周长是矩形场地的周长是6060，一边长，一边长LmLm，另一边长为另一边长为 m.m.场地面积：场地面积：即：即：当当 时时s s有最大值有最大值 当当L L是是 时，场地面积时，场地面积s s最大最大.=15=15（60602-L2-L）=(30-L)=(30-L)244acba15152252253 022bla=）L）L（0L30L）L（0L30-（30（30=S S）30L（0L3030L（0L30+-L-L=S S2 2知识点三知识点三 几何问题
8、几何问题练一练练一练 例例3.3.已知直角三角形两条直角已知直角三角形两条直角边的和等于边的和等于8 8，两条直角边各为，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？积最大，最大值是多少？解：解：直角三角形两直角边之和为直角三角形两直角边之和为8,8,设一边长设一边长x x 另一边长为另一边长为 。则该直角三角形面积：则该直角三角形面积：即：即：当当s s有最大值有最大值 当是当是 时，直角三角形面积时，直角三角形面积最大，最大值为最大，最大值为 .s=s=（8-x8-x）x x2 2x=4,x=4,另一边为另一边为4 4时时8-x8-x244acb
9、a8 8两直角边都是两直角边都是4 42142sxx 8 82ba四、归纳小结四、归纳小结1 1、抛物线、抛物线 （a0a0）的顶点是）的顶点是 ，所以当，所以当x x 时，二次函数时，二次函数 有最小（大）值有最小（大）值 2 2、利用二次函数解决实际问题要注、利用二次函数解决实际问题要注 意意 的取值范围。的取值范围。2yaxbxc24,24bacbaa2ba2yaxbxc244acba自变量自变量x x例例4.4.如图，已知抛物线经过如图，已知抛物线经过A(-1A(-1，0)0)，B(3B(3，0)0)C(0C(0，3)3)三点。三点。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2
10、 2）点）点M M是线段是线段BCBC上的点（不与上的点（不与B B，C C重合）重合）过过M M作作MNyMNy轴交抛物线于轴交抛物线于N N，若点，若点M M的横坐标为的横坐标为m m，请用请用m m的代数式表示的代数式表示MNMN的长，并求出的长，并求出MNMN的最大值。的最大值。A(-1A(-1，0)0)B(3B(3，0)0)O OC CN NM Mx xy y【2017.2017.西华县三模改编】（宝典西华县三模改编】（宝典BP28BP28页页4 4题）如题）如图，抛物线图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3经过点经过点A(-1A(-1，0)0)，B(3B(3，0)0)
11、。(1)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；（2 2）P P为线段为线段BCBC上一点，过点上一点，过点P P作作y y轴的平行线，轴的平行线，交抛物线于点交抛物线于点D,D,当当BDCBDC的面积最大时，求点的面积最大时，求点P P的的坐标。坐标。A AB BC CD DP PO Ox xy y【2017.2017.济宁期末济宁期末】（宝典（宝典BP29BP29页页6 6题）题）如图，抛物线如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于轴交于A,B(1A,B(1，0)0)两两点，与点，与y y轴交于点轴交于点C C，直线，直线 经过经过A,CA,C两点，两点，抛
12、物线的顶点为抛物线的顶点为D D。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）求抛物线顶点）求抛物线顶点D D的坐标；的坐标；（3 3）在）在y y轴上是否存在一点轴上是否存在一点G G，使得，使得GB+GDGB+GD的值最的值最小？若存在，求出小？若存在，求出G G点的坐标；若不存在，请说点的坐标；若不存在，请说明理由；明理由；（4 4）在直线）在直线ACAC的上方抛物线上是否存在点的上方抛物线上是否存在点P P，使，使PACPAC的面积最大？若存在，直接写出的面积最大？若存在，直接写出P P点坐标及点坐标及PACPAC面积的最大值。面积的最大值。2 2-x x2 21 1=y
13、 yB BA AC CO Ox xy y【20172017眉山改编眉山改编】（同前】（同前7 7题题）如图，抛物线）如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx-2+bx-2与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点，点，已知已知A(3A(3，0)0)，且，且 是抛物线上另一点。是抛物线上另一点。（1 1）求）求a a、b b的值；的值；（2 2）连接）连接AC,AC,设点设点P P是是y y轴上任一点，若以轴上任一点，若以P P、A A、C C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P P点的坐标。点的坐标。)3 38
14、8-M(1，M(1，A AB BC CO Ox xy y【2017.2017.菏泽】如图，在平面直角坐标系中，抛菏泽】如图，在平面直角坐标系中，抛物线物线y=axy=ax2 2+bx+1+bx+1交交y y轴于点轴于点A A，交，交x x轴正半轴于点轴正半轴于点B B（4,04,0），与过），与过A A点的直线相交于另一点点的直线相交于另一点 ,过点过点D D作作DCxDCx轴，垂足为轴，垂足为C C。（1 1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；（2 2）点）点P P在线段在线段OCOC上（不与上（不与O O、C C重合），过点重合），过点P P作作PNxPNx轴，交直线轴，交直线ADAD
15、于于M M，交抛物线于点，交抛物线于点N N，连，连)2 25 5D(3，D(3，接接CM,CM,求求PCMPCM面积的最大值；面积的最大值；（3 3）若）若P P是是x x轴正半轴上的一动点，设轴正半轴上的一动点，设OPOP的长为的长为t,t,是否存在是否存在t,t,使以点使以点M M、C C、D D、N N为顶点的四边形是为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出平行四边形？若存在，直接写出t t的值；若不存的值；若不存在，请说明理由。在，请说明理由。B BC CD DN NM MA AO Oy yx xP P人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题
16、与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件【2017.2017.济宁期末济宁期末】（单元测试卷第】（单元测试卷第2525题题）如图，抛物线如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于轴交于A,B(1A,B(1，0)0)两两点，与点，与y y轴交于点轴交于点C C，直线，直线 经过经过A,CA,C两点两点抛物线的顶点为抛物线的顶点为D D。（。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）求抛物线的顶点）求抛物线的顶点D D的坐标；的坐标；（3 3）在）在y y轴上是否存在一点轴
17、上是否存在一点G G，使得，使得GD+GBGD+GB的值最的值最小？若存在，求出点小？若存在，求出点G G的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由。明理由。2 2-x x2 21 1=y y2 2x xy yO OA AB BC CD D人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件如图，抛物线如图，抛物线y=xy=x2 2+2x-3+2x-3与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点P
18、 P是抛物线对称轴上的任意一点，是抛物线对称轴上的任意一点，若若D D、E E、F F分别是分别是CBCB、BPBP、PCPC的中点，连接的中点，连接DEDE、DF,DF,则则DE+DFDE+DF的最小值为的最小值为x xy yO OB BA AD DC CP PE EF F2 22 23 3人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件如图，已知抛物线如图，已知抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c过点过点A(3A(3，0)0)，B(
19、1B(1，0)0)，交，交y y轴于点轴于点C C，点，点P P是该抛物线上一动点，点是该抛物线上一动点，点P P从从C C点沿抛物线向点沿抛物线向A A点运动（点点运动（点P P不与点不与点A A重合），重合），过点过点P P作作PDyPDy轴交直线轴交直线ACAC与点与点D D。（1 1）求点）求点P P在运动过程中线段在运动过程中线段PDPD长度的最大值；长度的最大值；（2 2）APDAPD能否构成直角三角形？若能，请直接能否构成直角三角形？若能，请直接写出点写出点P P的坐标；若不能，请说明理由；的坐标；若不能，请说明理由；（3 3）在抛物线对称轴上是否存在点）在抛物线对称轴上是否存在
20、点M M，使，使 MA-MCMA-MC最大？若存在，请求出点最大？若存在，请求出点M M的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由。请说明理由。人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件 x xy yO OA AB BC CD DP P M M人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问
21、题课件已知，如图，抛物线已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c(ay=ax2+3ax+c(a0)0)与与y y轴交轴交于于C C点，与点，与x x轴交于轴交于A A、B B两点，两点，A A点在点在B B点左侧，点点左侧，点B B的坐标为（的坐标为（1,01,0），），OC=3OBOC=3OB。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若点）若点D D是线段是线段ACAC下方抛物线上的动点，求四下方抛物线上的动点，求四边形边形ABCDABCD面积的最大值；面积的最大值；（3 3）若点）若点E E在在x x轴上，点轴上，点P P在抛物线上，是否存在在抛物线上，是否存在以以ACE
22、PACEP为顶点且以为顶点且以ACAC为一边的平行四边形？若存为一边的平行四边形？若存在，直接写出点在，直接写出点P P的坐标；若不存在，请说明理的坐标；若不存在，请说明理由。由。人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件x xy yO OB BC CA AD D人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题
23、与二次函数最值问题课件如图，四边形如图，四边形OABCOABC是边长为是边长为1 1的正方形，的正方形，OCOC与与x x轴正半轴的夹角为轴正半轴的夹角为1515，点，点B B在抛物线在抛物线y=axy=ax2 2的图的图像上，则像上，则a a的值为（的值为（）2 21 1-D.D.2 26 6-C.C.3 32 2-B.B.3 32 2-A.A.x xy yO OC CB BA AB B人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件【九上期
24、中检测】如图，抛物线与【九上期中检测】如图，抛物线与x轴交轴交于于A A、B B两两点（点（点点B B在点在点A A的右侧），且的右侧），且ABAB两点的坐标分别为两点的坐标分别为（-2,0-2,0）、（）、（8,08,0），与），与y y轴交于点轴交于点C C（0 0，-4-4），），连接连接BCBC，以，以BCBC为一边，点为一边，点O O为对称中心作菱形为对称中心作菱形BDEC,BDEC,点点P P是是x x轴正半轴上的一个动点，设点轴正半轴上的一个动点，设点P P的坐标为的坐标为(m,0),(m,0),过点过点P P作作x x轴的垂线轴的垂线l l交抛物线于点交抛物线于点Q,Q,交交B
25、DBD于于点点M M。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）当点）当点P P在线段在线段OBOB上运动时，试探究上运动时，试探究m m为何值时，为何值时，四边形四边形CQMDCQMD是平行四边形？是平行四边形？（3 3）在（）在（2 2）的结论下，试问抛物线上是否存在）的结论下，试问抛物线上是否存在点点N(N(不同于点不同于点Q)Q)，使，使BCNBCN的面积等于的面积等于BCQBCQ的面的面积？若存在，请求出点积？若存在，请求出点N N的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由。明理由。人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题
26、与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件x xy yO OB B（8,08,0）E E（-8,0-8,0）A A（-2,0-2,0）M MQ QP P（m,0m,0）D D（0,40,4）C C（0 0，-4-4）l l人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件解：（解：（1 1）设抛物线的解析式为：）设抛物线的解析式为：y=axy=ax2 2+bx+c,+
27、bx+c,将将A(-2A(-2，0)0)，B(8B(8，0)0)，C(0C(0，-4)-4)代入，得：代入，得：4a-2b+c=04a-2b+c=0 64a+8b+c=0 64a+8b+c=0 解得：解得：c=-4c=-4抛物线的解析式是：抛物线的解析式是：（2 2）CC（0 0，-4-4），四边形），四边形BDECBDEC是菱形，是菱形，点点D D的坐标为（的坐标为（0,40,4），设直线），设直线BDBD的解析式为：的解析式为：b b1 1=4 =4 y=kx+by=kx+b1 1,则则 8k+b8k+b1 1=0,=0,解得：解得：，直线直线BDBD的解析式为的解析式为4 4=c c2
28、23 3=b b4 41 1=a a-4 4-x x2 23 3-x x4 41 1=y y2 24 4=b b2 21 1=k k1 1-4 4+x x2 21 1=y y-人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件令点令点M M的坐标为的坐标为 ，则点，则点Q Q的坐标为的坐标为四边形四边形CQMDCQMD是平行四边形，是平行四边形，MQ=DCMQ=DC解得：解得：m m1 1=0(=0(不合题意，舍去不合题意，舍去)，m m2 2=
29、4=4，当当m=4m=4时，四边形时，四边形CQMDCQMD是平行四边形。是平行四边形。（3 3）假设存在点）假设存在点N N使使S SBCNBCN=S=SBCQBCQ,则则N N点到点到BCBC的距的距离与离与Q Q点到点到BCBC的距离相等。由（的距离相等。由（2 2）易得）易得M(4M(4，2)2)，Q(4Q(4，-6)-6)，则，则 ,由由ECEC的解析式的解析式可知，点可知，点Q Q在在ECEC所在的直线上，所在的直线上，MBCQ,MB=CQ,MBCQ,MB=CQ,SSMCB=SMCB=SQCB,QCB,点点M M到到BCBC的距离等于点的距离等于点Q Q到到BCBC的距离。的距离。
30、过点过点M M或或Q Q平行于平行于BCBC的直线与抛物线的的直线与抛物线的交点即为点交点即为点N N。易求得直线。易求得直线BCBC的解析式为的解析式为4)4)-m m2 23 3-m m4 41 1(m,(m,2 24）4）+m m2 21 1（m,-（m,-(-4)(-4)-4 4=4)4)-m m2 23 3-m m4 41 1(4)4)+m m2 21 1(-(-2 2-5 52 2=，CQ，CQ5 52 2=MBMB4 4-x x2 21 1=y y人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次
31、函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件设平行于设平行于BCBC的直线的直线ll的解析式为的解析式为 ,当直线当直线ll过点过点Q Q（4 4，-6-6）时）时,联立抛联立抛物线方程，得：物线方程，得：，解得，解得x x1 1=x=x2 2=4(=4(与与Q Q点点重合，舍去重合，舍去)；当直线当直线ll过点过点M M（4,24,2）时，）时，,联立抛物线联立抛物线方程，得：方程，得：，解得，解得2 2b b+x x2 21 1=y y8 8-x x2 21 1=y y8 8-x x2 21 1=4 4-x x2 23 3-x x4 41 12 2x x2 21 1=
32、y yx x2 21 1=4 4-x x2 23 3-x x4 41 12 22 24 4-4 4=x x,2 24 4+4 4=x x2 21 1)2 22 2-，2，22 24 4-(4(4)，N)，N2 22 2+，2，22 24 4+(4(4N N2 21 1综上，点综上，点N N的坐标为：的坐标为：)2 22 2-，2，22 24 4-(4(4N N 或或 )2 22 2+，2，22 24 4+(4(4N N2 21 1人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册
33、数学实际问题与二次函数最值问题课件如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点坐标为（的顶点坐标为（2,92,9），与），与y y轴交于点轴交于点A A（0,50,5），），与与x x轴交于点轴交于点E E、B B。（1 1）求二次函数的表达式；）求二次函数的表达式；（2 2）过点）过点A A作作ACAC平行于平行于x x轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点C C，点，点P P为抛物线上的一点（点为抛物线上的一点（点P P在在ACAC上方），作上方），作PDyPDy轴轴交交ABAB于点于点D D，问当点，问当点P P在何位置时，四
34、边形在何位置时，四边形APCDAPCD的的面积最大？并求出最大面积；面积最大？并求出最大面积；（3 3）若点）若点M M在抛物线上，点在抛物线上，点N N在其对称轴上，使得在其对称轴上，使得以以A A、E E、N N、M M为顶点的四边形是平行四边形，且为顶点的四边形是平行四边形，且AEAE为其一边，求点为其一边，求点M M、N N的坐标。的坐标。人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件x xy yO OE EA AC CP PD DB B人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件 我相信，只要大我相信，只要大家勤于思考，勇于探家勤于思考，勇于探索，一定会获得很多索，一定会获得很多的发现，增长更多的的发现，增长更多的见识，谢谢大家，再见识，谢谢大家，再见！见！人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件
