1、人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册导入新知导入新知 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO导入新知导入新知3.能运用能运用二次函数二次函数的图象与性质进行的图象与性质进行决策决策1.掌握掌握二次函数模型二次函数模型的建立，会把实际问题转的建立，会把实际问题转化为二次函数问题化为二次函数问题 2.利用利用二次函数二次函数解决解决拱桥拱桥及运动中
2、的有关问题及运动中的有关问题素养目标素养目标 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是米，水面宽是4米时，拱顶离水面米时，拱顶离水面2米米.现在想了解水面宽度变化现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？探究新知探究新知建立平面直角坐标系解答抛物线形问题建立平面直角坐标系解答抛物线形问题知识点 建立函数模型建立函数模型.这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线，拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数所以应当是个二次函数
3、.你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？探究新知探究新知【合作探究合作探究】怎样建立直角坐标系比较简单呢？怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴以拱顶为原点，抛物线的对称轴为为y轴，建立直角坐标系，如图轴，建立直角坐标系，如图从图看出，什么形式的二次函数，它从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是由于顶点坐标系是（0.0），），因此因此这个二次函数的形式为这个二次函数的形式为2.yax探究新知探究新知-2-421-2-1A如何确定如何确定a是多少？是多少？已知水面宽已知水面宽4米时，拱顶离水面米时，拱顶离水面高高2米，因此点
4、米，因此点A（2，-2）在抛在抛物线上，由此得出物线上，由此得出 ,因此，因此，其中，其中 x是水面宽度的一半，是水面宽度的一半，y是拱顶是拱顶离水面高度的相反数离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化时，拱顶离水面高度怎样变化212 yx222a g1.2a解得解得探究新知探究新知xyo由于拱桥的跨度为由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量米，因此自变量x的取值范围是：的取值范围是：水面宽水面宽3m时时,从而从而因此拱顶离水面高因此拱顶离水面高1.125m.3,2x21391.125,228 y2.452.45x 现在你能
5、求出水面宽现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？米时，拱顶离水面高多少米吗？探究新知探究新知 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解探究新知探究新知建立二次函数模型解决实际问题建立二次函数模型解决实际问题例例1 图中是抛物线形拱桥，当水面图中是抛物线形拱桥，当水面在在l 时时，拱顶离水，拱顶离水面面2m，水面宽，水面宽4m，水面下降，水面下降1m时，水面宽度增加时，水面宽度增加了多少？了多少？建立坐标系解答生活中的抛物线形问题建立坐标系解答生活中的抛物线形问题素养考点
6、素养考点 1探究新知探究新知l=4m2ml=4m2m解法一解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建轴，建立平面直角坐标系立平面直角坐标系.可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m.即抛物线过点即抛物线过点(2,-2),这条抛物线所表示的二次函数为这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.-2=a22,a=-0.5.当水面下降当水面下降1m时时,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-3,这时有这时有探究新知探究新知l=4m2
7、m解法二解法二:如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物轴，以抛物线的对称轴为线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax+2.此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(0,2)当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m,即即:抛物线过点抛物线过点(2,0),因此这条抛物线所表示的二次函数为因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x+2.当水面下降当水面下降1m时时,水面的纵坐标为水面的纵坐标为y=-1,这时有这时有
8、:0=a22+2，a=-0.5.探究新知探究新知2ml=4mo解法三解法三:如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交轴，以其中的一个交点点(如左边的点如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系.因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)+2.抛物线过点抛物线过点(0,0),0=a(-2)+2.a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)+2.此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,2).探究
9、新知探究新知2ml=4mo1.理解问题理解问题;回顾回顾“最大利润最大利润”和和“桥梁建筑桥梁建筑”解决问题的过程解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的分析问题中的变量变量和和常量常量,以及它们之间的关系；以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解做数学求解;5.检验结果的检验结果的合理性合理性.【思考思考】“二次函数应用二次函数应用”的思路的思路 探究新知探究新知有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下
10、水面宽度为 20m，拱顶距离水面，拱顶距离水面 4 m如图所示的直角坐标系如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.OACDByx20 mh解：解：设该拱桥形成的抛物线的设该拱桥形成的抛物线的解析式为解析式为y=ax2.该抛物线过该抛物线过(10,-4),-4=100a，a=-0.04.y=-0.04x2.巩固练习巩固练习利用二次函数解决运动中抛物线形问题利用二次函数解决运动中抛物线形问题素养考点素养考点 2探究新知探究新知例例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入
11、篮圈，已知篮距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？出手时的高度是多少米？探究新知探究新知2.5m4m3.5m3.05m解：解：如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系.则点则点A的坐标是的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度），篮球在最大高度时的位置为时的位置为B（0，3.5）.以点以点C表示运动员投篮球
12、的出手处表示运动员投篮球的出手处.xyO设以设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k，即即y=ax2+k.而点而点A，B在这条抛物线上，所以有在这条抛物线上，所以有 2.25a+k=3.05，k=3.5，探究新知探究新知巩固练习巩固练习xy巩固练习巩固练习某游乐园有一个直径为某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中
13、心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系建立直角坐标系（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设
14、计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度连接中考连接中考解解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x3）2+5（a0），），将（将（8，0）代入）代入y=a（x3）2+5，得，得25a+5=0，解得，解得a=0.2，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为水柱所在抛
15、物线（第一象限部分）的函数表达式为y=0.2（x3）2+5（0 x8）（2）当）当y=1.8时，有时，有0.2（x3）2+5=1.8，解得：，解得：x1=1，x2=7，因此为了不被淋湿，身高因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在米的王师傅站立时必须在离水池中心离水池中心7米以内米以内（3）当）当x=0时，时，y=0.2（x3）2+5=3.2设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=0.2x2+bx+3.2，该函数图象过点（该函数图象过点（16，0），），0=0.2162+16b+3.2，解得，解得b=3.改造后水柱所
16、在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=0.2x2+3x+3.2=0.2（x7.5）2+14.45扩建改造后喷水池水柱的最大高度为扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米米连接中考连接中考1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可可用公式用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中来表示，其中t(s)表示足球表示足球被踢出后经过的时间，则球在被踢出后经过的时间，则球在 s后落地后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度的高度y(米）关于水平距
17、离米）关于水平距离x(米）的函数解析式米）的函数解析式为为 ，那么铅球运动过程中，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为最高点离地面的距离为 米米.2113822yxx xyO2课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3.某某公园草坪的防护栏是由公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（栏需要不锈钢支柱的总长度至少
18、为（）A.50m B.100m C.160m D.200mC课堂检测课堂检测某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物，抛物线拱高为线拱高为5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式课堂检测课堂检测 解解：（1）设抛物线的表达式为）设抛物线的表达式为y=ax2.点点B（6，5.6）在抛物线的图象上，）在抛物线的图象上，5.6=36a，抛物线的表达式为抛物线的表达式为
19、745a.2745yx.能 力 提 升 题能 力 提 升 题（2）现需在抛物线）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在边在AB上，每扇窗户宽上，每扇窗户宽1.5m，高，高1.6m，相邻窗户之间的间，相邻窗户之间的间距均为距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？请计算最多可安装几扇这样的窗户？课堂检测课堂检测（2）设窗户上边所在直线交抛物线于）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，两点，D点点坐标为（坐标为（k，t），已知窗户高），已
20、知窗户高1.6m，t=5.6（1.6）=4.，解得，解得k=，即即k15.07，k25.07.CD=5.07210.14（m）设最多可安装设最多可安装n扇窗户，扇窗户，1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得，解得n4.06则最大的正整数为则最大的正整数为4答：答：最多可安装最多可安装4扇扇窗户窗户.27445 k6 357解解：悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之已知两端主塔之间的水平距离为间的水平距离为900
21、m,两主塔塔顶距桥面的高度为两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢主悬钢索最低点离桥面的高度为索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；yxO-450450课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题解：解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），），对称轴为对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
22、抛物线经过点（抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得），代入上式，得 81.5=a4502+0.5.解得解得故所求表达式为故所求表达式为yxO-4504502811.4502500a210.5(450450).2500 yxx课堂检测课堂检测(2)计算距离桥两端主塔分别为计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长处垂直钢索的长.yxO-450450213500.5 49.5(m).2500y当当x=45050=400（m）时，得）时，得214000.5 64.5(m).2500y课堂检测课堂检测转化转化回归回归（二次函数的图象和性质）（二次函数的图象和性质）拱 桥 问 题拱 桥 问 题运动中的抛运动中的抛物 线 问 题物 线 问 题（实物中的抛物线形问题）（实物中的抛物线形问题）建立恰当的建立恰当的直角坐标系直角坐标系能够将实际距离准确能够将实际距离准确的转化为点的坐标；的转化为点的坐标；选择运算简便的方法选择运算简便的方法实 际 问 题实 际 问 题数 学 模 型数 学 模 型转化的关键转化的关键课堂小结课堂小结作业作业内容内容教材作业教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排自主安排配套练习册练习配套练习册练习课后作业课后作业
