1、第6章 动态系统l 状态向量(state vector) l 转移函数(transition function) n 初始值(initial value)nn 反映系统随时间的推移而发生变化的路径l 连续时间系统(continuous-time system)或连续系统(continuous system)：由微分方程描述；l 离散时间系统(discrete-time system)，或离散系统(discrete system)：由差分方程描述6.1 基本概念6.1.1 微分方程与差分方程l 微分方程(differential equation) (6.1)n 是的阶导数，是的二阶导数，是的一
2、阶导数，参数向量，至少是函数。n 式(6.1)是一个函数方程，求解方程意味着找到函数及其导数l 差分方程(difference equation)： (6.2)其中是关于的实变量的向量值函数。l 微分和差分方程的线性n 关于及其导数是线性的，但关于和不必是线性的n 是的线性函数l 自控的(autonomous)n 不是作为一个独立的自变量出现在和中，而只出现在中l 动态系统的解n 线性系统通常可以得到显式解析解n 非线性系统通常无法得到解析解u 一维或二维自控系统通过图形易得定性结论u 高维系统需通过线性近似得出非线性系统的一些局部结论。l 阶(order)n 微分方程中的最高阶导数的阶数n
3、差分方程中出现的最高下标与最低下标的差n 式(6.1)和式(6.2)都是阶l 高阶微分或差分方程可转化为一阶系统，因此仅讨论一阶系统 (6.3)其中，。或者： (6.4)其中，。6.1.2 几何解释l 差分方程描述质点一步一步的移动 图6.1 离散系统的解路径n 沿箭头方向移动，可构造动态系统的路径(path)、轨道(orbit)或轨迹(trajectory)，得到序列。是系统的特解。差分方程有无数个解。l 微分方程同样描述质点的移动，但比差分方程更光滑n 时间导数，解释为速度向量。图6.2 微分方程的解路径n 箭头指出移动的瞬间方向，即路径在给点处的切线，箭头的长度与移动的速度成比例n 微分
4、方程一般有无数解6.1.3 动态系统的解l 通解(general solution)n 指动态系统的解包含任意常数n 阶动态系统的通解是包含个任意常数的解l 特解(particular solution)或精确解(exact solution)n 指动态系统中的一个不包含任意常数的解n 边界条件(boundary condition) 将确定微分方程的惟一解。n 时的边界条件为初始条件(initial condition)n 终结时期的值称终结条件(terminal condition)n 边界条件可以既不是初始条件也不是终结条件， n 初值问题(initial value problem)n
5、 边值问题(boundary value problem)n 初值或边值问题通常只有一个解l 微分方程或差分方程的解法n 解析法u 只适用于有限的函数形式，如一阶线性微分或差分方程；若为非线性微分方程，一般利用泰勒展开对该方程线性化，求出近似解。n 图形法u 适用于非线性和线性微分或差分方程u 只能用于自控方程，并且只能得到关于动态系统变化的有限信息。n 数值分析(numerical analysis)u 如MATLAB子程序ODE23和ODE45（参见附录）6.1.4 稳态与稳定性l 稳态n 自控离散系统，若使得，即不动点，则是系统的稳态（或均衡点）n 自控连续系统，若使得，即是不动点，则称
6、是系统的稳态。n 意味着：一旦达到稳态，系统就将永远保持下去，除非系统受到某种外生因素的冲击n 稳态一般解释为经济系统的长期均衡。l 稳态的存在性n 不存在稳态：图6.3(a)n 孤立的稳态：若的邻域中没有其他稳态n 非孤立稳态：图6.3(b)(a)稳态不存在 (b)非孤立稳态l 稳态的稳定性n 是的孤立稳态，稳定， ， l 渐近稳定性n 稳定性的定义不要求路径必须趋近于稳态u 有限圈(limit cycle)图6.3(b)稳定，非渐近稳定n 稳态稳定，渐近稳定 (asymptotically stable) ，使得在某点进入的任意解n 全局渐近稳定(globally asymptotical
7、ly stable) 从任一点出发的路径总保持在内，并且，6.2 微分方程6.2.1 线性微分方程6.2.2 非线性微分方程的相位图分析6.2.3非线性微分方程的线性近似6.2.1 线性微分方程一阶线性微分方程其中和均为时间的连续函数。l 求通解的步骤：1. 用标准形式写出一阶线性方程2. 计算积分因子(integrating factor)3. 方程两边乘以积分因子，并求出积分，在右边的积分上加上常数因此4. 一般结果：例6.1 求初值问题的通解例6.2 复利6.2.2 非线性微分方程的相位图分析非线性自控方程 (6.8)l 相位图的构造n 横轴表示值，纵轴则代表和，函数的图形称为相位线(p
8、hase line)n 位于横轴之上时，画出向右箭头(递增)，位于横轴之下时，画出向左的箭头(递减) 图6.4 连续系统的相位图定理 6.1 设是一阶微分方程的稳态，且。若，则是渐近稳定的；若，则是不稳定的。例6.3 Solow增长模型稳态的稳定性6.2.3非线性微分方程的线性近似l 定理6.2 Liapunov定理非线性自控方程在稳态处有线性近似，且对线性近似是局部渐进稳定的对局部渐进稳定。l 对数线性化n 变量的增长率n 对数线性化例6.4 在Solow增长模型中，单位有效劳动平均资本存量的增长率写成关于的方程：在稳态附近取关于的一阶泰勒展开式稳态时，因此于是令，有：6.3 差分方程6.3
9、.1 线性方程6.3.2 非线性自控方程6.3.1 线性方程l 一维常系数线性方程：给定 (6.10)其中,为常数。仅讨论的情形。n 当时，系统有惟一的稳态，故 n 令，反映了状态变量与稳态之间的偏离，称为余函数(complementary function)。n 问题归结为处理齐次线性方程l 状态变量可以表示稳态和余函数之和l 定理6.3 系统的稳定性一阶线性方程(给定，且)存在惟一的稳态。如果，则稳态是稳定的；如果，则稳态是不稳定的。此外，方程的解为。例6.5 蛛网模型 的稳定性6.3.2 非线性自控方程l 一维非线性自控差分方程n 相位图分析u 在平面中画出相位线u 利用直线进行投影u
10、稳态位于与直线的交点上图6.6 离散系统的相位图l 离散系统稳态的稳定性n 稳定从一个充分接近于稳态的点处出发的任意路径都收敛于n 不稳定存在一个从接近于稳态的点处出发的路径最终远离l 利用线性近似方法分析稳态的稳定性n 设，对非线性自控差分方程在稳态处进行一阶泰勒展开n 稳态局部渐近稳定n ，稳态不稳定6.4 线性方程组6.4.1 线性方程组求解的理论基础6.4.2常系数齐次方程组的解6.4.3 常系数非齐次方程组的解6.4.1 线性方程组求解的理论基础l 一阶非齐次方程组(6.14)l 对应的一阶齐次方程组 (6.15)l 是方程组(6.15)的个解其线性组合也是方程组的解。l 方程组(6
11、.15)的个线性无关的解称为该方程组的一个基本解集。基本解集不是惟一的。l 是方程组(6.15)的基本解集其线性组合是该方程组的通解。反之，该方程组的任何一个解可以表示为个线性无关的解的线性组合。l 非齐次方程组(6.13)的通解等于对应的齐次方程组(6.15)的通解与任意一个特解之和：其中齐次方程组的通解称为余函数。6.4.2常系数齐次方程组的解l 常系数线性方程组n 连续系统l 离散系统l 定理6.4 设常系数齐次微分方程组有个不同的特征根，其对应的特征向量为方程组的通解为 (6.17)其中为任意常数。l 定理6.5 设常系数齐次差分方程组有个不同的特征根，其对应的特征向量为方程组的通解为
12、 (6.18)其中为任意常数。l 常系数齐次方程组的通解：1. 不同实根：系数矩阵有个不同的实特征根，将通解中的取实数，得到系统的所有实值解。2. 复特征根：系数矩阵有一些复特征根，需构造出另一组基本解集，以获得系统的所有实值解。l 连续系统n 设矩阵的前两个特征根和是复数，其余特征根是实数。n 和是共轭复数 n 对应的特征向量n 系统通解例6.6 求齐次线性微分方程组的通解l 离散系统n 设系数矩阵的前两个特征根和是复数：n 对应的特征向量n 通解3. 多重特征根n 需补足缺少的线性无关解n 以二重特征根为例：连续系统u 设有二重特征根()只对应一个基本解u 设另一基本解形如，可得l 对应的
13、特征向量l 代入第二个式子可解出例6.7 求齐次线性微分方程组的通解。6.4.3 常系数非齐次方程组的解1. 常系数非齐次线性方程组或的解其中余函数是对应的齐次方程组的通解，是非齐次方程组的任意一个特解。2. 的求法已知，需找到特解：均衡解l 连续的情形：l 离散的情形：6.5 二维线性系统的稳定性6.5.1 特征根的分布区域3. 的特征根和为 l 特征根是实数或复数，由判别式的符号决定，系统的特征根为复数 ，系统的特征根为实数。图6.7 实特征根和复特征根区域6.5.2 二维连续系统的稳定性1.的特征根为实数，系统通解为：l 情形1 符号相同的实根：结点，结点渐近稳定，结点不稳定情形1(a)
14、 稳定的结点()情形1(b) 不稳定的结点()图6.8 结点重复实根()，通解为：当时，解路径收敛；当时，解路径发散。l 情形2 符号相反的实根：鞍点和符号相反，设，系统发散系统收敛图6.9 情形2 鞍点()l 鞍形路径的表达式n 令，通解n 鞍形路径的斜率是由特征向量决定的，若将稳态为原点，则指向鞍形路径的方向。n 另一特征向量定义发散路径或反鞍形路径(anti-saddle path)，图中为。n 数学上，鞍点是不稳定的；经济学中，在鞍形路径上，鞍点被认为是稳定的。l 情形3 复特征根：螺线点nn 系统的通解其中。n 稳态称为螺线点(spiral point)n 螺线点稳定n 螺线点不稳定
15、情形3(a) 稳定的螺线点() 情形3(b) 不稳定的螺线点()l 情形4 纯虚根：中心点nn 特征根是实部为0的纯虚数n 稳态称为中心点(center)n 中心点是稳定的；但不是渐近稳定的图6.11 情形4：中心点()l 总结：二维连续系统的稳定性表6.1 二维连续系统的稳定性图6.12 二维连续系统的稳定性6.5.3 二维离散系统的稳定性l 二维离散系统，其中为实矩阵。系统通解l ，系统渐趋稳态。可见，当系统的特征根均为实数时，系统的稳定性取决于特征根是否属于区间。l 系统的稳定性的确定n 矩阵的特征方程l 在平面上画出和 图6.13 特征根的区域划分l 在此基础上，在图形中加入抛物线：l
16、 平面被上述三条线和水平线划分成8个区域，分别对这8个区域确定稳态的稳定性。图6.14 实特征根和复特征根的区域l 实特征根所在的区域1、2、3、4、7、8的情形n 如果、，则稳态是稳定的。n 如果、，则稳态是不稳定的。n 如果一个特征根的绝对值大于1，另一个小于，则稳态是鞍点。l 复特征根所在区域5和6区域5，稳态是不稳定的区域6，稳态是稳定的。n 总结：二维离散系统的稳定表6.2 二维离散系统的稳定性区域特征根稳态1鞍点2不稳定3鞍点4不稳定7稳定8不稳定5不稳定 6稳定图6.15 二维离散系统的稳定性6.6 非线性自控系统l 非线性自控系统或者其中为函数。l 非线性系统的分析方法n 图解
17、法，在二维情形下，可以通过相位图分析系统的定性特征n 对非线性系统进行线性展开，在稳态附近获得非线性系统的局部行为特征6.6.1 二维系统的相位图分析l 给定二维非线性微分方程组：相位图分析可遵照以下四步进行1.建立相平面2.令，得到,每一方程表示平面上的一条曲线。相位线和分别将相平面分成四个区域。3.确定相位线两侧的情况。相位线两侧的情况由决定图6.16 相位线和变量的移动方向4.确定相平面上四个区域内解路径的移动方向，并画出各区域有代表性的解路径。图6.17 相位图l 离散系统的处理方法相似n 给定二维非线性差分方程组令和等于0，可以得到相位线：这两条相位线将相位面分成四个区域。为确定在每
18、个区域中移动箭头的方向，在相位线或上某个合适的点处求出导数，然后依照前面的方法进行讨论。6.6.2非线性自控系统的局部稳定性l 相位图无法得出足够的信息来分析系统的行为，并且只适用于研究一维或二维系统。l 为获得任意维非线性系统的更精确信息，通常在稳态的邻域中用线性系统来近似非线性系统。l 考察非线性自控方程组或，其中为函数，设为稳态，则或者可视为非线性自控方程组在附近的近似。l 在某些限制下，线性系统在点处的邻域的定性性质与非线性系统在点处的邻域的定性性质相同。两个系统是拓扑等价的(topologically equivalent)线性(N) 线性(L)图6. 18 拓扑等价 l 定义6.
19、3 拓扑等价动态系统和拓扑等价若在同一时点存在将的路径映射到的路径的同胚n 同胚可视为连续(可微)的坐标变换，尽管同胚本身的定义要复杂些。l 尽管多数非线性系统在稳态附近都拓扑等价于它们的线性展开，但也有一些例外，那些可以用线性展开进行分析的均衡称为双曲均衡l 定义6. 4 (双曲均衡) 设是非线性系统或稳态。若没有实部为0的特征值或没有模等于1的特征值，则称稳态是双曲的(hyperbolic)。l 定理6. 6 (Grobman-Hartman定理) 设是非线性系统的双曲均衡，则存在一个的邻域，使得系统在中拓扑等价于它的线性近似系统(LAS) (6.21)l 定理6.7 Liapunov定理
20、 对系统(6.21)是渐近(全局)稳定的对原系统是局部渐近稳定的。n 定理6.7表明，线性近似系统的稳定性为原系统的局部渐近稳定性提供了充分条件。n 原系统可以包含不止一个稳态，因此，定理6.7涉及原系统中的一个孤立稳态。n 定理6.7的逆命题一般不成立，原系统的稳定性并不代表LAS的稳定性。例6. 8 微分方程， (6.22)l 设是非线性系统的双曲稳态，可逆，则存在的一个邻域，使得系统在中拓扑等价于它的线性近似系统定理6.7 (非线性系统的局部稳定性)系统，其中是函数，设是系统的稳态，则n 所有特征根的实部局部渐近稳定n 的特征根至少有一个的实部大于0局部不稳定n 的特征根都是实数，其中一
21、部分大于0，另一部分小于0鞍点稳定n 的特征根中至少有一个的实部为0稳态可能局部稳定或局部渐近稳定，也可能局部不稳定，需进一步的附加条件l 应用：二维非线性系统的局部稳定性结果设是二维非线性系统的孤立稳态，在处的Jacobi矩阵为：如果，则是局部渐近稳定的。l 在二维情形下有如下的全局稳定性定理定理6.8 (Olech定理) 设是二维非线性系统的孤立稳态，设的Jacobi矩阵为如果，或，则稳态是全局渐近稳定的。例6.9 (Keynes体系) Keynes宏观均衡体系可表示IS-LM模型： (6.22a) (6.22b)l 对非线性系统，设是系统的稳态，则：n 的所有特征根的模局部渐近稳定n 的
22、特征根中至少有一个的模局部不稳定n 的特征根都是实数，其中一部分特征根的模大于1，另一部分特征根小于1鞍点稳定n 的特征根中至少有一个的模为1，则可能是局部稳定的或局部渐近稳定，也可能是局部不稳定的，需要进一步的附加条件才能说明。6.6.3 Routh-Hurwitz条件l 定理6.9 常系数线性系统的稳态全局渐近稳定任意特征根的实部为负。n 稳态稳定的充分条件是对称且负定l 定理6.10 (Routh-Hurwitz 定理) 实系统方程的所有根都有负实部的顺序主子式均为正。这一条件称为Routh-Hurwitz条件。n 定理6.10与定理6.9的结合，可以为线性系统的稳定性提供充分必要条件n 如，系数矩阵的特征方程其中，n ，Routh-Hurwitz条件为：，这与二维线性系统的稳定性条件相同。n 时，Routh-Hurwitz条件为由于，易改写为如下等价形式n 时，需利用计算机。例6. 9 Walras-Keynes-Phillips模型84
