1、13.5 第3课时 角平分线第13章 全等三角形人教版数学八年级上册第人教版数学八年级上册第1313章章在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC情景导入这要用到角平分线的知识.怎么用呢？生活中的数学角平分线的性质 如图，点P是AOB的角平分线OC上的任意一点，且PDOA于点D，PEOB于点E，将AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？DPACBEO获取新知已知:如图,OC是 AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD丄OA,PE丄OB,垂足分别为点
2、 D和点E.求证：PD=PE.DPACBEO 下面我们来证明刚才得到的结论：证明:OC平分AOB,P是OC上一点，DOP=BOP.PDOA,PEOB，ODP=OEP=90.在OPD和OPE 中，DOP=EOP,ODP=OEP,OP=OP,OPD OPE(A.A.S.).PDPE（全等三角形的对应边相等）.DPACBEO角平分线上的点到角两边的距离相等书写格式：如图，OP平分AOB，PDOA于点D，PEOB于点E,PDPE.易错警示：垂线段的长度随意两点间的距离DPACBEO关键词：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；作用：角平分线的性质可用来证明两条线
3、段相等是三角形全等思路的简化升级版角平分线的性质定理：角平分线性质定理的逆定理写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？条 件结 论性质定理逆命题一个点在角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等一个点到角两边的距离相等这个点在这个角的平分线上这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.分析：只需证明AOP和BOP所在的RtPDO和RtPEO全等.已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.BADOPE证明：过点O、P作射线
4、OP.PDOA,PEOB，PDO=PEO=90.在 Rt PDO和 Rt PEO中，OP=OP，PD=PE，Rt PDO Rt PEO,(H.L.),DOP=EOP(全等三角形的对应角相等).点P在AOB的平分线上.BADOPE条件：点到角两边距离相等；结论：点在角平分线上(1)书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE,点P在AOB的平分线上(或AOCBOC)(2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上画出ABC三个内角的平分线，你有什么发现？点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
5、AP是BAC的平分线BP是ABC的平分线PD=PFPD=PEPF=PE点P在BCA的平分线上A B C P D F 你会给出证明过程吗？试试吧你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？E证明：过点P作PDAB，PEBC，PFAC,垂足分别为D、E、F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.同理 PE=PF.PD=PF（等量代换）.点P在A的平分线上,ABCPEDFMN已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P也在A的平分线上.例例1 如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于E，F在AC上，BEFC，求证：
6、BDDF.证明：AD平分CAB，DEAB于E，C90，DEDC.在RtBDE和RtFDC中，EDCD，BEFC，RtBDE RtFDC,BDDF.例题讲解在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用三角形全等或角平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角平分线的性质.运用角平分线的性质证明线段相等时，不需要利用三角形全等.例2 如图，BECF，DFAC于点F，DEAB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分BAC.分析：要证AD平分BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明BDE和CD
7、F全等来完成证明：DFAC于点F，DEAB于点E，DEBDFC90.在BDE和CDF中，BDECDF，DEBDFC，BECF，BDE CDF，DEDF.又DFAC于点F，DEAB于点E，AD平分BAC.证明角平分线的方法思路:从数量上证明被角平分线 分成的两个角相等.从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂 线段，再证明垂线段相等即可这样把证“某线是角的平分线”的问 题转化为证“垂线段相 等”的问题，体现了转化思想.1.如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()APAPB BPO平分APBCOAOB DAB
8、垂直平分OPD随堂演练随堂演练2.如图，在ABC中，分别与ABC，ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是()AAF平分BC BAF平分BACCAFBC D以上结论都正确B3.如图，CP，BP是ABC两外角的平分线，PEAC且与AC的延长线交于点E，PFAB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？导引：由角平分线和垂直联想到作另一个垂线段解：如图，作PDBC，垂足为D.CP平分BCE，PEAC，PEPD，在RtPDC和RtPEC中，PDPE，PCPC，RtPDC RtPEC，CDCE.同理可证BDBF.CDBDCEBF，即BCCEBF.角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.三角形三条角平分线交于内部一点课堂小结
