1、几何学的变革几何学的变革第九章第九章几何，就是研究空间空间结结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展几何学发展?几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。?几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。9.4 9.4 射影几何的繁荣射影几何的繁荣非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义三维、平直、刚性空间的几何学，那么19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧
2、”运动：从三维到高维；从平直到弯曲；而射影几何的发展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度“降格”为其他几何的特例在在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者架下被研究的，其早期开拓者德沙格（法国）、帕斯卡（法国）斯卡（法国）等主要是以欧氏几何的方法处理问题，并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展世纪解析几何与微积分发展的洪流而被人遗忘到18世纪末与19世纪初，蒙日（画法几何学）等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何学）等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣的兴趣不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目不过
3、，将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的 庞斯列(J-V.Poncelet，17881867)庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年年莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生活活然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，书本，以炭代笔，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章谱写了射影几何的新篇章庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修庞斯列获释后对自己在狱中的
4、工作进行了修订、扩充，于订、扩充，于1822年出版了论图形的射影性质，这部著作立即掀起了，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时期期与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑特殊问题他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也成为他以后，射影几何研究的主题由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的概念为基础与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提 高为研究 问题的一 种方法在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两个
5、基本原理扮演了重要角色首先是首先是连续性原理连续性原理，它涉及通过投影或其他方法，它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性用庞斯列本人的话说，就是：性用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一样地样地般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性质第二个图形也有质第二个图形也有”而如果其中的一条割线变成圆的切线，那么这个定理仍然成立，只不过要把这条割线的截段之积换成切线的平方。作为这个原
6、理的一个例子，庞斯列举了圆内相交弦的截段之积相等的定理，当交点位于圆的外部时，它就变成了割线的截段之积的相等关系这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形因此，我们总可以说两条包括无穷远点的情形因此，我们总可以说两条直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者是一个无穷远处的点是一个无穷远处的点(平行线的情形平行线的情形)除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理来引入来引入虚元素虚元素例如两个相交的圆，其公共弦当例如两个相交的圆，其公共弦当两圆逐渐分离并变得不再相
7、交时，就成为虚两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚的无穷远元素与虚元素在庞斯列为达到射影几何的一般性工作中发挥了重要作用何的一般性工作中发挥了重要作用庞斯列强调的另一个原理是庞斯列强调的另一个原理是 对偶原理对偶原理射影几何射影几何的研究者们曾经注意到，的研究者们曾经注意到，平面图形的平面图形的“点点”和和“线线”之间存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理例如考虑著那么就可以得到一个新的定理例如考虑著名的名的帕斯卡定理：帕斯卡定理：如果将一圆锥曲线的6个点看成是一个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线。它的对偶形
8、式则是：它的对偶形式则是：如果将一圆锥曲线的6条切线看成是一个六边形的边，那么相对的顶点的连线共点。帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄(C.J.Brianchon)在在1806年发现的，所以常被称为布里昂雄定理，而这离帕斯卡最初陈述他的定理已有近二百年的光景虽然虽然布里昂雄布里昂雄发现了发现了帕斯卡定理帕斯卡定理 的对偶定理，的对偶定理，但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这个原理个原理庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是庞斯列
9、射影几何工作中很重要的一部分，就是为建立对偶原理而发展了为建立对偶原理而发展了 配极配极的一般理论他深入的一般理论他深入研究了研究了圆锥曲线的极点与极线圆锥曲线的极点与极线 的概念，给出了从极的概念，给出了从极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述点到极线和从极线到极点的变换的一般表述与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家德国数学家默比乌斯(A.P.Mobius，17901868)和和普吕克普吕克(J.Plucker，18011868)开创了射影几何研究开创了射影几何研究的解析的解析(或代数)途径默比乌斯在重心计算在重心计算(1827)一
10、书中第一次引一书中第一次引进了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它相当于把笛卡儿坐标换成换成yx,3231,xxyxxx?齐次坐标齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的有效工具射影几何基本结果的有效工具但这种代数的方法遭但这种代数的方法遭到了到了以庞斯列为首的综合派学者以庞斯列为首的综合派学者的反对，的反对，19世纪的射世纪的射影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争论中前进的论中前进的支持庞斯列的数学家还有斯坦纳(J.Steiner)、沙勒勒(M.Chasles)和施陶特
11、和施陶特(K.G.C.von Staudt)等，其中等，其中施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性的意义的意义到到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对这两种几何的逻辑关系仍不甚了了即使是综合这两种几何的逻辑关系仍不甚了了即使是综合派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因而不是射影概念而不是射影概念
12、施陶特在施陶特在1847年出版的位置几何学中提出一套方案，年出版的位置几何学中提出一套方案，通过给每个点适当配定一个识别标记通过给每个点适当配定一个识别标记(也称作坐标也称作坐标)而给交比作而给交比作了重新定义如果四点的了重新定义如果四点的“坐标坐标”记为记为，那么交，那么交比就定义为4321,xxxx.42324131xxxxxxxx?这样施陶特不借助长度概念就得以建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。9.5 9.5 几何学的统一几何学的统一在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”这是因为非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而
13、未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命在19世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响“我越来越深信我们不能证明我们的欧几里得几何具有物理的必然性，至少不能用人类的理智一一给出这种证明或许在另一个世界中我们可能得以洞悉空间的性质，而现在这是不可能达到的”高斯早在1817年就在给朋友的一封信中写道：高斯曾一度把他的非欧几何称为高斯曾一度把他的非欧几何称为“星空几何星空几何”，而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文
14、测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近似写照能只是物理空间的近似写照他们的预言，在他们的预言，在20世纪被爱因斯坦的相对论世纪被爱因斯坦的相对论所证实正是所证实正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了 宇宙流形宇宙流形的非欧几里得性欧几里得性其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面种几何学即欧几里得几何学的局
15、面19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了 上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标统几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因(F.Klein，1849-1925)提出的1872年，克莱因被聘为爱
16、尔朗根大学的数学教授，按惯例，他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以爱尔朗根纲领著称，正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李(S.Lie)在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：克莱因所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量这样一来，不仅19 世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类克莱因用群的观点来研究几何学。他的克莱因用群的观点来研究几何学。他的基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，基本观点是，每种几何都由变换
17、群所刻划，并且每种几何所要做的实际就是在这种变换群下考虑其不变量。例如(就平面的情况)，欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质平面中的平移和旋转(也称刚性运动)构成个变换群刚性平面变换可以用代数式表示出来：?,232221131211ayaxayayaxax其中这些式子构成了一个群的元素，而将这种元素结合在一起的“运算”就是依次进行这种类型的变换容易看出，如果在进行上述变换后紧接着进行第二个变换：121122211?aaaa?,232221131211bybxbybybxbx其中那么相继进行这两个变换的结果，就等价于某个单一的这一类型的变换将点变成点.1
18、21122211?bbbb),(yx),(yx如果在上述变换中，将限制用更一般的要求来替代，那么这种新变换也构成一个群然而，而，在这样的变换下，长度和面积不再保持不变在这样的变换下，长度和面积不再保持不变，不过一个已，不过一个已知种类的圆锥曲线(椭圆，抛物线或双曲线)经过变换后仍是同一种类的圆锥曲线这样的变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何因此，按照克莱因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特例只是仿射几何的一个特例121122211?aaaa021122211?aaaa仿射几何则是更一般的几何射影几何的一个特例一个射影变换可以写成如下形式：?,333231232221333231
19、131211ayaxaayaxayayaxaayaxax其中的行列式必须不为零射影变换下的不变量有线性、的行列式必须不为零射影变换下的不变量有线性、共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等显然，共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等显然，如果并且，射影变换就成了仿射变换，射影变换就成了仿射变换ija03231?aa133?a下表反映了以射影几何为基础的克莱因几下表反映了以射影几何为基础的克莱因几何学分类中一些主要几何间的关系：在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何和拓扑学和拓扑学克莱因对拓扑学的定义是克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限研究由无
20、限小变形组成的变换的不变性小变形组成的变换的不变性”这里这里“无限小变形无限小变形”就是一一对应的双方连续变换。就是一一对应的双方连续变换。拓扑学拓扑学在在20世纪才获得独立的发展并成为现代世纪才获得独立的发展并成为现代数学的核心学科之一数学的核心学科之一并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响克莱因发表爱尔朗根纲领时 年仅23岁1886年，他受聘到哥廷根大学担任教授克莱因是这样一位数学家，在他身上，创造天才与组织能力完美地融合在一起 他的到来，使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的
21、德国大学更富科学魅力。克莱因在被引向哥廷根的许多年轻数学家中，最重要的一位是希尔伯特(D.Hilbert，18621943)正是这位希尔伯特，在来到哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径公理化方法公理化方法始于欧几里得，然而当公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家世纪数学家们重新审视原本中的公理体系时却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础的几何的基础这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理这项探索从一开始
22、就是在对几何学作统一处理的观点下进行的在所有这些努力中，希尔伯特在的观点下进行的在所有这些努力中，希尔伯特在几何基础(1899)中使用的公理化方法最为成功几何基础与希尔伯特德国数学家大卫德国数学家大卫希希尔伯特（尔伯特（1862-19431862-1943）是）是20世纪最伟大的数学家之一他在1899年出版的几何基础成为近代公理几何基础成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”。公理化方法是从公理出发来建造各种几何希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系几何基础中提出的公理系统包括了20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：.
23、18关联公理；14顺序公理；15合同公理；平行公理；12 连续公理（重点）在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：1相容性从系统的公理出发不能推出矛盾，故亦称“无矛盾性”；2独立性系统的每一条公理都不能是其余公理的逻辑推论；3完备性系统中所有的定理都可由该系统的公理推出在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平行公理，而保持其余所有
24、公理不变，就可以得到双曲几何；如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭圆几何，等等这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学最有趣的例子便是“非阿基米德几何”，即通过忽略连续公理(亦称阿基米德公理)而建造的几何学这是希尔伯特本人的创造，几何基础中用了整整5章的篇幅来展开这种新的几何学我们在后面会看到，希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至某
25、些物理领域中普遍应用的科学方法1900年希尔伯特38岁时在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演提出了新世纪所面临的23个问题这23个问题涉及现代数学的大部分重要领域对这些问题的研究有力地推动了20世纪各个数学分支的发展数学问题希尔伯特数学问题演讲希尔伯特数学问题演讲我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域？新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？选择题与填空题1非欧几何的创立主要归功于数学家高斯、波约、罗巴切夫斯基.2解析几何的发明归功于法国数学家笛卡尔 和 费马.3.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中_第五公设_的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是_高斯_.4希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：_相容性_、_独立性_、_完备性_.作业1.简述非欧几何的产生。2.克莱茵的爱尔朗根纲领。3.非欧几何三位发明人是谁？他们中哪位是最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研究成果？谢 谢！
