1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分） 已知集合1U ， 2， 3， 4， 5，6，1A， 3，5，2B ， 3，4， 则集合 U AB 是( ) A1，3，5，6 B1，3，5 C1，3 D1，5 2 （4 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标为( ) A(0,1) B(1,0) C(0, 1) D( 1,0)
2、 3 （4 分）下列直线与圆 22 (1)(1)2xy相切的是( ) Ayx Byx C2yx D2yx 4 （4 分）已知a，bR，且ab，则( ) A 11 ab Bsinsinab C 11 ( )( ) 33 ab D 22 ab 5 （4 分）在 5 1 ()x x 的展开式中， 3 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 6 （4 分）已知平面向量a，b，c满足0abc，且| | | 1abc，则a b的值为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 7 （4 分）已知，是三个不同的平面，且m，n，则“/ /mn”是 “/ /”的( ) A充分而不必要条件 B必要
3、而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）已知等边ABC边长为 3点D在BC边上，且BDCD，7AD 下列结论 中错误的是( ) A2 BD CD B2 ABD ACD S S 第 2 页（共 21 页） C cos 2 cos BAD CAD D sin 2 sin BAD CAD 9 （ 4 分 ） 声 音 的 等 级( )f x（ 单 位 ：)dB与 声 音 强 度x（ 单 位 ： 2 /)W m满 足 12 ( )10 1 10 x f xlg 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的 等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一
4、般说话时声音强度的( ) A 6 10倍 B 8 10倍 C 10 10倍 D 12 10倍 10 （4 分）若点N为点M在平面上的正投影，则记()NfM 如图，在棱长为 1 的正 方体 1111 ABCDABC D中，记平面 11 ABC D为，平面ABCD为，点P是棱 1 CC上一动点 （与C， 1 C不重合） ， 1 ( )QffP ， 2 ( )QffP 给出下列三个结论： 线段 2 PQ长度的取值范围是 12 ,) 22 ； 存在点P使得 1/ / PQ平面； 存在点P使得 12 PQPQ 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小
5、题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）在等差数列 n a中，若 2 5a ， 5 2a ，则 7 a 12 （5 分）若复数 1i z i ，则| z 13（5 分） 已知点(0, 3)A， 点B，C分别为双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的左、 右顶点 若ABC 为正三角形，则该双曲线的离心率为 14 （5 分）已知函数( ) a f xx x 在区间(1,4)上存在最小值，则实数a的取值范围是 第 3 页（共 21 页） 15 （5 分）用“五点法”作函数( )sin()f xAx的图象时，列表如下： x 1 4 1 2 5 4 2 11 4 x 0 2 3
6、 2 2 ( )f x 0 2 0 2 0 则( 1)f ， 1 (0)() 2 ff 16 （5 分）已知曲线 4422 :1(C xymx ym为常数） ( ) i给出下列结论： 曲线C为中心对称图形； 曲线C为轴对称图形； 当1m 时，若点( , )P x y在曲线C上，则| 1x 或| 1y 其中，所有正确结论的序号是 ( )ii当2m 时，若曲线C所围成的区域的面积小于，则m的值可以是 （写出一个 即可） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知函数 2 1 ( )c
7、os3sin cos 2 f xxxx （）求函数( )f x的单调递增区间； （）若( )f x在区间0，m上的最大值为 1，求m的最小值 18 （13 分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAC 平面ABC，ABC和VAC均是等 腰直角三角形，ABBC，2ACCV，M，N分别为VA，VB的中点 （）求证：/ /AB平面CMN； （）求证：ABVC； （）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （13 分）某市城市总体规划(20162035年） 提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活 圈” 全覆盖的目标， 从教育与文化、 医疗与养老、 交通与购物、 休闲与
8、健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质 小区（指数为0.61)、良好小区（指数为0.4 0.6)、中等小区（指数为0.2 0.4)以及待改 进小区（指数为0 0.2)4个等级下面是三个小区 4 个方面指标的调查数据： 小区 指标值 权重 A小区 B小区 C小区 教育与文化(0.20) 0.7 0.9 0.1 医疗与养老(0.20) 0.7 0.6 0.3 交通与购物(0.32) 0.5 0.7 0.2 休闲与健身(0.28) 0.5 0.6 0.1 注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数 1 1223 344 TwTw
9、 TwTw T，其中 1 w， 2 w， 3 w， 4 w为该小区四个方面的权重， 1 T， 2 T， 3 T， 4 T为该小区四个方面的指标值（小区每一个方 面的指标值为0 1之间的一个数值） 现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 0，0.2) 0.2，0.4) 0.4，0.6) 0.6，0.8) 0.8，1 频数 10 20 30 30 10 （）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由； 第 5 页（共 21 页） （）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽 取 10 个小区进行调查，
10、若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为，求的分布列及数学期望 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点(2,0)A，且离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，直线AP和AQ分别与直线 4x 交于点M，N求APQ与AMN面积之和的最小值 21 （13 分）已知函数 2 ( )(1)(0) x f xe axa （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若函数( )f x有极小值，求证：( )f x的极小值小于 1 22 （1
11、4 分）给定整数(2)n n，数列 211 : n Ax ， 2 x， 21n x 每项均为整数，在 21n A 中去 掉一项 k x，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的 最大值记为(1 k m k ，2，21)n将 1 m， 2 m， 21n m 中的最小值称为数列 21n A 的 特征值 （）已知数列 5:1 A，2，3，3，3，写出 1 m， 2 m， 3 m的值及 5 A的特征值； （） 若 1221n xxx 剟?， 当(1 ) (1 ) 0injn， 其中i，1j， 2，21n且ij 时，判断| ij mm与| ij xx的大小关系，并说明理由；
12、（）已知数列 21n A 的特征值为1n，求 121 | ij ijn xx 剟 的最小值 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分） 已知集合1U ， 2， 3， 4， 5，6，1A， 3，5，2B ， 3，4， 则集合 U AB 是( ) A1，3，5，6 B1，3，5 C
13、1，3 D1，5 【解答】解：集合1U ，2，3，4，5，6，2B ，3，4， 1 UB ，5，6， 1 U AB，5， 故选：D 2 （4 分）抛物线 2 4yx的焦点坐标为( ) A(0,1) B(1,0) C(0, 1) D( 1,0) 【解答】解：抛物线 2 4yx的焦点在x轴上，且2p 1 2 p 抛物线 2 4yx的焦点坐标为(1,0) 故选：B 3 （4 分）下列直线与圆 22 (1)(1)2xy相切的是( ) Ayx Byx C2yx D2yx 【解答】解：根据题意，圆 22 (1)(1)2xy的圆心与(1,1)，半径2r ， 据此分析选项： 对于A，圆心(1,1)到直线yx
14、的距离 |1 1| 2 1 1 dr ，直线与圆相切，符合题意； 对于B，圆心(1,1)在直线yx上，直线与圆不相切，不符合题意； 对于C，圆心(1,1)到直线2yx 即20xy的距离 |21|3 5 541 dr ，直线与圆相交， 不符合题意； 第 7 页（共 21 页） 对于D，圆心(1,1)到直线2yx即20xy的距离 |21|5 541 dr ，直线与圆相交，不 符合题意； 故选：A 4 （4 分）已知a，bR，且ab，则( ) A 11 ab Bsinsinab C 11 ( )( ) 33 ab D 22 ab 【解答】解：设 1 ( ) 3 x y ，由指数函数的性质知，函数 1
15、 ( ) 3 x y 为R上的减函数， 又ab，故 11 ( )( ) 33 ab 故选：C 5 （4 分）在 5 1 ()x x 的展开式中， 3 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 【解答】解： 5 1 ()x x 的展开式的通项公式为 55 2 155 1 ()( 1) rrrrrr r TC xC x x 令523r，则1r ， 5 1 ()x x 的展开式中含 3 x项的系数是5 故选：A 6 （4 分）已知平面向量a，b，c满足0abc，且| | | 1abc，则a b的值为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：0abc， abc ，且| |
16、 | 1abc， 22 ()abc，即121 1a b ， 1 2 a b 故选：A 7 （4 分）已知，是三个不同的平面，且m，n，则“/ /mn”是 “/ /”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 8 页（共 21 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：，是三个不同的平面，且m，n， “/ /mn” “/ /或l” ， “/ /” “/ /mn” ， “/ /mn”是“/ /”的必要而不充分条件 故选：B 8 （4 分）已知等边ABC边长为 3点D在BC边上，且BDCD，7AD 下列结论 中错误的是( ) A2 BD CD B2 ABD ACD S S
17、C cos 2 cos BAD CAD D sin 2 sin BAD CAD 【解答】解：在ACD中，由余弦定理有， 222 2cos60ADCDACCD AC，即 2 793CDCD，解得1CD 或2CD ， 又BDCD，故1CD ，2BD ， 2 BD CD ，即选项A正确； 1 2 2 1 2 ABD ACD BD h SBD SCD CD h ，故选项B正确； 在ABD中，由余弦定理有 9742 7 cos 72 37 BAD ，在ACD中，由余弦定理有 9715 7 cos 142 37 CAD ， 2 7 cos4 7 cos55 7 14 BAD CAD ，故选项C错误； 2
18、2 721 sin1() 77 BAD， 2 5 721 sin1() 1414 CAD， sin 2 sin BAD CAD ，故选项D正确 综上，错误的是选项C 第 9 页（共 21 页） 故选：C 9 （ 4 分 ） 声 音 的 等 级( )f x（ 单 位 ：)dB与 声 音 强 度x（ 单 位 ： 2 /)W m满 足 12 ( )10 1 10 x f xlg 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的 等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的( ) A 6 10倍 B 8 10倍 C 10 10倍 D 12 10倍 【解答】解：喷
19、气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB， 1 12 10140 1 10 x lg ，解得 2 1 10x ， 又一般说话时，声音的等级约为60dB， 2 12 1060 1 10 x lg ，解得 6 2 10x ， 喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 2 81 6 2 10 10 10 x x 倍， 故选：B 10 （4 分）若点N为点M在平面上的正投影，则记()NfM 如图，在棱长为 1 的正 方体 1111 ABCDABC D中，记平面 11 ABC D为，平面ABCD为，点P是棱 1 CC上一动点 （与C， 1 C不重合） ， 1 ( )QffP ， 2 ( )Qff
20、P 给出下列三个结论： 线段 2 PQ长度的取值范围是 12 ,) 22 ； 存在点P使得 1/ / PQ平面； 存在点P使得 12 PQPQ 其中，所有正确结论的序号是( ) 第 10 页（共 21 页） A B C D 【解答】解：设点P在内投影为 P ，则 1 2 2 PPC P ，设 P 在内投影为 1 Q，则 11 21 22 CQPPC P， 当P为 1 CC中点时， 距 2 Q最近， 2 1 | 2 PQ ， 当P在 1 C时， 2 |PQ最大， 此时 2 2 | 2 PQ ， 因为P与C不重合，所以， 2 |PQ的范围是 1 2 ， 2 ) 2 ，故正确； 由条件可知，P， 1
21、 Q， 2 Q在平面 1 C CD中， 将其画出， 假设 1/ / PQ成立， 则 11 / /PQC D， 设CQx，则PCx，所以 1 22C PCQx， 1 231PCPCxxx，则 1 3 x ， 所以 1 1 3 CQ ， 1 3 CD ，即存在点P使得 1/ / PQ，故正确； 设 1 CQx，以C为原点建系得 1( ,0)Qx，(0,12 )Px， 2 1 1 (, ) 2 2 Q ， 假设 12 PQPQ则 12 0PQ PQ ，即( x， 1 21)( 2 x ， 2 151 2)40 222 xxx，此时 第 11 页（共 21 页） 0，方程无解，故不成立， 故选：D 二
22、、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）在等差数列 n a中，若 2 5a ， 5 2a ，则 7 a 0 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 2 5a ， 5 2a ， 25 1 3 d ， 75 2220aad 故答案为：0 12 （5 分）若复数 1i z i ，则| z 2 【解答】解：由 2 1(1)() 1 iii zi ii ， 得|2z 故答案为：2 13（5 分） 已知点(0, 3)A， 点B，C分别为双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的左、 右顶点 若ABC 为正三角形，则该双曲线的离心率为 2
23、 【解答】解：点(0, 3)A，点B，C分别为双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的左、右顶点若ABC 为正三角形， 可得： 3 23 2 a，解得1a ，双曲线的半焦距为 2 32ca， 所以双曲线的离心率为：2 故答案为：2 14 （5 分）已知函数( ) a f xx x 在区间(1,4)上存在最小值，则实数a的取值范围是 第 12 页（共 21 页） (1,16) 【解答】解：当0a 时，( )f xx在区间(1,4)上不存在最小值； 当0a 时，函数( ) a f xx x 在区间(1,4)上为增函数，不存在最小值； 当0a 时，由双勾函数的图象及性质可知，要使在区间(1,
24、4)上存在最小值，则需满足 14a，即116a 故答案为：(1,16) 15 （5 分）用“五点法”作函数( )sin()f xAx的图象时，列表如下： x 1 4 1 2 5 4 2 11 4 x 0 2 3 2 2 ( )f x 0 2 0 2 0 则( 1)f 2 ， 1 (0)() 2 ff 【解答】解：由“五点法”作函数( )sin()f xAx的图象时，列表得： 2A，且 1 22 3 2 2 ，解得 2 3 ， 6 ， 2 ( )2sin() 36 f xx ， 2 ( 1)2sin()2sin2 362 f ， (0)2sin1 6 f ， 121 ()2sin()2sin1
25、23266 f ， 1 (0)()1 10 2 ff 故答案为：2，0 16 （5 分）已知曲线 4422 :1(C xymx ym为常数） ( ) i给出下列结论： 曲线C为中心对称图形； 曲线C为轴对称图形； 当1m 时，若点( , )P x y在曲线C上，则| 1x 或| 1y 第 13 页（共 21 页） 其中，所有正确结论的序号是 ( )ii当2m 时，若曲线C所围成的区域的面积小于，则m的值可以是 （写出一个 即可） 【 解 答 】 解 ：( ) i对 于 ： 将x换 成x，y换 成y， 则 方 程 变 为 44224422 ()()()()1xymxyxym xy不变， 所以图形
26、关于(0,0)对称； 故正确； 对于：将x换成x，则方程变为 44224422 ()()1xymxyxymx y不变，故曲线 C关于y轴对称，同理将y换成y，方程也不变，故曲线C关于x轴对称， 故正确； 对 于 ：1m 时 ， 4422 1xyxy， 因 为 4422 2xyx y， 所 以 4422222222 12xyx yx yx yx y，即 22 1x y ， 因为 44444444222222 (1)(1)1(1)0xyxyxyxyxyxyxy，所以 44 (1)(1) 0xy ， 即 4 4 1 0 1 0 x y 或 4 4 1 0 1 0 x y 解得 | 1 | 1 x y
27、 或 | 1 | 1 x y ，故正确； ( )ii原方程 4422 1xymx y可化为 22 222 ()(2)1xymx y，所以 22 222 ()1 (2)xymx y ， 当20m 时， 22 2 ()1xy即 22 1xy，若面积小于，则20m ，所以2m ， 则m可取(2,)任意值，如取 6 故答案为；6 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知函数 2 1 ( )cos3sin cos 2 f xxxx （）求函数( )f x的单调递增区间； （）若( )f
28、x在区间0，m上的最大值为 1，求m的最小值 【解答】解： （）函数 2 1 ( )cos3sin cos 2 f xxxx cos2131 sin2 222 x x 第 14 页（共 21 页） sin(2) 6 x ， 函数( )f x的单调递增区间满足： 222 262 kxk 剟，kZ， 解得 36 kxk 剟，kZ， 函数( )f x的单调递增区间为 3 k ， 6 k ()kZ （）( )sin(2) 6 f xx 在区间0，m上的最大值为 1， m的最小值满足：2 62 m ， 解得 6 m 18 （13 分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAC 平面ABC，ABC和VAC均是等
29、 腰直角三角形，ABBC，2ACCV，M，N分别为VA，VB的中点 （）求证：/ /AB平面CMN； （）求证：ABVC； （）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值 【解答】解： （）证明：M，N分别为VA，VB的中点， / /MNAB， AB平面CMN，MN 平面CMN， / /AB平面CMN （）证明：ABC和VAC均是等腰直角三角形， ABBC，2ACCV，M，N分别为VA，VB的中点 ABBC，VCAC， 平面VAC 平面ABC，平面VAC平面ABCAC， 第 15 页（共 21 页） VC平面ABC， AB 平面ABC，ABVC （）解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面
30、ABC的垂线为z轴，建立空 间直角坐标系， ( 2V，0，2)，(0B，0，0)，( 2C，0，0)， 2 ( 2 N，0，1)，(0A，2，0)， 2 ( 2 M， 2 2 ，1)， ( 2,0,2)BV ， 2 ( 2 CM ， 2 2 ，1)， 2 ( 2 CN ，0，1)， 设平面CMN的法向量(nx，y，) z， 则 22 0 22 2 0 2 n CMxyz n CNxz ，取2x ，得(2n ，0，2)， 设直线VB与平面CMN所成角为， 则直线VB与平面CMN所成角的正弦值为： |4 22 2 sin 3| |66 BV n BVn 19 （13 分）某市城市总体规划(2016
31、2035年） 提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活 圈” 全覆盖的目标， 从教育与文化、 医疗与养老、 交通与购物、 休闲与健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质 小区（指数为0.61)、良好小区（指数为0.4 0.6)、中等小区（指数为0.2 0.4)以及待改 进小区（指数为0 0.2)4个等级下面是三个小区 4 个方面指标的调查数据： 第 16 页（共 21 页） 小区 指标值 权重 A小区 B小区 C小区 教育与文化(0.20) 0.7 0.9 0.1 医疗与养老(0.20) 0.7 0.6 0.3 交通与
32、购物(0.32) 0.5 0.7 0.2 休闲与健身(0.28) 0.5 0.6 0.1 注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数 1 1223 344 TwTw TwTw T，其中 1 w， 2 w， 3 w， 4 w为该小区四个方面的权重， 1 T， 2 T， 3 T， 4 T为该小区四个方面的指标值（小区每一个方 面的指标值为0 1之间的一个数值） 现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 0，0.2) 0.2，0.4) 0.4，0.6) 0.6，0.8) 0.8，1 频数 10 20 30 30 10 （）分别判断A，B，C三个小区是否是优
33、质小区，并说明理由； （）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽 取 10 个小区进行调查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为，求的分布列及数学期望 【解答】 解：（）A小区指数为：0.20.70.20.70.320.50.280.50.580.6 A T ， A小区不是优质小区 B小区指数为：0.20.90.20.60.320.70.280.60.6920.6 B T ， B小区是优质小区 C小区指数为：0.20.10.20.30.320.20.280.10.1720.6 C T ， C
34、小区不是优质小区 （）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽 取 10 个小区进行调查， 第 17 页（共 21 页） 抽到优质小区的个数为： 3010 104 100 个， 抽到良好小区的个数为： 30 103 100 个， 抽到中等小区的个数为： 20 102 100 个， 抽到待改进小区的个数为： 10 101 100 个， 在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入调查，记这 2 个小区中为优质小区的个 数为， 则的可能取值为 0，1，2， 2 6 2 10 1 (0) 3 C P C ， 11 46 2 10 8 (1) 15 C
35、 C P C ， 2 4 2 10 2 (2) 15 C P C ， 的分布列为： 0 1 2 P 1 3 8 15 2 15 数学期望 1824 012 315155 E 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点(2,0)A，且离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，直线AP和AQ分别与直线 4x 交于点M，N求APQ与AMN面积之和的最小值 【解答】解（）由题意知：2a ， 3 2 c e a ， 222 bac，解得： 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 4 x y； （
36、）(2,0)A，设直线l的方程为：xmy，设( ,)P x y，(,)Qxy， 由椭圆的对称性可设0y，联立与椭圆的方程： 22 (4)4my， 2 2 4 y m ，所以 2 2 ( 4 m P m ， 2 2 ) 4m ， 2 2 ( 4 m Q m ， 2 2 ) 4m ，所 第 18 页（共 21 页） 以 2 4 | 4 PQ yy m ， 2 2 2 2 1 4 2 4 2 4 AP m k m mm m ， 所以直线AP的方程为： 2 1 (2) 4 yx mm ， 令4x ， 得 2 2 4 y mm ， 所以直线PA与4x 的交点 2 2 (4,) 4 M mm ； 2 2
37、2 2 1 4 2 4 2 4 AQ m k m mm m ，所以直线AQ为： 2 1 (2) 4 yx mm ，令4x ，得 2 2 4 y mm ， 2 2 (4,) 4 N mm ， 2 22 22 |4 44 MNm mmmm 由因为2OA 与A到4x 的距离相等，所以 1 | | 2 APQAMNPQ SSOAyyMN 22 22 144 2 (4) 244 2 44 mm mm ，这时直线PQ是0x ，即y轴， 所以APQ与AMN面积之和的最小值为 4 21 （13 分）已知函数 2 ( )(1)(0) x f xe axa （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程；
38、 （）若函数( )f x有极小值，求证：( )f x的极小值小于 1 【解答】解： （）由题意 2 ( )(21) x fxe axax，(0)1 f ，而(0)1f， 所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为：1yx； （）要使函数( )f x有极小值，则方程( )0fx有解，0 x e ， 2 210axax 有解， 2 440aa，0a ，1a，方程的根， 22 244 1 2 aaaaa x aa ， 1a ， 2 10 aa a ， 2 1 aa x a 和 2 1 aa x a ，( )0fx， 第 19 页（共 21 页） 22 11 aaaa x aa ，( )0
39、fx， 2 1 aa x a 为极小值点，因为(0)1f， 2 ( 1 aa x a ，)，( )f x单调递增， 2 10 aa a ， 2 ( 1)(0)1 aa ff a ， 所以( )f x的极小值小于 1 22 （14 分）给定整数(2)n n，数列 211 : n Ax ， 2 x， 21n x 每项均为整数，在 21n A 中去 掉一项 k x，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的 最大值记为(1 k m k ，2，21)n将 1 m， 2 m， 21n m 中的最小值称为数列 21n A 的 特征值 （）已知数列 5:1 A，2，3，3，3，写出
40、 1 m， 2 m， 3 m的值及 5 A的特征值； （） 若 1221n xxx 剟?， 当(1 ) (1 ) 0injn， 其中i，1j， 2，21n且ij 时，判断| ij mm与| ij xx的大小关系，并说明理由； （）已知数列 21n A 的特征值为1n，求 121 | ij ijn xx 剟 的最小值 【解答】解： （）由题意，可知： 1 (33)(23)1m ， 2 (33)(13)2m ， 3 (33)(12)3m ； 453 3mmm， 5 A的特征值为 1 （）由题意，(1)(1) 0injn，故可分下列两种情况讨论： 当i，1j，2，1n 且ij时，则 根据定义可知：
41、212211212211 ()()()() innnnninnnnni mxxxxxxxxxxxxxx 第 20 页（共 21 页） 同理可得： 212211 ()() jnnnnnj mxxxxxxx ijij mmxx即| | ijij mmxx 当i，1jn，2n ，21n且ij时， 根据定义可知： 2121112122121 ()()()() innninnnnnnni mxxxxxxxxxxxxxx 同理可得： 212211 ()() jnnnnnj mxxxxxxx () ijij mmxx 即| | ijij mmxx 综合，可得：| | ijij mmxx （）由题意，不妨设
42、1221n xxx 剟?，则 212212132 121 |2(21)(22)(1)(1)2 ijnnnnnn ijn xxnxnxnxnxnxnxxx 剟 22121321 2(1)(1)(22)(21)2 nnnnn xxnxnxnxnxnxnx 2122121321 2(22)(24)202(24)(22)2 nnnnnn nxnxnxxxxnxnxnx 211222 2 ()(22)()2() nnnn n xxnxxxx 很显然， 211222nnnn xxxxxx 厖? 2122112211121 ()() ()() nnnnnnnnnnn xxxxxxxxxxxxm ， 当且仅当 121nn xx 时等号成立； 2122112122121 ()() ()() nnnnnnnnnn xxxxxxxxxxxxm ， 当且仅当 11n xx 时等号成立； 由（）可知： 1 m， 21n m 中的较小值为1n
