1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的选项中，只有一项分在每小题给出的选项中，只有一项 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集合 |1Ax x， 2 |6 0Bx xx ，则(AB ) A 3，) B 2，) C(1，2 D(1，3 2 （5 分）已知ab，0cd，则下列不等式成立的是( ) A 22 ab Badbc C ab cd Dacbd 3 （5 分）已知(0,
2、 )， 5 cos() 5 ，则tan的值为( ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 4 （5 分）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的 长半轴长、 短半轴长三者的乘积 据此得某椭圆面积为6 2， 且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程可以为( ) A 22 1 362 xy B 22 1 1816 xy C 22 1 126 xy D 22 1 98 xy 5 （5 分）在一次数学测试中，某班 50 名学生成绩的平均分为 82，方差为 8，则该班甲同 学的数学成绩不可能是( ) A60 B70 C80 D90 6 （5 分）甲、乙、丙三人玩“石头、
3、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头） ， 需要淘汰两人，一人胜出现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是( ) A 1 27 B 1 9 C 1 3 D 2 3 7 （5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，, 3 DABBMMC ，则(AC DM ) A1 B3 C3 D3 3 8 （5 分）已知直线l与平面所成角为45，l在内的射影为m，直线n，且n与m 所成角为45，则l与n所成角为( ) A30 B45 C60 D75 第 2 页（共 20 页） 9 （5 分）已知函数 3 (0)0, 3 62 f xsinxcos x 在上的值域为，则实数 的取值范围为( )
4、 A 1 1 , 6 3 B 1 2 , 3 3 C 1 , 6 D 1 2 , 2 3 10 （5 分）地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强地 震预警是指在地震发生后， 利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点， 地震发生地提前 对地震波尚未到达的地方进行预警 通过地震预警能在地震到达之前， 为民众争取到更多逃 生时间2019 年 6 月 17 日 22 时 55 分四川省宜宾市长宁县发生 6.0 级地震，震源深度约 16 千米， 震中长宁县探测到纵波后 4 秒内通过电波向成都等地发出地震警报 已知纵波传播速 度约为5.5 7千米/秒，横波传播速度约为3.2 4千
5、米/秒，长宁县距成都约 261 千米，则 成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为( ) A51 秒 B56 秒 C61 秒 D80 秒 11 （5 分）已知函数 | | ( )sin x f xex，( )fx是( )f x的导函数，有下述四个结论： ( )f x是奇函数( )f x在( 10 ,10 )内有 21 个极值点 ( )fx在区间(0,) 4 上为增函数( )f xax在区间0, 4 上恒成立的充要条件是1a 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线 的左、右
6、两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AFFB，| 3|CFFB， 则双曲线的离心率是( ) A 17 3 B 3 2 C 5 3 D 10 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知zC，i是虚数单位，12 1 z i i ，则z 14 （5 分）某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x（单位：百 万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x 0 1 2 3 4 y 15 30 35 40 50 由表中的数据得线性回归方程为8yxa投入的广告费6x 时，销售额的预报值为 第
7、 3 页（共 20 页） 百万元 15 （5 分）一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为 1 的球， 则该直三棱柱的体积最小值为 16 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于 D点2AD ，3a ，sincos(2)cossincACbcAC， 则A ，ABC的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题
8、为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）等比数列 n a中， 1 2a 且 2， 2 1a ， 3 a，成等差数列 （1）求 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 123 2b n a a aa，求数列 1 n b 的前n项和 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2,BCABPBC是等边 三角形，PAD是直角三角形，O为AD中点 （1）求证：BCOP； （2）求二面角APBC的余弦值 19 （12 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点， 3OA OB （1）求抛物线的方程
9、； （2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点C在y轴上时，求ABC的面积 20 （12 分）习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战 略，形成了“一村一品一业”的新格局同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦 门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等 第 4 页（共 20 页） 因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影 响根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X（单位：吨）的分布列如下： X 10 12 P 0.5 0.5 紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元/吨）的
10、分布列如下： Y 0.5 0.6 P 0.8 0.2 （1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚 1 亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚 今年总产量不低于 34 吨的概率； （2）紫长茄今年每亩种植成本约 1.5 万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单 位：万元） ，求Z的分布列和数学期望 21 （12 分）函数( )log(0,1) a f xxx aa （1）当3a 时，求方程( )1f x 的根的个数； （2）若( ) e f x a 恒成立，求a的取值范围注：2.71828e 为自然对数的底数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中
11、任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 1 ( 2 1 m x m m m y m 为参数） 以坐标原 点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2） 过点( 1,0)P 作倾斜角为的直线l交 2 C于A，B两点， 过O作与 1 l平行的直线 2 l交 1 C 于Q点，若| 4|PAPBOQ，求 选修选修
12、 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( )2|f xxaxa （1）当1a 时，求不等式( )5f x 的解集； （2）若0x，1，( ) |3 |f xxa恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的选项中，只有一项分在每小题给出的选项中，只有一项 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集
13、合 |1Ax x， 2 |6 0Bx xx ，则(AB ) A 3，) B 2，) C(1，2 D(1，3 【解答】解：集合 |1Ax x， 2 |6 0 | 23Bx xxxx剟?， |13(1ABxx，3 故选：D 2 （5 分）已知ab，0cd，则下列不等式成立的是( ) A 22 ab Badbc C ab cd Dacbd 【解答】解：ab，0cd， 则 2 a与 2 b大小关系不确定，adbc， ab cd ，ac与bd大小关系不确定 故选：B 3 （5 分）已知(0, )， 5 cos() 5 ，则tan的值为( ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 【解答】解：(0, )，
14、5 cos() 5 ， cos()cos ， 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 ， tan2 ， 故选：A 4 （5 分）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的 长半轴长、 短半轴长三者的乘积 据此得某椭圆面积为6 2， 且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程可以为( ) 第 6 页（共 20 页） A 22 1 362 xy B 22 1 1816 xy C 22 1 126 xy D 22 1 98 xy 【解答】解：由题意可知，设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则6 2Sab，即 6 2ab ， 1 22 3 ca，即3
15、ac， 222 abc， 解得：3a ，2 2b ，1c ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 98 xy ； 故选：D 5 （5 分）在一次数学测试中，某班 50 名学生成绩的平均分为 82，方差为 8，则该班甲同 学的数学成绩不可能是( ) A60 B70 C80 D90 【解答】解：在一次数学测试中，某班 50 名学生成绩的平均分为 82，方差为 8， 设甲的得分为x，则 2 (82)50 8x， 解得62102x 该班甲同学的数学成绩不可能是 60 故选：A 6 （5 分）甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头） ， 需要淘汰两人，一人胜出现三人同时随机出
16、拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是( ) A 1 27 B 1 9 C 1 3 D 2 3 【解答】解：三人同时随机出拳的所有出法有3 3 327 种， 游戏只进行一回合就结束的的可能的甲乙丙的可能情况是3 人中一人出石头， 其他两人出 剪刀，有 3 种结果； 3 人中一人出剪刀，其他两人出布，有 3 种结果；3 人中一人出布，其他两人剪刀，有 3 种结果， 故满足条件的可能结果一共 9 种情况， 第 7 页（共 20 页） 由古典概率的计算公式可得 91 273 P 故选：C 7 （5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，, 3 DABBMMC ，则(AC DM ) A1 B3 C3 D3
17、 3 【解答】解：如图， BMMC， 1 2 DMDCCMABAD，且ACABAD，| | 2, 3 ABADDAB ， 1 () () 2 AC DMABADABAD 2211 22 ABADAB AD 111 4422 222 3 故选：C 8 （5 分）已知直线l与平面所成角为45，l在内的射影为m，直线n，且n与m 所成角为45，则l与n所成角为( ) A30 B45 C60 D75 【解答】解：如图，直线l与平面所成角为45，l在内的射影为m，直线n，且 n与m所成角为45， 取直线l上一点A，设lO，过点A作AB，垂足B在l在内的射影m上， 过点O作/ /OCn，连结BC、AC，
18、则AOC是l与n所成角，45AOB是直线l与平面所成角， 45BOC是n与m所成角， 第 8 页（共 20 页） 1 coscoscoscos45 cos45 2 AOCAOBBOC ， l与n所成角为60AOC 故选：C 9 （5 分）已知函数 3 (0)0, 3 62 f xsinxcos x 在上的值域为，则实数 的取值范围为( ) A 1 1 , 6 3 B 1 2 , 3 3 C 1 , 6 D 1 2 , 2 3 【解答】解：因为函数 3133 ()sin()cossincoscossincos3sin() 622223 fxxxxxxxxx ， 在0，上， 33 x ， 3 若(
19、 )f x在0，上的值域为 3 2 ，3，则 3 sin() 32 x ，1， 2 233 剟，求得 11 63 剟， 故选：A 10 （5 分）地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强地 震预警是指在地震发生后， 利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点， 地震发生地提前 对地震波尚未到达的地方进行预警 通过地震预警能在地震到达之前， 为民众争取到更多逃 生时间2019 年 6 月 17 日 22 时 55 分四川省宜宾市长宁县发生 6.0 级地震，震源深度约 16 千米， 震中长宁县探测到纵波后 4 秒内通过电波向成都等地发出地震警报 已知纵波传播速 度约为5.5
20、7千米/秒，横波传播速度约为3.2 4千米/秒，长宁县距成都约 261 千米，则 成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为( ) A51 秒 B56 秒 C61 秒 D80 秒 【解答】解：由题意可得： 第 9 页（共 20 页） 26144261 61 4300000 秒 故选：C 11 （5 分）已知函数 | | ( )sin x f xex，( )fx是( )f x的导函数，有下述四个结论： ( )f x是奇函数( )f x在( 10 ,10 )内有 21 个极值点 ( )fx在区间(0,) 4 上为增函数( )f xax在区间0, 4 上恒成立的充要条件是1a 其中所有正确结论的编
21、号是( ) A B C D 【解答】解：函数 | | ( )sin x f xex，( )fx是( )f x的导函数， 对于选项：由于( )()f xfx，所以( )f x是奇函数故正确 对于选项：根据函数的图象，由于 | | 0 x e ，所以( )f x在( 10 ,10 )内有 19 个极值点，故 错误 对于选项：由于 | | | ( )(sincos )2sin() 4 xx fxexxex ，所以( )fx在区间(0,) 4 上为 增函数，故正确 对于选项：( )f xax在区间0, 4 上恒成立，由于0x， 所以：( )sin x f xex，则：( )f xax，即sin x e
22、x ax，整理得 sin x ex a x ， 设 sin ( ) x ex g x x ， 所以 2 (sinsincos ) ( ) x ex xxx g x x ， 由于0, 4 x 上( )0g x，所以函数( )g x为增函数， 故( )(0)1 min g xg，所以1a，故正确 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线 的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AFFB，| 3|CFFB， 则双曲线的离心率是( ) A 17 3 B 3 2 C 5 3 D 10 2 【解答】 解： 记双
23、曲线的左、 右焦点分别为 F 、F， 设双曲线的实半轴长为a， 半焦距为c 连 第 10 页（共 20 页） 接 AF 、 BF 、 CF AFFB，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF是矩形， 2 F BF 设|FBx，则| 3CFx，| 2BFax ，| 23CFax 在Rt CBF中， 222 |BFBCCF，即 222 (2)16(23 )axxax可得xa， 从 而|23B Faxa ，|FBa， 在R tB F F中 ， 222 |B FF BF F， 即 222 ( 3)( 2)aac， 22 104ac，即有 10 2 c e a 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共
24、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知zC，i是虚数单位，12 1 z i i ，则z 3i 【解答】解：由12 1 z i i ，得(12 )(1)3ziii 故答案为：3i 14 （5 分）某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x（单位：百 万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x 0 1 2 3 4 y 15 30 35 40 50 由表中的数据得线性回归方程为8yxa投入的广告费6x 时，销售额的预报值为 66 百万元 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：计算平均数为 1 (01234)2 5 x ，
25、1 (1530354050)34 5 y 代入回归方程中，得3482a， 解得18a ， 所以线性回归方程为818yx， 预测当广告费为 6 时，8 6 1866y （百万元） 故答案为：66 15 （5 分）一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为 1 的球， 则该直三棱柱的体积最小值为 64 2 【解答】解：体积最小时，半径为 1 的球与各面都相切， 此时直三棱柱的高为 2，底面内切圆半径为 1， 根据对称性可得当底面为等腰直角三角形时，底面面积最小， 设直角边长为a，由 2 11 (2 ) 1 22 aaaa ， 解得22a ， 2 1 32 2 2 Sa， 该直三棱
26、柱的体积最小值为2 (32 2)64 2V 故答案为：64 2 16 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于 D点2AD ，3a ，sincos(2)cossincACbcAC， 则A 3 ，ABC的面积为 【解答】解： （1）sincos(2)cossincACbcAC； 由正弦定理得：sinsincos(2sinsin)cossinCACBCAC 又因为A，B，C为三角形内角； 所以：sin0C ，sin0B ， 可得sincos2sincossincosACBACA sin2sincosBBA 1 cos 2 A 3 A ； 第 12 页（共 2
27、0 页） （2）由正弦定理可知： 3 2 3 sinsinsin3 2 cba CBA ， 2 3sin ,2 3sincC bB， 1 sinsinsin BDAD BD BADBB ， 同理 1 sin CD C ， 11 3sinsin3sinsin sinsin BCBDCDBCBC BC ， sinsin()3sinsin() 33 BBBB ， 化简可得： 2 3 3sin ()sin()0 664 BB ， 3 sin() 62 B 或 1 sin() 62 3 B （舍)， , 26 BC ，或, 26 CB ， 2 3b，3c 或2 3c ，3b ； 13 3 22 ABC
28、Sac 或 13 3 22 ABC Sbc 即 3 3 2 ABC S 故答案为： 3 ， 3 3 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）等比数列 n a中， 1 2a 且 2， 2 1a ， 3 a，成等差数列 （1）求 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 123 2b n a
29、 a aa，求数列 1 n b 的前n项和 【解答】解： （1）设数列 n a的公比为(0)q q ， 因为 2， 2 1a ， 3 a成等差数列，所以 23 2(1)2aa，即 2 11 2(1)2aqaq， 第 13 页（共 20 页） 所以 2 20qq，解得2q 或0q （舍去） ， 所以数列 n a的通项公式 * 2 () n n anN （2）因为 (1) 123 2 123 2 2 2222 n nn bn n a a aa ， 所以 (1) 2 n n n b ，从而 1211 2() (1)1 n bn nnn ， 所以 111111112 2(1)()()()2(1) 22
30、334111 n n S nnnn 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2,BCABPBC是等边 三角形，PAD是直角三角形，O为AD中点 （1）求证：BCOP； （2）求二面角APBC的余弦值 【解答】解：法一（1）取BC的中点M，连接OM，PM， 在等边三角形PBC中，BCPM， 在矩形ABCD中，/ /OMAB，则OMBC， PMOMM，BC平面POM， OP 平面POM，BCOP （2）设2AB ，则2,3BCPM， POAD且点O为AD的中点， （三线合一） PAD为等腰直角三角形且1PO 222 POOMPM，POOM OA、OM、OP两两垂直 以O为
31、原点，OA为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,1), (1,0,0), (1, 2,0), ( 1, 2,0)PABC ，(0, 2,0),( 1,2,1),( 2,0,0)ABBPBC ， 第 14 页（共 20 页） 设平面PAB的一个法向量为的 111 (,)nx y z，由 0 0 AB n BP n 得 1 111 20, 20, y xyz 令 1 1x 得(1,0,1)n （注：也可证明PD为平面PAB的一个法向量） 设平面PBC的一个法向量为 222 (,)mxyz，由 0 0 BP m BC m 得 222 2 20, 20, xyz x 令 2
32、 1y 得(0,1, 2)m 2222 23 cos, 3 111( 2) n m 由图知，二面角APBC为钝角，则二面角APBC的余弦值为 3 3 法二： （1）同法一 （2）设2AB ，则2ADBC， POAD且点O为AD的中点， （三线合一） PAD为等腰直角三角形，2PA， PAB为等腰三角形， 取PB的中点N，连接AN，ANPB， 22 1ANAPPN 在等边三角形PBC中，连接CN，则CNPB，3CN 则ANC为二面角APBC的平面角 连接AC，在ANC中，由余弦定理， 222 1363 cos 232 13 ANNCAC ANC AN NC 则二面角APBC的余弦值为 3 3 第
33、 15 页（共 20 页） 19 （12 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点， 3OA OB （1）求抛物线的方程； （2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点C在y轴上时，求ABC的面积 【解答】解： （1）依題意，设直线l方程为1xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联立 2 2ypx，得： 2 220ypmyp 由韦达定理： 12 2yypm， 12 2y yp ，又 22 12 12 1 22 yy x x pp ， 121212 1123OA OBx xy yy yp ， 所以2p 故抛物线方程为 2 4
34、yx （2）设线段AB中点为( M M x，) M y，(0,) C Cy由（1）知 2 2 ,21 MM ym xm 法一： 2 12 |2244 M ABxxpxm， 222 |1 () |1(21) MC CMmxxmm 依题意：| 2|ABCM，即 222 4(1)2 1(21)mmm 整理得 2 3 2 m 所以 22 111 | |(2 34)74 3 244 ABC SABCMAB 法二：直线CM方程为： 2 2(21)ymm xm，即 3 23ymxmm 令0x ，则 3 23 C ymm 依题意 2 1212121212 ()()()0 CCCC CA CBx xyyyyx
35、xy yyyyy 代入，整理得 642 44330mmm， 第 16 页（共 20 页） 即 42 (43)(1)0mm所以 2 3 2 m 又 2 12 |2244 M ABxxpxm， 22 111 | |(2 34)74 3 244 ABC SABCMAB 法三：因为直线l与x垂直时，不满足题意 故可设直线:(1)(0)l yk xk， 12 ()A x y， 22 ()B x y 线段AB中点为( M M x，) M y，(0,) C Cy 联立 2 4yx得： 2222 (24)0k xkxk， 由韦达定理： 2 1212 2 24 ,1 k xxx x k 故 1212 4 ,4y
36、yy y k ，所以 2 2 2 2 (, ) k M kk ， 线段AB的垂直平分线为 2 212 (1)yx kkk ，可得 3 32 (0,)C kk 依题意 2 1212121212 ()()()0 CCCC CA CBx xyyyyx xy yyyyy 整理得： 2 430 CC kyyk， 代入 3 32 C y kk ，整理得 42 (34)(1)0kk解得 2 2 3 3 k 又 12 2 4 |4ABxxp k 所以 22 111 | |(2 34)74 3 244 ABC SABCMAB 20 （12 分）习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战
37、 略，形成了“一村一品一业”的新格局同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦 门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等 因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影 响根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X（单位：吨）的分布列如下： 第 17 页（共 20 页） X 10 12 P 0.5 0.5 紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元/吨）的分布列如下： Y 0.5 0.6 P 0.8 0.2 （1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚 1 亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚 今年总产量不低于 34
38、吨的概率； （2）紫长茄今年每亩种植成本约 1.5 万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单 位：万元） ，求Z的分布列和数学期望 【解答】解： （1）设事件A表示一个大棚亩产量为 12 吨，事件A发生的次数为， 因为每个大棚产量相互独立，所以(3,0.5)B； 这三个大棚总产量不低于 34 吨的概率为： 2233 33 (2)(3)0 5(1 0.5)0 50.5PPPCC； （2）设事件B表示亩产量为 10 吨，事件C表示市场价格为 0.5 万元/吨， 则P（B）0.5，P（C）0.8， 每亩利润Z的所有可能取值为： 100.51.53.5， 100.61.5120.51.54.5，
39、 120.61.55.7； 计算(3.5)P ZP（B）P（C）0.50.80.4， (4.5)( ) ( )( ) ( )0.5 0.20.5 0.80.5P ZP B P CP B P C， (5.7)( ) ( )0.5 0.20.1P ZP B P C， 所以Z的分布列为： Z 3.5 4.5 5.7 P 0.4 0.5 0.1 利润Z的数学期望为( )3.5 0.44.5 0.55.70.14.22E Z （万元） 21 （12 分）函数( )log(0,1) a f xxx aa （1）当3a 时，求方程( )1f x 的根的个数； 第 18 页（共 20 页） （2）若( ) e
40、 f x a 恒成立，求a的取值范围注：2.71828e 为自然对数的底数 【 解答】 解： （1 ）当3a 时 ，构造 函数 3 ( )log1g xxx，(0)x ， 求导 得： 1 1 3 ( )1 3 x ln g x xlnx ， 当 1 (0,) 3 x ln 时，( )0g x，( )g x在 1 (0,) 3ln 上单调递减； 当 1 (,) 3 x ln 时，( )0g x，( )g x在 1 (,) 3ln 上单调递增； g（1）0， 111 ( )0, ()(1)0 333 ggg ln ， 0 11 (, ) 3 3 x ln ，使 0 ()0g x，即( )g x存在
41、两个零点 0 x，1， 方程( )1f x 存在两个根； （2）由( ) e f x a 对于0x 恒成立，(1)1 e fa e a 厖； logayx在点(1,0)处的切线为 1 (1)yx lna ，由图象 可知 1 (1) logaxx lna ， 又由a e可知 1 01 lna ，构造函数( )() lnx xx e x ， 2 1 ( )0 lnx x x 恒成立，所以 ( ) lnx x x 在xe，)上单调递减； 1 ( )( )ae e 即 1e lnaa ， 所以在y轴的右侧，直线 e yx a 在直线 1 (1)yx lna 的上方，即有 1 (1) e xx alna
42、 ， 1 (1)loga e xxx alna 厖， 综上所述，loglog aa ee xxxx aa 厖， 所以a e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第 19 页（共 20 页） 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 1 ( 2 1 m x m m m y m 为参数） 以坐标原 点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标
43、方程为2sin （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2） 过点( 1,0)P 作倾斜角为的直线l交 2 C于A，B两点， 过O作与 1 l平行的直线 2 l交 1 C 于Q点，若| 4|PAPBOQ，求 【解答】解： （1）： 1 1 ( 2 1 m x m m m y m 为参数） ， 1212 1 111 mmmm xy mmm ， 又 1(1)22 11 111 mm x mmm ， 曲线 1 C的普通方程为10(1)xyx ； 2sin， 2 2 sin，又cosx，siny， 22 2xyy，即 22 (1)1xy， 曲线 2 C的直角方程为 22 (1)1xy； （2）由题意，设 1 1cos :( sin xt lt yt
