1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上） 1 （5 分） 2020 (i ) A1 B1 Ci Di 2 （5 分）设i为虚数单位，复数(1)(2)ii的实部为( ) A3 B3 C2 D2 3 （5 分）若向
2、量(ax，3)()xR，则“4x ”是“| 5a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是( ) A 1 2 yx B2 x y C 1 2 logyx D 1 y x 5 （5 分）已知cos()2cos() 2 ，且 1 tan() 3 ，则tan的值为( ) A7 B7 C1 D1 6 （5 分）将函数( )sin(2)(0)f xx的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 ( )sin(2) 6 g xx 的图象，则函数( )f x的一个单调减区间为( ) A 5 , 12 12 B
3、5 , 66 C 5 , 36 D 2 , 63 7 （5 分）如图，在平行四边形ABCD中， 11 , 33 AEAB CFCD G为EF的中点，则(DG ) A 11 22 ABAD B 11 22 ADAB C 11 33 ABAD D 11 33 ADAB 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为( ) 第 2 页（共 22 页） A3 B 1 3 C 1 2 D2 9 （5 分）公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形 为方如图，以O为圆心的大圆直径为 4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分 之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域
4、的面积与AOB的面积相等现在在两个圆所覆盖 的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是( ) A 3 84 B 6 84 C 3 42 D 6 42 10 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA 为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则 | | FMFN FA 的值为( ) A 22 a ab B 22 a ab C 22 2 a ab D 22 2 a ab 11 （5 分）已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f（a）f（b）()ab，则ab的最小 值为( )
5、第 3 页（共 22 页） A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为 B交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间已知O为原点， 且 5 | 3 OAa，则 | ( | FA FC ) A 5 4 B 4 3 C 3 2 D 5 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡横线上将答案填在答题卡横线上 13 （5 分）数列 n a满足 1 1a ，前n项和为 n S，且2(2,*) n
6、n Sa nnN，则 n a的通项公 式 n a 14 （5 分）我们称一个数列是“有趣数列” ，当且仅当该数列满足以下两个条件： 所有的奇数项满足 2121nn aa ，所有的偶数项满足 222nn aa ； 任意相邻的两项 21n a ， 2n a满足 212nn aa 根据上面的信息完成下面的问题： ( ) i数列 1，2，3，4，5，6 “有趣数列” （填“是”或者“不是” )； ( )ii若 2 ( 1)n n an n ，则数列 n a “有趣数列” （填“是”或者“不是” ) 15 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物 线C于A，B
7、两点，若| 4AF ，则AOB的面积为 16 （5 分）如图，已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，O为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若60PAQ，且3OQOP， 则双曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 70 分分 17 （12 分）在
8、ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知 2(sincoscossin)sinsinACACAC （1）求证：a、b、c成等差数列； （2）若7c ， 2 3 C ，求b和sin2B的值 18 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 第 4 页（共 22 页） 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到 跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第n站的概率为 n P （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望； （2）证明： 11 1 ()(29
9、8) 2 nnnn PPPPn 剟；并求 99 P， 100 P的值 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 底面ABC，底面ABC是正三角 形， 1 3ABAA， 111 11 , 33 AEAB C FAC （1）求证： 1 / /AE平面BCF； （2）求直线 1 AA与平面BCF所成角的正弦值 20 （12 分）近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10 C的天气现象出现增多陡 然降温幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病为了解伤风感冒疾病是否与性别有关， 在某妇幼保健院随机对人院的 100 名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部 100 名
10、幼儿中随机抽取 1 人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 2 5 （1）请将下面的列联表补充完整； 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 25 女 20 合计 100 （2）能否在犯错误的概率不超过 0.1 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的 理由； （3）已知在患伤风感冒疾病的 20 名女性幼儿中，有 2 名又患黄痘病现在从患伤风感冒疾 病的 20 名女性中，选出 2 名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X 第 5 页（共 22 页） 的分布列以及数学期望下面的临界值表供参考： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0
11、.005 0.001 0 k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 21 （12 分）已知函数( )cossin x f xexxx，( )sin2 x g xxe，其中e是自然对数的底 数 （1） 12 ,0,0, 22 xx ， 使得不等式 12 ()()f xmg x成立， 试求实数m的取值范围； （2）若1x ，求证：( )( )0f xg x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题
12、作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ，以原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程(为常数）和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与C交于A、B两点，且| | 40MAMB ，求倾斜角的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |1|1|f xxx （）解不等式( ) 2
13、f x ； （）设函数( )f x的最小值为m，若a，b均为正数，且 14 m ab ，求ab的最小值 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上） 1 （5 分） 2020 (
14、i ) A1 B1 Ci Di 【解答】解： 20204 5054 505 ( )1iii 故选：A 2 （5 分）设i为虚数单位，复数(1)(2)ii的实部为( ) A3 B3 C2 D2 【解答】解： 2 (1)(2)223iiiiii ， 故选：A 3 （5 分）若向量(ax，3)()xR，则“4x ”是“| 5a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：由4x 得(4,3)a ，所以| 5a 成立 反之，由| 5a 可得4x 所以4x 不一定成立 故选：A 4 （5 分）下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是( ) A 1
15、2 yx B2 x y C 1 2 logyx D 1 y x 【解答】解： 1 2 yx在(0,)上单调递增， 1 2 2 , x yylog x 和 1 y x 在(0,)上都是减函 数 故选：A 5 （5 分）已知cos()2cos() 2 ，且 1 tan() 3 ，则tan的值为( ) A7 B7 C1 D1 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：已知cos()2cos() 2 ，即sin2cos ，即tan2 又 tantan2tan1 tan() 1tantan12tan3 ，则tan7， 故选：B 6 （5 分）将函数( )sin(2)(0)f xx的图象向右平移 4 个单位
16、长度后得到函数 ( )sin(2) 6 g xx 的图象，则函数( )f x的一个单调减区间为( ) A 5 , 12 12 B 5 , 66 C 5 , 36 D 2 , 63 【解答】解：函数( )sin(2)(0)f xx的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 ( )sin(2) 6 g xx 的图象， 即：把函数( )sin(2) 6 g xx 的图象，向左平移 4 个单位，即得到( )f x的图象， 故：( )sin(2)sin(2) 266 g xxx ， 令： 3 222() 262 kxkkZ 剟， 解得： 2 2() 33 kx kkZ 剟， 当0k 时， 2 33 x 剟
17、， 由于： 52 , 12 1233 ， 故选：A 7 （5 分）如图，在平行四边形ABCD中， 11 , 33 AEAB CFCD G为EF的中点，则(DG ) A 11 22 ABAD B 11 22 ADAB C 11 33 ABAD D 11 33 ADAB 【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中， 11 , 33 AEAB CFCD G为EF的中点， 212121221111 ()()() 323232332322 DGDFFGDCFEABFDDEABABAEADABABADABAD ， 第 8 页（共 22 页） 故选：A 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为(
18、) A3 B 1 3 C 1 2 D2 【解答】解：当1i 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，3a ，2i ； 当2i 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， 1 2 a ，3i ； 当3i 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， 1 3 a ，4i ； 当4i 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，2a ，5i ； 当5i 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，3a ，6i ； a的值是以 4 为周期的循环， 由20204505， 故当2021i 时，满足退出循环的条件，故输出的a值为 2， 故选：D 9 （5 分）公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有
19、关的化月牙形 为方如图，以O为圆心的大圆直径为 4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分 之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与AOB的面积相等现在在两个圆所覆盖 的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是( ) 第 9 页（共 22 页） A 3 84 B 6 84 C 3 42 D 6 42 【解答】解：上方阴影 部分的面积等于AOB的面积 1 222 2 AOB S ， 下方阴影部分面积等于 2 11 2(22)1 4222 ， 所以根据几何概型，得所求概率 21 6 2 4284 P ， 故选：B 10 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左
20、焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA 为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则 | | FMFN FA 的值为( ) A 22 a ab B 22 a ab C 22 2 a ab D 22 2 a ab 【解答】解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点， 则M、N重合（设为)M，此时A为椭圆的右焦点，则 22 |2|2 |2 FMFNFMaa FAFAc ab 故选：A 11 （5 分）已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f（a）f（b）()ab，则ab的最小 值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D
21、 5 3 【解答】解：画出函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 的图象，如图所示； 由f（a）f（b） ，且ab， 第 10 页（共 22 页） 设 1 2 2log2bak，则24k ； 所以 2 1 ( ) 2 k a ， 2 logbk； 当4k 时， 2 2 111 ( ) log 42 242 ab ； 考虑 223 22 1111 ( )log( )(log2) 2222 kkk abkk ， 在同一坐标系中画出函数 2 logyx和 3 2xy 的图象，其中(2x，4，如图所示； 则函数 2 logyx的图象总在 3 2xy 的图象上方
22、， 所以 1 0 2 ab ，即ab的最小值为 1 2 故选：B 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为 B交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间已知O为原点， 且 5 | 3 OAa，则 | ( | FA FC ) A 5 4 B 4 3 C 3 2 D 5 2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点( ,0)F c， 第 11 页（共 22 页） 渐近线OB的方程为 b yx a ，渐近线OA的方程为 b yx a ， 可得 22 | | bc BFb ba
23、 ， 22 |OBcba， 22 54 |() 33 aa ABa， 可得 2 2 |4 tan |3 1 bb AB aa AOB bOB a ， 解得2ba或 1 2 ba （舍去） ， 可得 410 |2 33 aa AFa，由 2 | |OBCBBF， 可得 2 1 | 2 a CBa b ，则 15 | 22 a CFba， 则 |4 |3 FA FC 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡横线上将答案填在答题卡横线上 13 （5 分）数列 n a满足 1 1a ，前n项和为 n S，且2(2,*)
24、 nn Sa nnN，则 n a的通项公 式 n a 2 1,1 2,2 n n n 【解答】解：当2n时，2 nn sa， 令2n ，则 21222 12saaaa ，故 2 1a ， 令3n，则 11 2 nn sa ， 得： 1 22 nnn aaa ， 即 1 2 nn aa ， 第 12 页（共 22 页） 即从第二项开始，数列 n a成以 1 为首项以 2 为公比的等比数列， 故 2 1,1 2,2 nn n a n ， 故答案为： 2 1,1 2,2 n n n 14 （5 分）我们称一个数列是“有趣数列” ，当且仅当该数列满足以下两个条件： 所有的奇数项满足 2121nn aa
25、 ，所有的偶数项满足 222nn aa ； 任意相邻的两项 21n a ， 2n a满足 212nn aa 根据上面的信息完成下面的问题： ( ) i数列 1，2，3，4，5，6 是 “有趣数列” （填“是”或者“不是” )； ( )ii若 2 ( 1)n n an n ，则数列 n a “有趣数列” （填“是”或者“不是” ) 【解答】解：数列 1，2，3，4，5，6 显然满足上述条件，时“有趣数列” ， 对于 2 ( 1)n n an n ， 当21nk，kN时， 21 2 21 21 k ak k ，显然是关于k递增的数列； 当2nk，kN时， 2 21 22 2 k akk kk ，
26、当1k时， 根据对勾函数的性质， 也是递增的； 故也是“有趣数列” ， 故答案为：是；是 15 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，则F的坐标为 (1,0) ；过点F的直线交 抛物线C于A，B两点，若| 4AF ，则AOB的面积为 【解答】解：由抛物线 2 :4C yx，得24p ，2p ， (1,0)F； 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 1 |14AFx ，得 1 3x ， 1 2 3y ， 由抛物线的性质得： 12 4y y ， 2 1 442 3 32 3 y y 第 13 页（共 22 页） 12 14 3 | | 23 AOB SOFyy
27、 故答案为：(1,0)； 4 3 3 16 （5 分）如图，已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，O为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若60PAQ，且3OQOP， 则双曲线的离心率为 7 2 【解答】解：因为60PAQ且3OQOP， 所以QAP为等边三角形， 设2AQR，则OPR， 渐近线方程为 b yx a ，( ,0)A a，取PQ的中点M，则 22 |ab AM ab 由勾股定理可得 222 22 | (2 )() ab RR ab ， 所以 2222 ()3()abR ab 在OQA中， 222 (3 )(2 )1 2
28、322 RRa RR ，所以 22 7Ra 结合 222 cab，可得 7 2 c e a 故答案为： 7 2 第 14 页（共 22 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 70 分分 17 （12 分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知 2(sincoscossin)sinsinACACAC
29、（1）求证：a、b、c成等差数列； （2）若7c ， 2 3 C ，求b和sin2B的值 【解答】解： （1）因为2(sincoscossin)sinsinACACAC， 所以2sin()sinsinACAC， 由于在ABC中，ACB， 所以sin()sinACB， 所以2sinsinsinBAC， 由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得2bac 所以a，b，c成等差数列 （2）在ABC中， 2 7, 3 cC ， 由余弦定理，得 222 2 72cos 3 abab ， 即 22 49abab， 由（1）知27ab， 所以 22 (27)(27)49bbbb， 解得5b ， 由
30、正弦定理，得 2 sin 5 3 3 sin 14 b B c 在ABC中，因为于 2 3 C ， 所以(0,) 2 B ， 所以 22 5 311 cos1sin1() 1414 BB， 所以 55 3 sin22sincos 98 BBB 第 15 页（共 22 页） 18 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到 跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第n站的概率为 n P （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和X的分布列与
31、数学期望； （2）证明： 11 1 ()(298) 2 nnnn PPPPn 剟；并求 99 P， 100 P的值 【解答】解： （1）由题意得X的可能取值为 3，4，5，6， 3 11 (3)( ) 28 P X ， 13 3 13 (4)( ) 28 P XC， 23 3 13 (5)( ) 28 P XC， 3 11 (6)( ) 28 P X ， 手所走站数之和X的分布列如下： X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 13319 ()3456 88882 E X （2）由题意知棋子先跳到第2n 站，再掷出反面，其概率为 2 1 2 n P， 棋子先跳到第1n站，再掷出正
32、面，其概率为 1 1 2 n P ， 因此有 12 1 () 2 nnn PPP ，即 112 1 () 2 nnnn PPPP ， 也即 11 1 () 2 nnnn PPPP ，(298)n剟 故数列 1 (1) nn PPn 是首项为 10 11 1 22 PP ，公比为 1 2 的等比数列 因此有 1 110 1( 1) ()() 22 n n nn n PPPP ， 由此得到 9998 99 100 11121 ()()()1(1) 22232 P ， 又 99 99100 1 () 2 PP ， 98 99 21 (1) 32 P ， 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有
33、10098 99 111 (1) 232 PP 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 AA 底面ABC，底面ABC是正三角 第 16 页（共 22 页） 形， 1 3ABAA， 111 11 , 33 AEAB C FAC （1）求证： 1 / /AE平面BCF； （2）求直线 1 AA与平面BCF所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：在线段BC上取一点G使 1 3 CGBC连结EGFG 在ABC中因为 11 , 33 AEAB CGBC 所以 22 , 33 BEAB BGBC 所以 2 3 BEBG ABBC 所以，/ /EGAC且 2 3 EGAC 因为
34、 11111 1 ,/ / 3 C FAC ACAC 所以 1111 22 / / 33 AFACACAFAC且 所以 1 / /EGA F且 1 EGAF 故四边形 1 AFGE为平行四边形，所以 1 / /AEFG 又 1 A E 平面BCF，FG 平面BCF 所以 1 / /AE平面BCF （2）以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为底面ABC是正三角形， 1 3ABAA 111 11 33 AEAB C FAC 所以点 3 5 (0.0.0)(0.3.0)(,3) 22 BCF 第 17 页（共 22 页） 则 3 5 (0.
35、3.0).(,3) 22 BCBF 设平面BCF的法向量为(nx，y，) z 由 ( , , ) (0,3,0)0 3 535 ( , , ) (,3)30 2222 n BCx y z n BFx y zxyz 令3z 得平面BCF的一个法向量为(6.03)n 又 1 (0,0,3)AA 设直线 1 AA与平面BCF所成角的大小为 则 (0,0,3) (6,0,3)13 sin| | 13|339 AA n AA n 所以直线 1 AA与平面BCF所成角的正弦值为 13 13 20 （12 分）近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10 C的天气现象出现增多陡 然降温幅度大于10 C容易引
36、起幼儿伤风感冒疾病为了解伤风感冒疾病是否与性别有关， 第 18 页（共 22 页） 在某妇幼保健院随机对人院的 100 名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部 100 名幼儿中随机抽取 1 人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 2 5 （1）请将下面的列联表补充完整； 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 25 女 20 合计 100 （2）能否在犯错误的概率不超过 0.1 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的 理由； （3）已知在患伤风感冒疾病的 20 名女性幼儿中，有 2 名又患黄痘病现在从患伤风感冒疾 病的 20 名女性中，选出 2 名进行其他方面的排查，记选出患黄
37、痘病的女性人数为X，求X 的分布列以及数学期望下面的临界值表供参考： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 【解答】解： （1）列联表补充如下； 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 20 25 45 女 20 35 55 合计 40 60 100 （2）计算 2 K的观测值为 22 2 ()100(20352025) 0.6734
38、2.706 ()()()()406045 55 n adbc K ab cd ac bd 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美 （3）根据题意，X的值可能为 0，1，2 则 12 1512 22 2020 15318 (0), (1) 19095 CC P XP X CC ， 2 2 2 20 1 (2) 190 C P X C ， 故X的分布列如下： 第 19 页（共 22 页） X 0 1 2 P 153 190 18 95 1 190 故X的数学期望： 1531811 ()012 190951905 E X 21 （12 分）已知函数( )cossi
39、n x f xexxx，( )sin2 x g xxe，其中e是自然对数的底 数 （1） 12 ,0,0, 22 xx ， 使得不等式 12 ()()f xmg x成立， 试求实数m的取值范围； （2）若1x ，求证：( )( )0f xg x 【解答】解： （1）由题意， 12 ,0,0, 22 xx ，使得不等式 12 ()()f xmg x成立，等 价于 12 ()() maxmax f xmg x （1 分） ( )(cossin )(sincos )()cos(1)sin xxx f xexxxxxaxxax， 当 2 x ，0时，( )0fx，故( )f x在区间0， 2 上单调递
40、增， 所以0x 时，( )f x取得最大值 1即( )1 max f x （3 分） 又当0x， 2 时，( )cos2 x g xxe，( )sin20 x gxxe， 所以( )g x在0， 2 上单调递减，所以( )(0)120g xg ， 故( )g x在区间0， 2 上单调递减，因此，0x 时，( )(0)2 max g xg 所以12m，则21m 实数m的取值范围是 21，) （6 分） （2）当1x 时，要证( )( )0f xg x成立，只要证cossinsin20 xx exxxxe， 即证(cos2)(1)sin x exxx，由于cos20x ，10x ， 只要证 sin
41、 1cos2 x ex xx （7 分） 下面证明当1x 时，不等式即 sin 1cos2 x ex xx 成立 令( )(1) 1 x e h xx x ，则 22 (1) ( ) (1)(1) xxx xeexe h x xx ， 当( 1,0)x 时，( )0h x，( )h x单调递减； 当(0,)x时，( )0h x，( )h x单调递增 第 20 页（共 22 页） 所以当且仅当0x 时，( )h x取最小值为 1 （9 分） 法一： sin cos2 x k x ， 则c o s2s i nkxkx， 即s i nc o s2x kxk， 即 2 2 s i n () 1 k x
42、 k ， 由三角函数的有界性， 2 2 1 1 k k ，即11k 剟，所以1 max k，而( )(0)1 min h xh， 但当0x 时，01(0)kh ；0x 时，( )1h xk ， 所以， sin ()() 1cos2 x minmax ex xx ，即 sin 1cos2 x ex xx 综上所述，当1x 时，( )( )0f xg x成立 （12 分） 法二：令 sin ( ) cos2 x x x ，其可看作点(cos ,sin )Axx与点(2B ，0)连线的斜率k， 所以直线AB的方程为：(2)yk x， 由于点A当直线AB与圆 22 1xy相切且切点在第二象限时， 直线
43、AB取得斜率k的最大值为 1而当0x 时，(0)01(0)h ； 0x 时，( )1h xk ，所以，( )( ) minmax h xx，即 sin 1cos2 x ex xx ， 综上所述，当1x 时，( )( )0f xg x成立 （12 分） 法三：令 sin ( ) cos2 x x x ，则 2 12cos ( ) (cos2) x x x ， 当 3 2() 4 xkkN 时，( )x取得最大值 1，而( )(0)1 min h xh， 但当0x 时，(0)01(0)h ；0x 时，( )1h xk 所以，( )( ) minmax h xx，即 sin 1cos2 x ex xx ， 综上所述，当1x 时，( )( )0f xg x成立 （12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
