2019-2020学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）已知集合 |1Ax x， 1B ，0，1，4，则AB 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数(1)(2)zbii的虚部为 3，则实数b的值为 3 （5 分）从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一

2、 女的概率为 4 （5 分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内 通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图） ，已知在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，则在8，9)之间通过的车辆数是 5 （ 5 分 ） 如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 若 输 入 的x值 为 5 ， 则 输 出 的y值 为 第 2 页（共 20 页） 6 （5 分）已知等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 12 aa”是“ 35 aa”的 条件 （填“充 分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要”或“既不充分又不必要” ) 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已

3、知点 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点，点P的坐标为(0, )b，若 12 120FPF，则该双曲线的离心率为 8 （5 分）若x，y满足约束条件 0 0 1 0 x xy xy ，则3zxy的最大值为 9 （5 分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半 径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ，弧长为4 cm的扇 形，则该冰淇淋的体积是 3 cm 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若直线20()xmymmR上存在点P，使得 过点P向圆 22 :2O xy作切线PA（切点为

4、)A，满足2POPA，则实数m的取值范围 为 11 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 : 2 l y 与函数( )sin()(0) 6 f xx 的 图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为 1 A， 2 A ，若点 1 A的横坐标为 1则点 2 A的横坐 标为 12 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中，已知3AD ，4BC ，E，F为AB，CD的 第 3 页（共 20 页） 中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则PQ EF的值为 13 （5 分）已知实数x，y满足 2 ()12x xyy ，则 22 54xy的最小值为 14 （5 分）已知函数 ,2 ( ) 48 ,2 5

5、 x ex x e f x x x x （其中e为自然对数的底数） ，若关于x的方程 22 ( )3 |( )| 20fxa f xa恰有 5 个相异的实根，则实数a的取值范围为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）已知向量 3 (sin , ) 4 ax，(cos , 1)bx （1）当/ /ab时，求tan2x的值； （2）设函数( )2()f xab b，且(0,) 2 x ，求( )f x

6、的最大值以及对应的x的值 16 （14 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，CACB，D，E分别是AB， 1 B C的中点 （1）求证：/ /DE平面 11 ACC A； （2）若DEAB，求证： 1 ABBC 17 （14 分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义 新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜已 第 4 页（共 20 页） 知扇形AOB中， 2 3 AOB，2 3OB （百米） ，荒地内规划修建两条直路AB，OC， 其中点C在AB上(C与A，B不重合） ，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴 影部

7、分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区设BDC，蜂巢区的面积为S（平方百 米） （1）求S关于的函数关系式； （2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值 18 （16 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为 点P的“上辅点” 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点 3 (1,) 2 的上辅点为(1, 3) （1）求椭圆E的方程； （2）若OPQ的面积等于 1 2 ，求上辅点Q的坐标； （3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆

8、E的位置关系，并证 明你的结论 19 （16 分）已知数列 n a满足 1 2 nn Snaa， 3 4a ，其中 n S是数列 n a的前n项和 （1）求 1 a和 2 a的值及数列 n a的通项公式； 第 5 页（共 20 页） （2）设 * 123 1111 () 2462 n n TnN SSSSn 若 23k TT T，求k的值； 求证：数列 n T中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 20 （16 分）已知函数( )() alnx f xaR x （1）求函数( )f x的单调区间； （2）当函数( )f x与函数( )g xlnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值

9、集合； （3）证明：当 1 (0, ) 2 a时，函数( )( )h xf xax有两个零点 1 x， 2 x，且满足 12 111 xxa 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）已知集合 |1Ax x， 1B ，0，1，4，则AB 1，

10、4 【解答】解： |1Ax x， 1B ，0，1，4， 1AB，4 故答案为：1，4 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数(1)(2)zbii的虚部为 3，则实数b的值为 1 【解答】解：(1)(2)(2)(21)zbiibbi的虚部为 3， 213b ，即1b 故答案为：1 3 （5 分）从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一 女的概率为 2 3 【解答】解：从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动， 基本事件总数 2 3 3nC， 选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 11 21 2mC C， 则选中的恰好是一男一女的概率为

11、 2 3 m p n 故答案为： 2 3 4 （5 分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内 通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图） ，已知在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，则在8，9)之间通过的车辆数是 100 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：由频率分布直方图得： 在5，7)之间通过的车辆的频率为0.240.200.44， 在8，9)之间通过的车辆的频率为 0.10， 设在8，9)之间通过的车辆数为n 在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆， 440 0.440.1 n ，解得100n 则在8，9)之间通过的车辆数为 100 故答案为

12、：100 5 （ 5 分 ） 如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 若 输 入 的x值 为 5 ， 则 输 出 的y值 为 2 【解答】解：输入5x ，不满足0x ，所以运行 2 log (51)2y ， 故答案为：2 第 8 页（共 20 页） 6 （5 分）已知等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 12 aa”是“ 35 aa”的 充分不必要 条 件 （填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要”或“既不充分又不必要” ) 【解答】解：在等比数列 n a中， 1 0a ，则由 12 aa，得 11 aa q，即1q ， 24 3115 aaqaqa； 反之，由 24 31

13、15 aaqaqa，得 2 1q ，即1q 或1q ，当1q 时， 112 aa qa 等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 12 aa”是“ 35 aa”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点，点P的坐标为(0, )b，若 12 120FPF，则该双曲线的离心率为 6 2 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知点 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 左、右焦点，点P的坐标为(0, )b， 由 12 120FPF， 可

14、得：3 c b ，即 2222 33()cbca， 即 22 23ca，所以双曲线的离心率为： 6 2 c e a 故答案为： 6 2 8 （5 分）若x，y满足约束条件 0 0 1 0 x xy xy ，则3zxy的最大值为 3 【解答】解：作出不等式组 0 0 1 0 x xy xy 对应的平面区域如图： 设3zxy得 11 33 yxz ， 平移直线 11 33 yxz ，由图象可知当直线 11 33 yxz 经过点(0,1)A时， 直线 11 33 yxz 的截距最大，此时z最大， 此时3z ， 第 9 页（共 20 页） 故答案为：3 9 （5 分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半

15、个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半 径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ，弧长为4 cm的扇 形，则该冰淇淋的体积是 1616 6 3 3 cm 【解答】解：圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ，弧长为4 cm的扇形， 圆锥底面半径为 4 2 2 r ，圆锥母线长 4 10 2 5 l ， 圆锥的高为 22 1024 6h， 半个冰淇淋小球的半径2R ， 该冰淇淋的体积是： 第 10 页（共 20 页） 23 1141616 6 24 62 3233 V 故答案为：16 16 6 3 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若直线20()xmymmR上

16、存在点P，使得 过点P向圆 22 :2O xy作切线PA（切点为)A，满足2POPA，则实数m的取值范围 为 |0m m或 4 3 m 【解答】解：根据题意，圆 22 :2O xy，其圆心为O，半径2r ， 若点P向圆 22 :2O xy作切线PA，满足2POPA，又由2OAr， 则有 222 |2POPAOA，变形可得2PO ， 若直线20()xmymmR上存在点P，满足题意，必有 2 |2| 2 1 m m ， 变形可得： 2 340mm， 解可得：0m或 4 3 m，即m的取值范围为|0m m或 4 3 m； 故答案为：|0m m或 4 3 m 11 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，

17、已知直线 1 : 2 l y 与函数( )sin()(0) 6 f xx 的 图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为 1 A， 2 A ，若点 1 A的横坐标为 1则点 2 A的横坐 标为 3 【解答】解：因为点 1 A的横坐标为 1，即当1x 时， 1 ( )sin() 62 f x ， 所以2 66 k 或 5 2() 66 kkZ ， 又直线 1 : 2 l y 与函数( )sin()(0) 6 f xx 的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为 1 A， 2 A ， 所以 5 66 ， 故 2 3 ， 所以：函数的关系式为 2 ( )sin() 36 f xx 第 11 页（共 20 页）

18、 当 2 3x 时，f（3） 21 sin(3) 362 ， 即点 2 A的横坐标为 3， 1 (3,) 2 为二函数的图象的第二个公共点 故答案为：3 12 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中，已知3AD ，4BC ，E，F为AB，CD的 中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则PQ EF的值为 7 4 【解答】解：如图，连接FP，FQ，EP，EQ， E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点， 四边形EPFQ为平行四边形， 1 () 2 PQEQEPADBC， 1 () 2 EFEPEQADBC，且3AD ，4BC ， 2217 () 44 PQ EFADBC 故答案为：

19、 7 4 13 （5 分）已知实数x，y满足 2 ()12x xyy ，则 22 54xy的最小值为 4 【解答】解：实数x，y满足 2 ()12x xyy ， 化为：(2 )()1xy xy， 令2xym，xyn，则1mn 第 12 页（共 20 页） 解得 2 3 mn x ， 3 mn y 则 22222222 22 21116116 545()4()(2816)(28)(228)4 33999 mnmn xymmnnmm mm ，当且仅当 2 1 2 m n ， 2 1 2 m n 时，即 1 1 2 x y ， 1 1 2 x y 时取等号 22 54xy的最小值为 4 故答案为：4

20、 14 （5 分）已知函数 ,2 ( ) 48 ,2 5 x ex x e f x x x x （其中e为自然对数的底数） ，若关于x的方程 22 ( )3 |( )| 20fxa f xa恰有 5 个相异的实根， 则实数a的取值范围为 12 2e ，4) 5 【解答】解：当2x时，令( )10 x e fx e ，解得1x ， 所以当1x时，( )0fx，则( )f x单调递增，当12x剟时，( )0fx，则( )f x单调递减， 当2x 时， 4848 ( ) 555 x f x xx 单调递减，且( )0f x ， 4) 5 作出函数( )f x的图象如图： （1）当0a 时，方程整理得

21、 2( ) 0fx ，只有 2 个根，不满足条件； （2） 若0a ， 则当( )0f x 时， 方程整理得 22 ( )3( )2 ( )2 ( )0fxaf xaf xaf xa， 则( )20f xa ，( )0f xa ，此时各有 1 解， 故当( )0f x 时，方程整理得 22 ( )3( )2 ( )2 ( )0fxaf xaf xaf xa， 第 13 页（共 20 页） ( )2f xa有 1 解同时( )f xa有 2 解，即需21a ， 1 2 a ，因为f（2） 2 221 2 e ee ，故 此时满足题意； 或( )2f xa有 2 解同时( )f xa有 1 解，则

22、需0a ，由（1）可知不成立； 或( )2f xa有 3 解同时( )f xa有 0 解，根据图象不存在此种情况， 或( )2f xa有 0 解同时( )f xa有 3 解，则 21 24 5 a a e ，解得 24 5 a e ， 故 2 a e ， 4) 5 （3）若0a ，显然当( )0f x 时，( )2f xa和( )f xa均无解， 当( )0f x 时，( )2f xa 和( )f xa 无解，不符合题意 综上：a的范围是 12 2e ， 4) 5 故答案为 12 2e ， 4) 5 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域

23、内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）已知向量 3 (sin , ) 4 ax，(cos , 1)bx （1）当/ /ab时，求tan2x的值； （2）设函数( )2()f xab b，且(0,) 2 x ，求( )f x的最大值以及对应的x的值 【解答】解： （1）/ /ab， 3 sincos0 4 xx， 3 tan 4 x ， 2 3 2tan24 2 tan2 9 17 1 16 x x tan x ； （2）( )2()f xab b 2 22a bb 2 3 2sin cos2

24、2 2 xxcos x 3 sin2cos2 2 xx 第 14 页（共 20 页） 3 2sin(2) 42 x ， (0,) 2 x ， 5 2(,) 444 x ， 2 42 x ，即 8 x 时，( )f x取得最大值 3 2 2 16 （14 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，CACB，D，E分别是AB， 1 B C的中点 （1）求证：/ /DE平面 11 ACC A； （2）若DEAB，求证： 1 ABBC 【解答】证明： （1）取AC、 1 CC的中点分别为M、N， D，M分别为AB，AC的中点， / /DMBC，且 1 2 DMBC， E、N分别为 1 CB， 1 C

25、C的中点， 11 / /ENBC，且 11 1 2 ENBC， 又 11 / /BCBC， 11 BCBC， / /DMEN，且DMEN， 四边形DENM为平行四边形， / /DEMN， 又DE不在平面 11 ACC A内，MN在平面 11 ACC A， / /DE平面 11 ACC A； （2）连接CD，由CACB，且D为AB的中点可知CDAB， 第 15 页（共 20 页） 又DEAB，CDDED，且CD、DE都在平面CDE内， AB平面CDE， 又 1 B C在平面CDE内， 1 ABBC 17 （14 分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义 新农村建设

26、，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜已 知扇形AOB中， 2 3 AOB，2 3OB （百米） ，荒地内规划修建两条直路AB，OC， 其中点C在AB上(C与A，B不重合） ，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴 影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区设BDC，蜂巢区的面积为S（平方百 米） （1）求S关于的函数关系式； （2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值 【解答】解： （1）2 3AOOB， 2 3 AOB ， 由余弦定理得： 22 2 (2 3)(2 3)22 32 3cos6 3 AB ， 在BDO中，由正弦定理得 sinsin

27、 BDBO BODBDO ， 第 16 页（共 20 页） 2 3 sin sin() 6 BD ， 2 3sin() 6 sin BD ， 2 3sin() 6 6 sin AD ， 蜂巢区的面积： AODCDBAODBDOCOB SSSSSS 扇形 2 11 6 sinsin 26226 AO ADAOBO BD ， 整理，得S关于的函数关系式为： 3 6 tan S ， 5 (,) 6 6 （2）对 3 6 tan S 求导，得 2 3 6S sin ， 令0S ，解得 4 或 3 4 ， 当(,) 6 4 时，0S，S递减， 当 3 (,) 44 时，0S ，S递增， 当 3 ( 4

28、， 5 ) 6 时，0S，S递减， 综上所述，S的最小值只可有在 4 或趋近 5 6 时取得， 当 4 时，3 2 S ，当 5 6 时，43 33 2 S ， 当为 4 时，蜂巢区的面积S最小，S的最小值为3 2 18 （16 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为 第 17 页（共 20 页） 点P的“上辅点” 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点 3 (1,) 2 的上辅点为(1, 3) （1）求椭圆E的方程； （2）若OPQ的面积等于 1 2 ，求

29、上辅点Q的坐标； （3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证 明你的结论 【解答】解： （1）椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点 3 (1,) 2 的上辅点为(1, 3)， 辅圆的半径为132R ，椭圆长半轴为2aR， 将点 3 (1,) 2 代入椭圆方程 22 2 1 4 xy b 中，解得1b ， 椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y； （2）设点 0 (Q x， 0) y，则点 0 (P x， 1) y，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得， 22 00 4xy， 2 20 1 1 4 x y， 故 22 01 4yy，即

30、 01 2yy， 又 001 11 () 22 OPQ Sxyy ，则 01 1x y ， 将 01 1x y 与 2 20 1 1 4 x y联立可解得 0 2x ，则 0 2y ， 点Q的坐标为( 2, 2)； （3）直线PT与椭圆E相切，证明如下： 设点 0 (Q x， 0) y，由（2）可知， 00 1 (,) 2 P xy， 与辅圆相切于点Q的直线方程为 0 00 0 () x yyxx y ，则点 0 4 (,0)T x ， 第 18 页（共 20 页） 直线PT的方程为： 0 0 0 0 1 4 2 0() 4 y yx x x x ，整理得 0 00 2 2 x y yy ，

31、将 0 00 2 2 x y yy 与椭圆 2 2 1 4 x y联立并整理可得， 2 200 222 000 21 0 xx xx yyy ， 由一元二次方程的判别式 22 00 44 00 44 0 xx yy ，可知，上述方程只有一个解，故直线PT与椭 圆E相切 19 （16 分）已知数列 n a满足 1 2 nn Snaa， 3 4a ，其中 n S是数列 n a的前n项和 （1）求 1 a和 2 a的值及数列 n a的通项公式； （2）设 * 123 1111 () 2462 n n TnN SSSSn 若 23k TT T，求k的值； 求证：数列 n T中的任意一项总可以表示成该数

32、列其他两项之积 【解答】解： （1）数列 n a满足 1 2 nn Snaa， 3 4a ，其中 n S是数列 n a的前n项和； 221121 222()0Saaaaa； 331123232 232()242Saaaaaaaa； 猜想2(1) n an； 当2(1) n an时； 左边 02(1) 222 (1) 2 n nn Sn n ； 右边 1 2(1)02 (1) n naannn n； 两边相等； 即猜想成立 2(1) n an；(1) n Sn n； （2） 1111 2(1)1 n Snn nnn ； 123 1111111111 11 2462223111 n n n T S

33、SSSnnnnn ； 第 19 页（共 20 页） 23k TTT； 231 1 1342 k k k 对于给定的 * nN，若存在k，tn，k， * tN，使得 nkt TT T； 1 n n T n ，只需 111 nkt nkt ， 两边取倒数，即 111 (1(1)(1) nkt ，即 1111 nktkt ； 即ktntnkn， (1)n k t kn ；取1kn，则(2)tn n； 1(2)nnn n TTT ； 对数列 n T中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积 20 （16 分）已知函数( )() alnx f xaR x （1）求函数( )f x的单调区间； （2）当

34、函数( )f x与函数( )g xlnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合； （3）证明：当 1 (0, ) 2 a时，函数( )( )h xf xax有两个零点 1 x， 2 x，且满足 12 111 xxa 【解答】解： （1）对( ) alnx f x x 求导，得 2 1 ( ) alnx fx x ， 令( )0fx，解得 1 a xe ， 当 1 (0,) a xe 时，( )0fx，( )f x单调递增 当 1 ( a xe ，)时，( )0fx，( )f x单调递减 （2）设公切线l与函数( )g xlnx的切点为 0 (x， 0) y，则公切线l的斜率 0 0

35、1 ()kg x x ， 公切线l的方程为： 00 0 1 ()yyxx x ，将原点坐标(0,0)代入，得 0 1y ，解得 0 xe 公切线l的方程为： 1 yx e ，将它与( ) alnx f x x 联立，整理得 2 1 axlnx e 令 2 1 ( )m xxlnx e ，对之求导得： 2 2 ( ) xe m x ex ，令( )0m x，解得 2 e 当(0,) 2 e x时，( )0m x，( )m x单调递减，值域为 2 (,) 2 ln ， 当(,) 2 e x时，( )0m x，( )m x单调递增，值域为 2 (,) 2 ln ， 由于直线l与函数( )f x相切，

36、即只有一个公共点，因此 第 20 页（共 20 页） 故实数a的取值集合为 2 2 ln （3）证明： 2 ( ) alnxax h x x ，要证( )h x有两个零点，只要证 2 ( )k xaxlnxa有两个零 点即可k（1）0， 即1x 时函数( )k x的一个零点 对( )k x求导得： 1 ( )2k xax x ，令( ) 0k x，解得 1 2 x a 当 1 2 x a 时，( )0k x，( )k x 单调递增； 当 1 0 2 x a 时，( )0k x，( )k x单调递减 当 1 2 x a 时，( )k x取最小值， 1 ()(1)0 2 kk a ， 2222 1

37、 ( )(1)1 2 k xaxlnxaaxxaaxxaaxx ，必定存 0 1 2 x a 在使得二 次函数 2 00 1 ( )0 2 u xaxx， 即 00 ()()0k xu x因此在区间上 0 1 (,) 2 x a 必定存在( )k x的一个零点 综上所述，( )h x有两个零点，一个是1x ，另一个在区间 1 (,) 2a 上 下面证明 12 111 xxa 由上面步骤知( )h x有两个零点，一个是1x ，另一个在区间 1 (,) 2a 上 不妨设 1 1x ， 2 1 2 x a 则 122 111 112a xxx ，下面证明 1 12a a 即可 令 1 ( )21v aa a ，对之求导得 2 11 ( )0 2 v a aa ， 故v（a）在定义域内单调递减， 11 ( )21( )0 2 v aav a ，即 1 12a a 证明完毕