1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷 一、填空题：一、填空题： 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， 2 |0Bx x，则AB 2 （5 分）若复数z满足1z ii ，则z的实部为 3 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的S的值是 4 （5 分）函数21 x y 的定义域为 5 （5 分）已知一组数据 17，18，19，20，21，则该组数据的方差是 6 （5 分）某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的
2、概率是 7 （5 分）已知函数 2 3 1 ,0, 1 ( ) ,0, x x f x xx 则(f f（8）) 8 （5 分）函数3sin(2),0, 3 yxx 取得最大值时自变量x的值为 9 （5 分）等比数列 n a中，若 1 1a ， 2 4a， 3 2a， 4 a成等差数列，则 17 a a 10 （5 分）已知 cos() 2 2 cos ，则tan2 第 2 页（共 20 页） 11 （5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A， 过A 做x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B，若2OBa，则C的离心率为 12 （5
3、分） 已知函数( ) |(2)|f xlg x， 互不相等的实数a，b满足f（a）f（b） ， 则4ab 的最小值为 13 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 222 :22210C xaxyaya 上存在点P到点 (0,1)的距离为 2，则实数a的取值范围是 14 （ 5 分 ） 在ABC中 ， 3 A ， 点D满 足 2 3 A DA C， 且 对 任 意xR， |xACABADAB恒成立，则cosABC 二、解答题：二、解答题： 15 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 1,cos 3 aB （1）若 3 A ，求sinC的值； （2）若2b ，求c
4、的值 16（14分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD， 四边形ABCD是矩形，APAD， 点M，N分别是线段PD，AC的中点求证： （1）/ /MN平面PBC； （2）PCAM 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分 别为 1 F， 2 F，椭圆右顶点为A，点 2 F在圆 22 (2)1xy上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知 第 3 页（共 20 页） 13 2 AMAN ，求直线 1 F M的斜率 18 （16 分）请你设计一个包装盒
5、，ABCD是边长为10 2cm的正方形纸片，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图 2 中 的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示） ，设正四棱锥PEFGH的底面 边长为()x cm （1）若要求包装盒侧面积S不小于 2 75cm，求x的取值范围； （2）若要求包装盒容积 3 ()V cm最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积 19 （16 分）已知函数 22 ( )(2 )1() 2 a f xaxx lnxxaR （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线的斜率为 2，求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )
6、f x在区间(1, ) e上有零点，求实数a的取值范围 20 （16 分）设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列 n A， n B满足：存在正数L， 当n m时，都有| nn ABL，则称数列 n A， n B是“( , )m L接近的” 已知无穷等比数列 n a满足 32 841aa，无穷数列 n b的前n项和为 n S， 1 1b ，且 第 4 页（共 20 页） 1 1 ()1 2 nnn nn S bb b b ，*nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证：对任意正整数m，数列 n a， 2 1 n a 是“( ,1)m接近的” ； （3）给定正整数(5)m m，数列 1
7、n a ， 2 n bk（其中)kR是“( , )m L接近的” ，求L的 最小值，并求出此时的k（均用m表示） （参考数据20.69)ln 三、附加题三、附加题 21已知点( , )a b在矩阵 13 24 A 对应的变换作用下得到点(4,6) （1）写出矩阵A的逆矩阵； （2）求ab的值 22求圆心在极轴上，且过极点与点(2 3,) 6 P 的圆的极坐标方程 23 批量较大的一批产品中有30%的优等品， 现进行重复抽样检查， 共取 3 个样品， 以X表 示这 3 个样品中的优等品的个数 （1）求取出的 3 个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X的概率分布及数学期望()E X 24 设
8、集合1A，2， 1 110 |333 nn nnn At taaaa ， i aA，0i ， 1， 2， n，*nN （1）求 1 A中的所有元素的和，并写出集合 n A中元素的个数； （2） 求证： 能将集合(2,*) n A nnN分成两个没有公共元素的子集 1 s Bb， 2 b， s b和 1 l Cc， 2 c， l c，s，*lN，使得 222222 1212sl bbbccc成立 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：一、填空题： 1 （5 分
9、）已知集合 1A ，0，1， 2 |0Bx x，则AB 1，1 【解答】解： 1A ，0，1， |0Bx x， 1AB ，1 故答案为： 1，1 2 （5 分）若复数z满足1z ii ，则z的实部为 1 【解答】解：由1z ii ，得 2 1(1)() 1 iii zi ii ， z的实部为1 故答案为：1 3 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的S的值是 10 【解答】解：模拟程序的运行，可得 0S ，1i 执行循环体，1S ，3i 不满足条件3i ，执行循环体，1910S ，5i 此时，满足条件3i ，退出循环，输出S的值为 10 第 6 页（共 20 页） 故答案为：10 4 （5
10、 分）函数21 x y 的定义域为 0，) 【解答】解：根据题意得：21 0 x ， 解得：0x 函数21 x y 的定义域是0，) 故答案为：0，) 5 （5 分）已知一组数据 17，18，19，20，21，则该组数据的方差是 2 【解答】解：一组数据 17，18，19，20，21 的平均数为： 1 (1718192021)19 5 x ， 一组数据 17，18，19，20，21 的方差为： 222222 1(17 19)(1819)(1919)(2019)(21 19) 2 5 S 故答案为：2 6 （5 分）某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任
11、选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 7 10 【解答】解：某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类， 某同学从中任选 2 门课程学习， 基本事件总数 2 5 10nC， 该同学“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数 211 232 7mCC C， 该同学“选到文科类选修课程”的概率是 7 10 m p n 故答案为： 7 10 7 （5 分）已知函数 2 3 1 ,0, 1 ( ) ,0, x x f x xx 则(f f（8）) 1 5 【解答】解：函数 2 3 1 ,0, 1 ( ) ,0, x x f x xx 第 7 页（共 20 页
12、） f（8） 2 3 84 ， (f f（8） 11 )( 4) 415 f 故答案为： 1 5 8 （5 分）函数3sin(2),0, 3 yxx 取得最大值时自变量x的值为 12 【解答】解：由于函数3sin(2),0, 3 yxx 取得最大值时 3 故当 12 x 时，函数取得最大值 故答案为： 12 9 （5 分）等比数列 n a中，若 1 1a ， 2 4a， 3 2a， 4 a成等差数列，则 17 a a 64 【解答】解：等比数列 n a的公比设为q， 若 1 1a ， 2 4a， 3 2a， 4 a成等差数列， 可得 324 44aaa，即 23 44qqq， 解得2q ， 则
13、 266 1 7 1264aaq， 故答案为：64 10 （5 分）已知 cos() 2 2 cos ，则tan2 2 2 【解答】解：已知 cos() sin 2 2tan coscos ， 则 2 2tan2 2 tan22 2 1tan1 ， 故答案为：2 2 11 （5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A， 过A 做x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B，若2OBa，则C的离心率为 2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为( ,0)A a， 由xa代入双曲线的方程 22 22 1
14、xy ab 的渐近线0bxay，可得yb， 第 8 页（共 20 页） 即( , )B a b，由 22 |2OBabca， 即有2 c e a ， 故答案为：2 12 （5 分） 已知函数( ) |(2)|f xlg x， 互不相等的实数a，b满足f（a）f（b） ， 则4ab 的最小值为 14 【解答】解：函数( ) |(2)|f xlg x，若存在互不相等的实数a、b使得f（a）f（b） ， 可得|(2)| |(2)|lg alg b，假设32b且3a 即有(2)(2)0lg alg b，即(2)(2)1ab，32b且3a ； 1 2 2 a b ； 111 4424(2)10 24(2
15、)1014 222 abbbb bbb （当且仅当 5 2 b 时 （此时4)a 等号成立） 所以：4ab的最小值为 14 故答案为：14 13 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 222 :22210C xaxyaya 上存在点P到点 (0,1)的距离为 2，则实数a的取值范围是 117 2 ，01， 117 2 【解答】解：根据题意， 222 :22210C xaxyaya ，即 22 ()()1xaya， 其圆心( , )C a a，半径1r ， 以点(0,1)为圆心，半径为 2 的圆的方程为的 22 (1)4xy， 若圆 222 :22210C xaxyaya 上存在点P到点(0,
16、1)的距离为 2，则圆C与圆 第 9 页（共 20 页） 22 (1)4xy有交点， 则有 22 2 1(1)2 1aa剟，变形可得： 2 04aa剟， 解可得： 117 0 2 a 剟或 117 1 2 a 剟； 即a的取值范围为 117 2 ，01， 117 2 ； 故答案为： 117 2 ，01， 117 2 14 （ 5 分 ） 在ABC中 ， 3 A ， 点D满 足 2 3 A DA C， 且 对 任 意xR， |xACABADAB恒成立，则cosABC 5 13 26 【解答】解：根据题意，在ABC中，点D满足 2 3 ADAC，设2ADt，则3ACt， 又由ADABBD，若对任意
17、xR，|xACABADAB恒成立，必有BDAC， 即 2 ADB ； 又由 3 A ，则24ABADt，32 3BDADt， 则 22 13BCBDDCt， ABC中，4ABt，3ACt，13BCt， 则 222 5 13 cos 226 ABBCAC ABC ABBC ； 故答案为： 5 13 26 二、解答题：二、解答题： 15 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 3 1,cos 3 aB （1）若 3 A ，求sinC的值； （2）若2b ，求c的值 第 10 页（共 20 页） 【解答】解： （1）在ABC中，sin0B ， 2 6 sin1 3 Bcos
18、 B 331636 sinsin()sin() 323236 CABB （2）由余弦定理可得： 222 2cosbacacB， 2 3 212 3 cc ，0c 解得3c ， 16（14分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD， 四边形ABCD是矩形，APAD， 点M，N分别是线段PD，AC的中点求证： （1）/ /MN平面PBC； （2）PCAM 【解答】证明： （1）取PC，BC的中点E，F，连接ME，EF，FN， 因为三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点， 所以/ /EMCD， 1 2 EMCD， 因为三角形ABC中，F，N为BC，AC的中点， 所以/ /FNAB， 1
19、2 FNAB， 因为四边形ABCD是矩形， 所以/ /ABCD，ABCD， 从而/ /EMFN，EMFN， 所以四边形EMNF是平行四边形， 所以/ /MNEF， 又EF 平面PBC，MN 平面PBC，MN 平面PBC， 所以/ /MN平面PBC （2）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD， 第 11 页（共 20 页） 所以PACD， 因为四边形ABCD是矩形， 所以ADCD， 又因为PAADA，PA平面PAD，AD 平面PAD， 所以CD 平面PAD， 又AM 平面PAD， 所以CDAM， 因为APAD，M为PD的中点， 所以AMPD， 又因为PDCDD，PD平面PCD，CD 平面PC
20、D， 所以AM 平面PCD， 又PC 平面PCD， 所以PCAM 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分 别为 1 F， 2 F，椭圆右顶点为A，点 2 F在圆 22 (2)1xy上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知 13 2 AMAN ，求直线 1 F M的斜率 第 12 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由题意知，圆心(2,0)A，由题意圆A与x轴的交点(1,0)，(3,0)， 又点 2 F在圆 22 (2)1xy上，所以 2(1,0) F 所
21、以2a ，1c 又 222 3bac， 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy ； （2）由题意设( , )M x y，02x，0y ，( ,)N x y，0x ，0y， 则(2, )AMxy，(2,)ANxy，而已知 13 2 AMAN ，知A，N，M三点共线， 由题意知直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为：(2)yk x， 联立直线AM与圆的方程整理： 22 (1)(2)1kx， 解得 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k 或 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k ， 所以 2 1 (2 1 N k ， 2 ) 1 k k ， 联立直
22、线AM与椭圆的方程整理： 2222 (34)1616120kxk xk， 解得 2 0 x y 或 2 2 2 86 34 12 34 k x k k y k ，所以 2 2 86 (3 4 k M k ， 2 12 ) 34 k k ， 代入 13 2 AMAN ，可得 22 (49)(5251)0kk，0k ，解得 3 2 k ， 所以 3 (1,) 2 M，又 1( 1,0) F ， 所以直线 1 F M的斜率 3 3 2 1( 1)4 第 13 页（共 20 页） 18 （16 分）请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2cm的正方形纸片，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰三角形，
23、在沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图 2 中 的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示） ，设正四棱锥PEFGH的底面 边长为()x cm （1）若要求包装盒侧面积S不小于 2 75cm，求x的取值范围； （2）若要求包装盒容积 3 ()V cm最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积 【解答】解： （1）图（1）中，AC，BD交于点O，BD与FG交于M，图（2）中，连接 OP， 第 14 页（共 20 页） 因为ABCD是边长为10 2的正方形，所以10()OBcm， 由FGx得 1 2 OMx， 1 10 2 PMBMx， 因为PMOM，即 11 10 22 x
24、x， 所以010x， 因为 2 11 42 (10)20 22 SFG PMxxxx， 由 2 2075xx，可得515x剟， 所以，510x， 答：x的取值范围5，10)， （2）因为在Rt OMP中， 222 OMOPPM， 所以 22 100 10OPPMOMx， 2245 111 1001010010 333 VFG OPxxxx，(010)x， 设 45 ( )10010f xxx，010x， 则 343 ( )4005050(8)f xxxxx， 当08x时，( )0fx，函数单调递增，当8x 时，( )0fx，函数单调递减， 所以，当8x 时，函数取得极大值，也是极大值，此时V取
25、得最大值128 5 3 答：当8x 时，包装盒的容积最大为128 5 3 19 （16 分）已知函数 22 ( )(2 )1() 2 a f xaxx lnxxaR （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线的斜率为 2，求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )f x在区间(1, ) e上有零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 1 ( )(22)(2 )2(1)(1)fxaxlnxaxxaxaxlnx x ， 则f（1）2(1)2a，解得0a ， ( )21(0)f xxlnxx，( )2(1)fxlnx， 令( )0fx，解得 1
26、x e ；令( )0fx，解得 1 0x e ； 第 15 页（共 20 页） 函数( )f x的单调递减区间为 1 (0, ) e ，单调递增区间为 1 ( ,) e ； （2）函数 22 ( )(2 )1() 2 a f xaxx lnxxaR在区间(1, ) e上是一条不间断的曲线， 由（1）知，( )2(1)(1)fxaxlnx， 当0a时，对任意(1, )xe，10ax ，10lnx ，则( )0fx，故函数( )f x在(1, ) e上 单调递增， 此时对任意的(1, )xe，都有( )(1)10 2 a f xf 成立，从而函数( )f x在区间(1, ) e上无零 点； 当0a
27、 时，令( )0fx，解得 1 x e 或 1 x a ，其中 1 1 e ， ( ) i若 1 1 a ，即1a，则对任意(1, )xe，( )0fx，故函数( )f x在区间(1, )e上单调递 减， 由题意可得 22 (1)10,( )210 22 aa ff eaeee ，解得 2 2(21) 2 3 e a e ，其中 2 22 2(21)342 ( 1)0 33 eee ee ， 即 2 2(21) 1 3 e e ，故a的取值范围为21a ； 若 1 e a ，即 1 0a e ，则对任意(1, )xe，( )0fx，所以函数( )f x在区间(1, ) e上单 调递增， 此时对
28、任意(1, )xe， 都有( )(1)10 2 a f xf 成立， 从而函数( )f x在区间(1, ) e上无零点； 若 1 1e a ，即 1 1a e ，则对任意 1 (1,),( )0xfx a ，所以函数在区间 1 (1,) a 上 单调递增， 对任意 1 (, ),( )0xefx a ，函数( )f x在区间 1 (, ) e a 上单调递减， 由题意可得 22 ( )210 2 a f eaeee ，解得 2 2(21) 3 e a e ， 其中 222 2(21)13422 ()0 333 eeee eeee ，即 2 2(21 )1 () 3 e ee ，所以a的取值范围
29、为 2 2(21) 1 3 e a e ， 综上所述，实数a的取值范围为 2 2(21) ( 2,) 3 e e 20 （16 分）设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列 n A， n B满足：存在正数L， 第 16 页（共 20 页） 当n m时，都有| nn ABL，则称数列 n A， n B是“( , )m L接近的” 已知无穷等比数列 n a满足 32 841aa，无穷数列 n b的前n项和为 n S， 1 1b ，且 1 1 ()1 2 nnn nn S bb b b ，*nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证：对任意正整数m，数列 n a， 2 1 n a 是“( ,
30、1)m接近的” ； （3）给定正整数(5)m m，数列 1 n a ， 2 n bk（其中)kR是“( , )m L接近的” ，求L的 最小值，并求出此时的k（均用m表示） （参考数据20.69)ln 【解答】解： （1）设等比数列 n a公比为q，由 32 841aa，得 2 11 841aqaq， 解得 1 1 2 aq， 故 1 2 n n a ； （2）证明： 222 11113113 |(1)| |()| |()| () 241224224 nn nnnn aa ， 对于任意正整数m，当nN，且n m时， 111 0 222 mn 剟， 2 11313 ()1 22444 n ，即
31、2 |(1)| 1 nn aa成立， 故对任意正整数m，数列 n a， 2 1 n a 是“( ,1)m接近的” ； （3）由 1 1 ()1 2 nnn nn S bb b b ，得到 111 1 (),0,0 2 nnnnnnn S bbb bbb ， 从而 1 0 nn bb ，于是 1 1 2() nn n nn b b S bb ， 当1n 时， 1 2 11 21 ,1 2() bb Sb bb ，解得 2 2b ； 当2n时， 11 1 11 2()2() nnnn nnn nnnn b bbb bSS bbbb ，又0 n b ， 整理得 11 2 nnn bbb ， 数列 n
32、 b为等差数列， 又 1 1b ， 2 2b ， n bn， 第 17 页（共 20 页） 根 据 条 件 ， 对 于 给 定 的 正 整 数(5)m m， 当nN， 且n m时 ， 都 有 22 1 |()| |2()| n n n bknkL a 成立， 即 22 22 nn Lnk Ln剟对1n ，2，3，m都成立， 考察函数 2 ( )2xf xx，( )22 x f xlnxx，令( )22 x g xlnxx，则 2 ( )2 ( 2)2 x g xln， 当5x 时，( )0g x，故( )g x在5，)上单调递增， 又g（5） 5 22 100ln， 当5x时，( )0g x
33、，即( )0fx， ( )f x在5，)上单调递增， 注意到f（1）1，f（2）f（4）0，f（3）1，f（5）7， 故当1n ，2，3，m时， 2 2nLn 的最大值为 2 2mLm ，最小值为1L ， 欲使满足的实数k存在，必有 2 21 m LmL，即 2 21 2 m m L ， 因此L的最小值为 2 21 2 m m ，此时 2 21 2 m m k 三、附加题三、附加题 21已知点( , )a b在矩阵 13 24 A 对应的变换作用下得到点(4,6) （1）写出矩阵A的逆矩阵； （2）求ab的值 【解答】解： （1）设矩阵 13 24 A 的逆矩阵为 1 ab A cd ， 则
34、1 10 01 A A ， 即 31 30 240 241 ac bd ac bd ，解得 2 3 2 1 1 2 a b c d ， 所以矩阵A的逆矩阵为 1 3 2 2 1 1 2 A ； 第 18 页（共 20 页） （2）点( , )a b在矩阵 13 24 A 对应的变换作用下得到点(4,6) 所以 4 6 a A b ， 所以 1 3 2 441 2 6161 1 2 a A b ， 所以1a ，1b ，计算2ab 22求圆心在极轴上，且过极点与点(2 3,) 6 P 的圆的极坐标方程 【解答】解：点(2 3,) 6 P 转换为直角坐标为(3, 3)， 所以圆心的坐标设为( ,0)
35、a，且经过点(0,0)和(3, 3)的圆的方程为： 半径为 22 |(3)( 3)aa，解得2a ， 故圆的方程为 22 (2)4xy，转换为极坐标方程为： 2 4 cos， 即4cos 23 批量较大的一批产品中有30%的优等品， 现进行重复抽样检查， 共取 3 个样品， 以X表 示这 3 个样品中的优等品的个数 （1）求取出的 3 个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X的概率分布及数学期望()E X 【解答】解： （1）记“取出的 3 个样品中有优等品”为事件A， 则 3 343 ( )(103) 1000 P A ， P（A） 343657 1 10001000 ， 取出的 3 个
36、样品中有优等品的概率为 657 1000 （2）(3,0.3)XB， (P X 中） 3 30 3 0 7 kkk C ，0k ，1，2，3， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 第 19 页（共 20 页） ()3 0.30.9E X 24 设集合1A，2， 1 110 |333 nn nnn At taaaa ， i aA，0i ， 1， 2， n，*nN （1）求 1 A中的所有元素的和，并写出集合 n A中元素的个数； （2） 求证： 能将集合(2,*) n A nnN分成两个没有公共元素的子集 1 s Bb，
37、2 b， s b和 1 l Cc， 2 c， l c，s，*lN，使得 222222 1212sl bbbccc成立 【解答】解： （1） 110 |3At taa， i aA，0i ，14，5，7，8， 故 1 457824A ，集合 n A中元素的个数为 1 2n； （2）证明：取2nsl ，下面用归纳法进行证明， a当2n 时， 2 13A ，14，16，17，22，23，25，26， 取 1 13b ， 2 17b ， 3 23b ， 4 25b ， 1 14c ， 2 16c ， 3 22c ， 4 26c ， 有 12341234 78bbbbcccc，且 222222 12412
38、4 1612bbbccc成立； b假设2nk ，*kN时，结论成立，即 22 11 kk ii ii bc ，且 22 22 11 kk ii ii bc ， 当1nk时， 取 1 11 12 2 3,3 k kk Bbb ， 11 1 2 3,2 3 k kk bc ， 11 2 2 2 3,2 3 k kk cc ， 1 111111 1212 222 3,3,3,2 3,2 3,2 3 kkk kkkkkk Ccccbbb ， 此时 11 2,2 kk BC 无共元素，且11 1 22 kk k BCA ， 有 2222 1111 1111 (3)(2 3)(3)(2 3) kkkk kkkk iiii iiii bccb ， 且 222222 1 21 222111 21 2 111111 (3)(2 3)2 34 32 (3)(2 3) kkkkkk kkkkkkk iiiiii iiiiii bcbcbc ， 222222 1 21 222111 21 2 111111 (3)(2 3)2 34 32 (3)(2 3) kkkkkk kkkkkkk iiiiii iiiiii cbcbcc ， 由于 22 11 kk ii ii bc ，且 22 22 11 kk ii ii bc ， 第 20 页（共 20 页） 所以1nk时，成立， 综上，原命题成立
