1、 第 1 页（共 15 页） 2019-2020 学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）设集合 Ax|x2，Bx|（x1） （x3）0，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 或 x1 2 （4 分）双曲线 2 4 2= 1的离心率等于（ ） A 5 2 B5 C 3 2 D3 3 （4 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）
2、若实数 x，y 满足不等式组 + 0 1 0 ，则（ ） Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 5 （4 分）设正实数 x，y 满足 exey（ex）y，则当 x+y 取得最小值时，x（ ） A1 B2 C3 D4 6 （4 分）已知随机变量 的取值为 i（i0，1，2） 若( = 0) = 1 5， E（）1， 则（ ） AP（1）D（） BP（1）D（） CP（1）D（） D( = 1) = 1 5 () 7 （4 分）下列不可能是函数 f（x）xa（2x+2 x） （aZ）的图象的是（ ） A B C D 8 （4 分）若函数 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，
3、则（ ） 第 2 页（共 15 页） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 9 （4 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，抛物线 y22px（p 0）的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P，若2 12 = 1 6 2，则椭圆的离心率为 （ ） A1 2 B 2 2 C 3 4 D 3 2 10 （4 分）已知非
4、常数数列an满足+2= +1+ + （nN*， 为非零常数） 若 + 0，则（ ） A存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等比数列 B存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等差数列 C存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等差数列 D存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等比数列 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）设复数 z 满足（1+i） z2i（i 为虚数单位） ，则 z ，|z| 12 （6 分）已知二项式( + ) 6(0)的展开式中含 x2的项的系数为 15，则 a ， 展开
5、式中各项系数和等于 13（6 分） 在ABC 中， BAC 的平分线与 BC 边交于点 D， sinC2sinB， 则 = ； 若 ADAC1，则 BC 14 （6 分）已知函数() = 1 2( 0) (0) ，则 ff（2019） ；若关于 x 的方程 f （x+a）0 在（，0）内有唯一实根，则实数 a 的取值范围是 15 （4 分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等 5 人报名参加了 A，B，C 三个项目 的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A，B 项目，乙不 能参加 B，C 项目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案 （用数字作答） 16 （4 分）已
6、知函数 f（x）x39x，g（x）3x2+a（aR） 若方程 f（x）g（x）有三 个不同的实数解 x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则 a 第 3 页（共 15 页） 17（4 分） 在平面凸四边形 ABCD 中， AB2， 点 M， N 分别是边 AD， BC 的中点， 且 = 3 2， 若 ( ) = 3 2，则 = 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数() = 2 2( + 3)（xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间 3 ， 4上的值域 19 （15 分）已知函数 f（x）x2+k|x1|2 （1）当
7、 k1 时，求函数 f（x）的单调递增区间 （2）若 k2，试判断方程 f（x）1 的根的个数 20 （15 分）如图，在ABC 中， = 2 3 ， = 3 ，P 为 CD 上一点，且满足 = + 1 2 ，若ABC 的面积为23 （1）求 m 的值； （2）求| |的最小值 21（15 分） 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 a2是 a1与 a4的等比中项，a612，a1b1a2b21 （1）求 an，Sn与 Tn； （2）若= ，求证：1+ 2+ + (+2) 2 22 （15 分）设函数 f（x）ex+ax，aR （1）若
8、 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若对任意 x0，+）均有 2f（x）+3x2+a2，求 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）设集合 Ax|x2，Bx|（x1） （x3）0，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 或 x1 【解答】解：集合 Ax|x2， Bx|（x1） （x3）0x|1x3， 则 ABx|2x3 故选：B 2
9、（4 分）双曲线 2 4 2= 1的离心率等于（ ） A 5 2 B5 C 3 2 D3 【解答】解：由双曲线 2 4 2=1 可得 a24，b21， a2，c= 2+ 2= 5 双曲线的离心率 e= = 5 2 故选：A 3 （4 分）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角”“ 0” ，反之不 成立，可能同向共线 因此“ 0”是“向量 与 夹角为锐角”的必要不充分条件 故选：B 4 （4 分）若实数 x，y 满足不等式组 + 0 1
10、0 ，则（ ） Ay1 Bx2 Cx+2y0 D2xy+10 【解答】解：作出不等式组 + 0 1 0 对应的平面区域如图： ； 第 5 页（共 15 页） 由图可得 A，B 均不成立； 对于 C：因为直线 x+2y0 过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立 故只有答案 D 成立 故选：D 5 （4 分）设正实数 x，y 满足 exey（ex）y，则当 x+y 取得最小值时，x（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：正实数 x，y 满足 exey（ex）y，x+yxy， 又 + 2， 2， xy4，x+y4，当且仅当 xy2 时取等号， 当 x+y 取得最小值时，x2 故选：B 6
11、 （4 分）已知随机变量 的取值为 i（i0，1，2） 若( = 0) = 1 5， E（）1， 则（ ） AP（1）D（） BP（1）D（） CP（1）D（） D( = 1) = 1 5 () 【解答】解：随机变量 的取值为 i（i0，1，2） ( = 0) = 1 5，E（）1， P（1）+2P（2）1， P（1）+P（2）= 4 5， P（1）= 3 5，P（2）= 1 5， D（）= (0 1)2 1 5 + (1 1)2 3 5 + (2 1)2 1 5 = 2 5 P（1）D（） 第 6 页（共 15 页） 故选：C 7 （4 分）下列不可能是函数 f（x）xa（2x+2 x） （
12、aZ）的图象的是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）xa（2x+2 x） （aZ） ， 当 a0，f（x）（ex+e x） ， （x0）其定义域为x|x0，f（x）为偶函数，不经过原 点且在第一象限为增函数，A 选项符合； 当 a 为正整数时，f（x）xa（ex+e x） ，其定义域为 R，图象经过原点，没有选项符合； 当 a 为负整数时，f（x）xa（ex+e x） ，其定义域为x|x0，其导数 f（x）axa1 （ex+e x）+xa（exex） ， 当 x0 时，f（x）xa 1a（ex+ex）+x（exex）xa1（a+x）ex+（ax）ex， 则 f（x）先负
13、后正，故 f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD 符合； 故选：C 8 （4 分）若函数 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，则（ ） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 【解答】解：令 f（x）sinx，g（x）2x，函数 sin2x 是周期函数，但 yg（x）不是周 期函数，故 A 错误； 令 f（x）x2+1，g（x）2x，
14、则 f（g（x） ）4x2+1 为偶函数，但 yg（x）不是偶函 数，故 B 错误； 令 f（x）x，g（x）x3，yf（x） ，yg（x）均为 R 上的单调递增函数，但 yf（x） 第 7 页（共 15 页） g（x）x4在 R 上不单调，故 C 错误； 由 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 f（x）f（x） ，g（x）g（x） ，且两 函数定义域均关于原点对称， 则 f（g（x） ）f（g（x） ）f（g（x） ） ，且定义域关于原点对称，函数 yf（g（x） ） 为奇函数，故 D 正确 故选：D 9 （4 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F
15、2，抛物线 y22px（p 0）的焦点为 F2设两曲线的一个交点为 P，若2 12 = 1 6 2，则椭圆的离心率为 （ ） A1 2 B 2 2 C 3 4 D 3 2 【解答】解：设 P（x0，y0） ， 2 = ( 0， 0)，12 = (2，0) 2 12 = 1 6 2，则 2c（cx0）= 1 6 2， 抛物线 y22px（p0）的焦点为 F2p2c， 由可得 x0= 2 3 ， 由椭圆、抛物线焦半径公式可得 aex0x 0+ 2 整理可得：ae 2 3 = 5 3 2e2+5e30 解得 e= 1 2（负值舍） 故选：A 10 （4 分）已知非常数数列an满足+2= +1+ +
16、（nN*， 为非零常数） 若 + 0，则（ ） 第 8 页（共 15 页） A存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等比数列 B存在 ，对任意 a1，a2，都有数列an为等差数列 C存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等差数列 D存在 a1，a2，对任意 ，都有数列an为等比数列 【解答】解：由题意，得+2= +1+ + = +an+1+ +an 令 t= +，则 + =1t， ， 为非零常数且 +0， t，1t 均为非零常数， 常数 t0，且 t1 故 an+2tan+1+（1t）an 两边同时减去 an+1，可得 an+2an+1tan+1an+1+（1t）an （t1） （an
17、+1an） 常数 t0，且 t1 t11，且 t10 an+1an（t1） （anan1）（t1） 2（an 1an2）（t1） n1（a2a1） 数列an是非常数数列， a2a10， 则当 t11，即 t2，即 + =2，即 +20 时， an+1ananan1an1an2a2a1 此时数列an很明显是一个等差数列 存在 ，只要满足 ， 为非零，且 +20 时，对任意 a1，a2，都有数列an为 等差数列 故选：B 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）设复数 z 满足（1+i） z2i（i 为虚数单位）
18、 ，则 z 1+i ，|z| 2 【解答】解：由（1+i） z2i，得 z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 + ， |z|= 2 故答案为：1+i；2 第 9 页（共 15 页） 12 （6 分）已知二项式( + ) 6(0)的展开式中含 x2的项的系数为 15，则 a 1 ，展 开式中各项系数和等于 64 【解答】解：二项式( + ) 6(0)的展开式的通项公式为 Tr+1= 62arx62r，令 62r 2 求得 r2， 故展开式中含 x2的项的系数为6 2a215，则 a1 再令 x1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）664， 故答案为：1；64 13 （6 分）在
19、ABC 中，BAC 的平分线与 BC 边交于点 D，sinC2sinB，则 = 2 ； 若 ADAC1，则 BC 32 2 【解答】解：如图所示， ABC 中，BAC 的平分线与 BC 边交于点 D，sinC2sinB， 所以 c2b， 所以 = = =2； 由 ADAC1， 所以 AB2AC2，设 DCx，则 BD2x， 由余弦定理得 cosBAD= 2+22 2 = 4+142 221 = 542 4 ， cosCAD= 2+22 2 = 1+12 211 = 22 2 ， 又BADCAD， 所以54 2 4 = 22 2 ，解得 x= 2 2 ； 所以 BC3x= 32 2 故答案为：2
20、，32 2 14（6 分） 已知函数() = 1 2( 0) (0) ， 则 ff （2019） 0 ； 若关于 x 的方程 f （x+a） 第 10 页（共 15 页） 0 在（，0）内有唯一实根，则实数 a 的取值范围是 1，1 2 【解答】解：函数() = 1 2( 0) (0) ， f（2019）cos2019cos1， ff（2019）f（1）1（1）20 作出函数() = 1 2( 0) (0) 的图象，如下图： 设 f（x）与 x 轴从左到右的两个交点分别为 A（1，0） ，B（1 2，0） ， f（x+a）与 f（x）的图象是平移关系， 关于 x 的方程 f（x+a）0 在（，
21、0）内有唯一实根， 结合图形，得实数 a 的取值范围是（1，1 2 故答案为：0， （1，1 2 15 （4 分）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等 5 人报名参加了 A，B，C 三个项目 的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者若甲不能参加 A，B 项目，乙不 能参加 B，C 项目，那么共有 21 种不同的选拔志愿者的方案 （用数字作答） 【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加 C 项目，乙只能参见 A 项目，B 项目有 3 种方法， 若甲参加，乙不参加，则甲只能参加 C 项目，A，B 项目，有 A326 种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加 A 项目，B，C 项目，
22、有 A326 种方法， 若甲不参加，乙不参加，有 A336 种方法， 根据分类计数原理，共有 3+6+6+621 种 故答案为：21 16 （4 分）已知函数 f（x）x39x，g（x）3x2+a（aR） 若方程 f（x）g（x）有三 个不同的实数解 x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则 a 11 第 11 页（共 15 页） 【解答】解：方程 f（x）g（x）即为 x33x29xa，依题意，函数 h（x）x33x2 9x 与常函数 ya 由三个不同的实数根 x1，x2，x3， 不妨设 x1x2x3，由 x1，x2，x3构成等差数列可知，函数 h（x）关于（x2，h（x2） ）中 心对
23、称， 而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且 h（x）3x26x9，h（x） 6x6， 令 h（x）6x60，解得 x1，即 x21，故函数 h（x）的对称中心即为（1，11） ， 则 a11 故答案为：11 17（4 分） 在平面凸四边形 ABCD 中， AB2， 点 M， N 分别是边 AD， BC 的中点， 且 = 3 2， 若 ( ) = 3 2，则 = 2 【解答】解：取 BD 的中点 O，连接 OM，ON， 可得 = + = 1 2 ( + )， 平方可得 2 = 1 4 ( 2 + 2 + 2 ) = 1 4 (4 + 2 + 2 ) = 9 4， 即有 = 5 2 1
24、2 2， ( ) = 3 2，即有 1 2 ( + ) （ + ） = 1 2（ + ） （ + ）= 1 2（ 2 2）=1 2（4 2）=3 2， 解得 2 = 1， 所以 = 1 2 2 5 2 = 1 2 5 2 = 2， 故答案为：2 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 第 12 页（共 15 页） 18 （14 分）已知函数() = 2 2( + 3)（xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间 3 ， 4上的值域 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 函 数 () = 2 2( + 3) = sin 2x (1 2 3 2 )2= 1
25、4sin 2x1 4cos 2x+3 2 sinxcosx = 3 4 sin2x 1 4cos2x= 1 2sin（2x 6） ， f（x）的最小正周期为 2 2 = （2）在区间 3 ， 4上，2x 6 5 6 ， 3，故当 2x 6 = 2时，函数 f（x）取得最小 值为 1 2， 当 2x 6 = 3时，函数 f（x）取得最大值为 3 4 ， 故 f（x）的值域为 1 2， 3 4 19 （15 分）已知函数 f（x）x2+k|x1|2 （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调递增区间 （2）若 k2，试判断方程 f（x）1 的根的个数 【解答】解： （1）k1 时，f（x）x2+|
26、x1|2= 2 + 3， 1 2 1，1 ， 当 x1 时，f（x）（x+ 1 2） 213 4 ，此时函数在1，+）上单调递增； 当 x1 时，f（x）（x 1 2） 25 4，此时函数在（ 1 2，1）上单调递增， 综上函数 f（x）的单调递增区间是（1 2，+） ； （2）当 x1 时，则 x2+k（x1）21，即（x1） （x+1+k）0，即 x1k， 或 x1； 当 x1 时，则 x2k（x1）21，即（x1） （x+1k）0，即 xk1， 故当 k2，1k1，k11，则方程有 3 个不等实数根； 当 k2 时，1k1，k13，则方程有 2 个不等实数根 20 （15 分）如图，在A
27、BC 中， = 2 3 ， = 3 ，P 为 CD 上一点，且满足 第 13 页（共 15 页） = + 1 2 ，若ABC 的面积为23 （1）求 m 的值； （2）求| |的最小值 【解答】解： （1）设| |c，| |b，所以 SABC= 1 2bcsin 2 3 =23，解得 bc8， 由 =m + 1 2 =m + 2 3 ，且 C，P，D 三点共线， 所以 m+ 2 3 =1，解得 m= 1 3； （2）由（1）可知 = 1 3 + 1 2 ， 所以| |2（1 3 + 1 2 ）2= 2 9 + 2 4 + 1 3 因为 =bccos2 3 = 4， 所以| |2= 2 9 +
28、2 4 4 3 2 6 4 3 = 4 3， 故| | 23 3 ，当且仅当 b23，c= 43 3 时取得等号， 综上| |的最小值为23 3 21（15 分） 设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 a2是 a1与 a4的等比中项，a612，a1b1a2b21 （1）求 an，Sn与 Tn； （2）若= ，求证：1+ 2+ + (+2) 2 【解答】 （1）解：由题意得，22= 14，即(1+ )2= 1(1+ 3)，得 a1d（d0） ， 由 a612，得 a1d2 ana1+（n1）d2+2（n1）2n，= 2 + (1) 2
29、2 = ( + 1)， 由 a1b1a2b21，得1= 1 2，2 = 1 4， 第 14 页（共 15 页） = 1 (1 2) ； （2）证明：= =( + 1) 1 (1 2) ， 由 01 (1 2) 1 恒成立，cn( + 1)( + 1) +1 4 = + 1 2， c1+c2+cn (3 2+ 1 2) 2 = (+2) 2 22 （15 分）设函数 f（x）ex+ax，aR （1）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若对任意 x0，+）均有 2f（x）+3x2+a2，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）ex+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x
30、）在 R 上单调递增，不满足题意； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xln（a） ，则 f（x）在（，ln（a） ）上单 调递减，在（ln（a） ，+）上单调递增，要使 f（x）有两个零点，只需 f（ln（a） ） 0，解得 ae； （2）令 g（x）2f（x）+3x2a22ex（xa）2+3，x0， 则 g（x）2（exx+a） ，又令 h（x）2（exx+a） ，则 h（x）2（ex1）0， 所以 h（x）在0，+）上单调递增，且 h（0）2（a+1） ， 当 a1 时，g（x）0 恒成立，即函数 g（x）在0，+）上单调递增， 从而必须满足 g（0）5a20，解得5 a 5， 又因为
31、 a1，所以1a 5； 当 a1 时，则存在 x00，使 h（x0）0 且 x（0，x0）时，h（x）0，即 g（x） 0，即 g（x）单调递减， x（x0，+）时，h（x）0，即 g（x）0，即 g（x）单调递增， 所以 g（x）最小值为 g（x0）= 20 (0 )2+ 3 0， 又 h（x0）2（0 0+ ）0， 从而20 (0)2+ 3 0，解得 0x0ln3， 由0=x0a，则 ax00， 令 M（x）xex，0xln3，则 M（x）1ex0， 所以 M（x）在（0，ln3 上单调递减， 则 M（x）M（ln3）ln33，又 M（x）M（0）1， 第 15 页（共 15 页） 故 ln33a1， 综上，ln33a 5
