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1、第 1 页（共 24 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）已知集合 2 |230Ax xx， |1Bx lgx，则集合()( UA B ) A(0,10) B C0，10) D(0，1 2 （3 分）若复数 2 34 ai i 为纯虚数，i是虚数单位，则实数(a ) A 3 2 B 3 2 C 8 3 D 8 3 3 （

2、3 分）如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温()C的数据一览表月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( ) A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大 4 （3 分）设函数 22 (

3、 )sincosf xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为2 B()f x的一个零点为 3 4 C( )f x在(, ) 2 上单调递增 D( )f x的图象关于直线 5 4 x 对称 5 （3 分）函数 1 ( )()|f xxln x x 的图象大致是( ) 第 2 页（共 24 页） A B C D 6 （3 分）设、表示三个不同的平面，m、n、l表示三条不同的直线，则的一个充分条件是( ) A， Bm，n Cl，m，n，lm，ln D/ /m，m 7 （3 分）已知为圆周率，e为自然对数的底数，则( ) A3 ee B 22 33 ee C 3 logloge

4、e D 3 log3logee 8 （3 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线交双曲线右支于P，O两点，且 1 PQPF，若 1 3 | 4 PQPF，则该双曲线离心率(e ) A 10 3 B 10 5 C 17 3 D 37 5 9 （3 分）设抛物线 2 :(0)C xpy p焦点为F，点M在C上，且| 3MF ，若以MF为直径的圆过点( 2,0)，则C的方程为( ) A 2 4xy或 2 8xy B 2 2xy或 2 4xy C 2 4xy或 2 16xy D 2 2xy或 2 16xy 10 （3 分）

5、 “31N 猜想”是指对于每一个正整数n，若n为偶数，则让它变成 2 n ；若n为奇数，则让它变成31n 如此循环，最终都会变成 1，若数字 4、5、6、7、8 按照以上的规则进行变换，则变换次数为偶数的概率是( ) 第 3 页（共 24 页） A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 11 （3 分）在三棱锥PABC中，ABC与PBC均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B， C四点在球O的球面上，当三棱锥PABC的体积最大时，则球O的表面积为( ) A 5 3 B2 C5 D 20 3 12（3 分）设曲线 1: 1(0) x m Cyem 上一点 1 (A x，1)y，曲

6、线 2: Cylnx上一点 2 (B x， 2) y，当 12 yy时，对于任意 1 x、 2 x，都有 2 |ABe恒成立，则m的最小值为( ) A1 Be C1e D 2 1e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题 13（3 分）设a，b，c是单位向量，ca，cb，a，b的夹角为60，则|abc 14 （3 分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对( , )x y；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数

7、对( , )x y的个数m；最后再根据统计数m来估计的值假如统计结果是60m ，那么可以估计 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱已知足

8、球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为个，该足球表面的棱为条第 4 页（共 24 页） 16 （3 分）已知等差数列 n a中，首项 1 2a ，公差0d ，若 1 k a， 2 k a， 3 k a， n k a，成等比数列，且 1 1k ， 2 3k ， 3 11k ，则数列 n k的通项公式是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题

9、，考生根据要求作答（一）必考题： 17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(cos3cos)(3)cosaBCcbA （1）求 c b 的值；（2）若角 2 3 C ，4a ，求ABC的周长 18 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面A B C D，ABCD是平行四边形， 2ACABAD，AC、BD交于点O，E是PB上一点（1）求证：ACDE；（2）已知二面角APBD的余弦值为 3 4 ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值 19在新中国成立七十周年之际，赤峰市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了一个调查：在每

10、天晚上7:30 10:00共 2.5 小时内，居民浏览“学习强国”的时间如果这个社区共有成人按 10000 人计算，每人每天晚上7:30 10:00期间打开“学习强国APP” 第 5 页（共 24 页）的概率均为p（某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p 学习时长调查总时长，01)p，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的他们统计了其中 100 名成人每天晚上浏览 “学习强国”的时间（单位：)min，得到下面的频数表：学习时长 /min 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间

11、作为该社区每个人的学习时间（1）试估计p的值；（2）设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数求X的数学期望()E X和方差()D X；若随机变量Z满足 () () XE X Z D X ，可认为(0,1)ZN假设当49505100X时，表示社区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度（结果保留为整数）附：若 2 ( ,)ZN ，则()0.6827PZ，(22 )0.9545PZ， (33 )0.9973PZ 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点( 6,0)A和( 2,1)B （1）求椭圆E的标准方程；（2

12、）过(1,0)P的直线MN交椭圆E于M，N两点，若m，n分别为BM BN的最大值和最小值，求mn的值 21 已知函数 2 ( )(1) 1 x e f xaxaln x x ，a为常数，当(1,3)x时，( )f x有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x（其中 123) xxx （1）求实数a的取值范围；（2）求证： 1313 x xxx （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选

13、题目对应的标号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数方程方程第 6 页（共 24 页） 22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 3cos2 ，以极点为原点，以极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点A，B，P为直线 AB上任意一点，点Q在射线OP上运动，且| |2OPOQ （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求点Q轨迹围成的面积选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |3|f xxmxm， * mN，存在实数x，使得( )4f x 成立（1）求不等式( ) 2f xx的解集；（2）若3a，3b，且满足f（a）

14、f（b）12，求证： 419 10ab 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）已知集合 2 |230Ax xx， |1Bx lgx，则集合()( UA B ) A(0,10) B C0，10) D(0，1 【解答】解：A ， |010Bxx， UA U，(0,10)

15、UB 故选：A 2 （3 分）若复数 2 34 ai i 为纯虚数，i是虚数单位，则实数(a ) A 3 2 B 3 2 C 8 3 D 8 3 【解答】解： 2(2 )(34 )3846 34(34 )(34 )2525 aiaiiaa i iii 为纯虚数， 380 460 a a ，解得 8 3 a 故选：D 3 （3 分）如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温()C的数据一览表月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 已

16、知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( ) A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为第 8 页（共 24 页）正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：3.5，3，5，4.5，12，20.5， 23，26.5，28，15.5，在前

17、8 个月不是逐月增加，则B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在 1 月，C正确；对于D，有C的结论，分析可得 1 月至 4 月的月温差相对于 7 月至 10 月，波动性更大，D 正确；故选：B 4 （3 分）设函数 22 ( )sincosf xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为2 B()f x的一个零点为 3 4 C( )f x在(, ) 2 上单调递增 D( )f x的图象关于直线 5 4 x 对称【解答】解：函数 22 ( )sincoscos2f xxxx，对于A，可得函数(

18、 )f x的周期为 2 2 ，故A错误；对于B， 3 4 x ，可得 3 ()()cos0 442 ff ，()f x的一个零点为 3 4 ，故 B正确；对于C，令222kxk，kZ，解得 1 2 kxk，kZ，可得函数的单调递增区间为 1 (,) 2 kk，kZ，故C错误；对于D，当 5 4 x ，可得 555 ()cos(2)coscos01 4422 f ，故D错误故选：B 5 （3 分）函数 1 ( )()|f xxln x x 的图象大致是( ) A B 第 9 页（共 24 页） C D 【解答】解：函数的定义域为 |0x x ，则 11 ()()|()|( )fxxl

19、nxxln xf x xx ，故函数( )f x是奇函数，则图象关于原点对称，排除A，B，当x，( )f x ，排除C，故选：D 6 （3 分）设、表示三个不同的平面，m、n、l表示三条不同的直线，则的一个充分条件是( ) A， Bm，n Cl，m，n，lm，ln D/ /m，m 【解答】解：若/ /m，m，过直线m作平面，与平面交于直线a，则/ /ma，又 m，a ，又a平面， / /m，m，是的一个充分条件，故选：D 7 （3 分）已知为圆周率，e为自然对数的底数，则( ) A3 ee B 22 33 ee C 3 loglogee D 3 log3logee 【解答】解：已知为

20、圆周率，e为自然对数的底数，2e，()1 3 e ，3 ee ，故A错误； 3 01 ，120e， 2 33 ()e ， 22 33 ee ，故B错误； 3， 3 loglogee ，故C错误；由3，可得 3 loglogee ， 3 log3logee ，故D正确，故选：D 第 10 页（共 24 页） 8 （3 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线交双曲线右支于P，O两点，且 1 PQPF，若 1 3 | 4 PQPF，则该双曲线离心率(e ) A 10 3 B 10 5 C 17 3 D 37 5 【解

22、抛物线 2 :(0)C xpy p焦点为F，点M在C上，且| 3MF ，若以MF为直径的圆过点( 2,0)，则C的方程为( ) 第 11 页（共 24 页） A 2 4xy或 2 8xy B 2 2xy或 2 4xy C 2 4xy或 2 16xy D 2 2xy或 2 16xy 【解答】解：抛物线 2 :(0)C xpy p焦点为F，(0,) 4 p F，准线为： 4 p y ，设( , )M m n，点M在抛物线C上，| 3MF ，3 4 p n ，又圆的直径为MF，圆心为MF的中点，半径 3 2 r ，圆心坐标为( 2 m ， 3) 2 ，又圆过点( 2,0)， 22 33 (

23、2)(0) 222 m ，解得：2 2m ， (2 2,3) 4 P M代入抛物线C方程： 2 xpy，得：8(3) 4 p p， 2 12320pp， 4p或 8，抛物线C方程为： 2 4xy或 2 8xy，故选：A 10 （3 分） “31N 猜想”是指对于每一个正整数n，若n为偶数，则让它变成 2 n ；若n为奇数，则让它变成31n 如此循环，最终都会变成 1，若数字 4、5、6、7、8 按照以上的规则进行变换，则变换次数为偶数的概率是( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 【解答】解：数字 4、5、6、7、8 按照n为偶数，则让它变成 2 n ；若n为奇数，则

24、让它变成31n 如此循环，最终都会变成 1，基本事件总数5N ，变换次数为偶数的数字有：4，6，7，共 3 个，变换次数为偶数的概率 3 5 p 故选：B 11 （3 分）在三棱锥PABC中，ABC与PBC均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B， C四点在球O的球面上，当三棱锥PABC的体积最大时，则球O的表面积为( ) 第 12 页（共 24 页） A 5 3 B2 C5 D 20 3 【解答】解：因为ABC和PBC为等边三角形， 1 3 VSh，而S一定，所以高最大值时，所以当面PBC面ABC时，三棱锥的体积最大，设两个外接圆的圆心分别为G，F，如图所示，过G，F分别作两个

25、面的垂线，交于O，连接OP，OA，则OAOP为外接球的半径R，OAG中， 222 OAOGAG，而由题意 3 13 2 36 OGEF， 3 23 2 33 AG ，所以 222 335 ()() 6312 OA ，所以外接球的表面积 2 5 4 3 SR ，故选：A 12（3 分）设曲线 1: 1(0) x m Cyem 上一点 1 (A x，1)y，曲线 2: Cylnx上一点 2 (B x， 2) y，当 12 yy时，对于任意 1 x、 2 x，都有 2 |ABe恒成立，则m的最小值为( ) A1 Be C1e D 2 1e 【解答】解：依题意，由 12 yyt得：

26、1 2 1(1) xm elnxt t ， 1 (1)xln tm， 2 t xe，由题意可知 21 xx 则 21 | (1)(1) tt ABxxeln tmeln tm，令( )(1)(1) t g teln tm t，第 13 页（共 24 页）则 1 ( )(1) 1 t g tet t ， 1 ( ) 1 t g te t 在区间( 1,) 上单调递增，且 0 (0)10ge ，当( 1,0)x 时，( )0g t；当(0,)x时，( )0g t；当0t 时，( )(1) t g teln tm取得最小值 0 11elnmm ，即|1 min ABm ，当 12 yy时

27、，对于任意 1 x、 2 x，都有 2 |ABe恒成立， 2 |1 min ABm e ， 2 1m e 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题 13 （3 分）设a，b，c是单位向量，ca，cb，a，b的夹角为60，则|abc 2 【解答】解：a，b，c是单位向量，ca，cb，a，b的夹角为60， | | | 1abc，0c a ，0c b ， 1 cos60 2 a b ，则 1 |1 1 1202022 2 abc 故答案为：2 14 （3 分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面

28、的实验来估计的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对( , )x y；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对( , )x y的个数m；最后再根据统计数m来估计的值假如统计结果是60m ，那么可以估计 16 5 （或写成3.2) 【解答】解：根据题意，200 对都小于l的正实数对( , )x y，即 01 01 x y ，，对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1，若两个正实数x、y能与 1 构成钝角三角形三边，则根据勾股定理 22 1xy，根据两边之和大于第三边1xy，第 14 页（共 24 页）结合 01 01 x y ，其面积 1 4

29、2 S ；则 601 20042 ，变形可得 16 5 ；故答案为：16 5 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱已知足球表面中的正六

30、边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 12 个，该足球表面的棱为条【解答】解：简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E间有关系式2VFE，第 15 页（共 24 页）设该足球表面中的正五边形的面为x个，正六边形的面为y个，则Fxy，5Vx， 3 5 2 Exy， 3 5()(5)2 2 xxyxy，化简，得24xy，正五边形的边有两种算法：单从正五边形看，这x个正五边形共有5x条边，从正六边形的角度看，每个正六边形有 3 条边是正五边形的边， y个正六边形有6y条边，共中正五边形的边的总数为： 3 63 6 yy， 53xy 联立 24 53 xy xy ，解得1

31、2x ，20y ，该足球表面中的正五边形的面为 12 个，该足球表面的棱为 3 590 2 Exy个故答案为：12，90 16 （3 分）已知等差数列 n a中，首项 1 2a ，公差0d ，若 1 k a， 2 k a， 3 k a， n k a，成等比数列，且 1 1k ， 2 3k ， 3 11k ，则数列 n k的通项公式是 21 * 21( ) 3 n n knN 【解答】解：由题意，可知， 1 a， 3 a， 11 a成等比数列，即 2 3111 aa a 3 22ad， 11 210ad 2 (22 )2 (2 10 )dd，整理，得 2 30dd，解得3d 等差数

32、列 n a的通项公式为23 (1)31 n ann ，*nN 31 n kn ak 又 3 1 223 4 2 a a ，等比数列 n k a的通项公式为 121 2 42 n nn k a ，*nN 21 312 n n k ，第 16 页（共 24 页）解得 21 21 3 n n k 数列 n k的通项公式为 21 21 3 n n k ，*nN 故答案为： 21 21( *) 3 n n knN 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题考生都必须

33、作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题： 17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(cos3cos)(3)cosaBCcbA （1）求 c b 的值；（2）若角 2 3 C ，4a ，求ABC的周长【解答】解：（1）由题设及正弦定理得sincos3cossin3sincossincosABCACABA，整理得sincossincos3sincos3cossinABBACACA，sin()3sin()ABCA， 180ABC， sin3sinCB，由正弦定理得3 c b （2）由已知及余弦定理得 2

34、22 24 cos 32 4 bc b ， 3cb， 222 491 2 42 bb b ， 2 240bb， 133 4 b ， ABC的周长为 133 4444533 4 abcb 18 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面A B C D，ABCD是平行四边形， 2ACABAD，AC、BD交于点O，E是PB上一点（1）求证：ACDE；（2）已知二面角APBD的余弦值为 3 4 ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值第 17 页（共 24 页）【解答】（1）证明：PD 平面ABCD，PDAC，又四边形ABCD为菱形，BDAC，又BDP

35、DD， AC平面PBD，DE 平面PBD， ACDE；（2）解：连OE，在PBD，/ /OEPD，OE平面ABCD 分别以OA，OB，OE为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设PDt，则(1A，0，0)，(0, 3,0)B，( 1C ，0，0)，(0,0, ) 2 t E，(0,3, )Pt 由（1）知，平面PBD的一个法向量为 1 (1,0,0)n ，设平面PAB的一个法向量为 2 ( , , )nx y z，由 2 2 30 30 nABxy nAPxytz ，令1y ，则 2 2 3 ( 3,1,)n t ，二面角APBD的余弦值为 3 4 ， 12 2 33 |cos

36、,| 412 4 n n t ，解得3t ，设EC与平面PAB所成角为， 3 ( 1,0,) 2 EC ， 2 2 3 ( 3,1,) 3 n ， 2 |33|2 33 sin|cos,|13 1394134 14 4323 EC n 第 18 页（共 24 页） 19在新中国成立七十周年之际，赤峰市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了一个调查：在每天晚上7:30 10:00共 2.5 小时内，居民浏览“学习强国”的时间如果这个社区共有成人按 10000 人计算，每人每天晚上7:30 10:00期间打开“学习强国APP” 的概率均为p（某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p 学习

37、时长调查总时长，01)p，并且是否打开进行学习是彼此相互独立的他们统计了其中 100 名成人每天晚上浏览 “学习强国”的时间（单位：)min，得到下面的频数表：学习时长 /min 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间（1）试估计p的值；（2）设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数求X的数学期望()E X和方差()D X；若随机变量Z满足 () () XE X Z D X ，可认为(0,1)ZN假设当49505100X时，表示社

38、区处于最佳的学习氛围，试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度（结果保留为整数）附：若 2 ( ,)ZN ，则()0.6827PZ，(22 )0.9545PZ， (33 )0.9973PZ 【解答】解：（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为： 55 0.165 0.275 0.485 0.295 0.175()min，第 19 页（共 24 页）而调查总时长为150()min，故 751 1502 p （2）根据题意， 1 (10000, ) 2 XB 故 1 ()100005000 2 E Xnp， 11 ()(1)100002500 22 D Xn

39、pp 50001 100 502500 X ZX ，当49505100X时，12Z ，(0,1)ZN， 0.95450.6827 ( 12)(2 )0.95450.8186 2 PZPZ 剟故(49505100)( 12)0.8186PZPZ 剟所以估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150 0.8186123()min 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点( 6,0)A和( 2,1)B （1）求椭圆E的标准方程；（2）过(1,0)P的直线MN交椭圆E于M，N两点，若m，n分别为BM BN的最大值和最小值，求mn的值【解答】解：（1）由椭圆

40、 22 22 :1 xy E ab 的右顶点为( 6,0)A，得 2 6a ，又椭圆 22 22 :1 xy E ab 过点( 2,1)B ，则 2 41 1 6b ，解得 2 3b ，所以椭圆E的标准方程为 22 1 63 xy （2）当直线MN斜率存在时，设MN的方程为(1)yk x， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，由 22 1 63 (1) xy yk x ，整理得 2222 (1 2)4260kxk xk，因为(1,0)在椭圆内部，0，所以 2 12 2 4 12 k xx k 2 12 2 26 21 k x x k 因为 222 121212121

41、21212 (2)(2)(1)(1)2()4(1)(1)(1)(2)()25BMBNxxyyxxxxkxkkxkkxxkkxxkk ，第 20 页（共 24 页）将代入得 22 222 22 264 (1)(2)25 2121 kk BM BNkkkkk kk ，tBM BN，所以 2 2 1521 21 kk t k ，所以 2 (152 )210t kkt ，kR，所以 2 24(152 )(1) 0tt ，所以(215)(1)1 0tt ，即 2 21316 0tt，又m，n是 2 213160tt两个根， 13 2 mn，当直线MN斜率不存在时，联立 22 1 63 1

42、 xy x ，得 10 2 y ，不妨设 10 (1,) 2 M， 10 (1,) 2 N， 10 (3,1) 2 BM ， 10 (3,1) 2 BN ， 1015 91 42 BM BN ，可知 15 2 nm 综上得 13 2 mn 21 已知函数 2 ( )(1) 1 x e f xaxaln x x ，a为常数，当(1,3)x时，( )f x有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x（其中 123) xxx （1）求实数a的取值范围；（2）求证： 1313 x xxx 【解答】解：（1）函数( )f x函数的定义域为(1,)，由 2 ( )(1) 1 x e f xax

43、aln x x ，得 2 2 ()(2) ( ) (1) x eaxa x fx x ，令( )0fx，得2x 是一个根，要使( )f x在(1,3)上有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x，则( )0fx有三个解，所以 2 0 x eaxa 在(1,3)必有 2 个解 1 x， 3 x 2 1 x e a x ，令 2 ( ) 1 x e g x x ，则 2 2 (2) ( ) (1) x ex g x x ，第 21 页（共 24 页）由 ( )0 13 g x x ，得23x，由( )0g x且13x，得12x， ( )g x在(1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增， ( )ming xg（2）1，当1x 时，( )g x ，(3) 2 e g，为了满足题意，必有1 2 e a， a的取值范围为1 2 e a 另解注：( )g x在(1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增， g（2）1，(3) 2 e g， 2 2 2 1 2 2 2 2 (1) 2 22 e e eee ge e e ，当1 2 e a

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