1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：一、单项选择题： 1 （3 分）已知全集UR， 2 |9Ax x， | 24Bxx ，则() R AB等于( ) A | 32xx B |34xx C | 23xx D | 32xx 2 （3 分）已知复数z满足13zi （其中i为虚数单位） ，则( | z z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 3 （3 分） “1x ，2， 2 1 0ax ”为真命题的充分必要条件是( ) A1a B 1 4 a C
2、2a D0a 4 （3 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，() (3 )13abab，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 5 （3 分）已知 1 23 2 ab ， 2 1 2 log (23)cbxx，则实数a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 6 （3 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗 和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，
3、则让三位同学选取的礼物都满意的概率是( ) A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 7 （3 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 1(2 2,0) F，点A的坐标为(0,1)，点P 为双曲线左支上的动点，且 1 APF周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D2 2 8 （ 3 分）对 于数列 n a，规定 n a为数列 n a的一阶差分 数列，其中 * 1 () nnn aaa nN ，对自然数(2)k k，规定 k n a为数列 n a的k阶差分数列，其中 k n a 1 1 k n a 1k n a 若 1 1a ，
4、且 2 n a * 1 2 () n nn aanN ，则数列 n a的通项 第 2 页（共 20 页） 公式为( ) A 21 2n n an B 1 2n n an C 2 (1) 2n n an D 1 (21) 2n n an 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 （3 分）已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的动点， 若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是( ) A(0, 2) B(1, 21) C( 2,0) D( 21,1) 10 （3 分）已知( )f x为定义在R上的奇函数，当0x时，有(1)( )f xf x ，且当0x， 1)时， 2 (
5、 )log (1)f xx，下列命题错误的是( ) A(2019)( 2020)0ff B函数( )f x在定义域上是周期为 2 的函数 C直线yx与函数( )f x的图象有 2 个交点 D函数( )f x的值域为 1，1 11 （3 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5 ，女生喜欢抖音 的人数占女生人数 3 5 ，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可 能有( )人 附表： 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附： 2
6、2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd A25 B45 C60 D75 12 （3 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直 线l与抛物线C交于点A、B两点 （点A在第一象限） ， 与抛物线的准线交于点D， 若| 8AF ， 则以下结论正确的是( ) A4p BDFFA C| 2|BDBF D| 4BF 第 3 页（共 20 页） 三、填空题：三、填空题： 13 （3 分）随机变量X的取值为 0、1、2，(0)0.2P X ，0.4DX ，则EX 14 （3 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA
7、的最大值为3，其相邻两个零 点之间的距离为 2 ， 且( )f x的图象关于直线 3 x 对称， 则当, 6 6 x 时， 函数( )f x的 最小值为 15 （3 分） 26 1 (2)x x 的展开式中，常数项为 ；系数最大的项是 16 （3 分）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就， 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角 形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四 边形ABCD为正方形，5AD ，3ED ，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则 阳马PABCD的外接球的表面积等
8、于 四、解答题：四、解答题： 17已知数列 n a的前n项和为 n S，且0 n a ， 2 42 nnn Saa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 n n n SS b SS ，求数列 n b的前n项和 n T 18已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件 中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A；6a ；2 2b （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 19如图（1） ，边长为 2
9、的正方形ABEF中，D，C分别为EF、AF上的点，且EDCF， 第 4 页（共 20 页） 现沿DC把CDF剪切、 拼接成如图 （2） 的图形， 再将BEC，CDF，ABD沿BC，CD， BD折起，使E、F、A三点重合于点 A ，如图（3） （1）求证：BACD ； （2）求二面角BCD A 最小时的余弦值 20顺次连接椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的四个顶点恰好构成了一个边长为7且面积为 4 3的菱形 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C相切于点A，过点O作OMl，垂足为M，求AMO面积的最大 值 21已知函数 2 ( )(2)2(f xlnxaxaxa为常
10、数） （1）若( )f x在(1，f（1）)处的切线与直线30xy垂直，求a的值； （2）若0a ，讨论函数( )f x的单调性； （3）若a为正整数，函数( )f x恰好有两个零点，求a的值 22某公司为了了解年研发资金投人量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 i x和年销售额 i y的数据，进行了对比分析，建立了 两个函数模型： 2 yx， x t ye ，其中、t均为常数，e为自然对数 第 5 页（共 20 页） 的底数并得到一些统计量的值令 2 ii ux，(1 ii vlny i，2，12)，经计算得如下数 据： x y 12 2
11、1 () i i xx 12 2 1 () i i yy u v 20 66 77 2 460 4.20 12 2 1 () i i uu 12 1 ()() ii i uuyy 12 2 1 () i i vv 12 1 ()() ii i xx vv 31250 215 3.08 14 （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2） （）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程； （）若下一年销售额y需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？ 附：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy
12、 ， 回归直线 yabx中公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 参考数据：308477，909.4868， 4.4998 90e 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：一、单项选择题： 1 （3 分）已知全集UR， 2 |9Ax x， | 24Bxx ，则() R AB等于( ) A | 32xx B |34xx C | 23xx D | 32xx 【解答】解：因为：全集UR， 2 |9
13、Ax x， | 24Bxx ， | 33Axx ； |4 RB x x或2x 则() |32| R ABxx 故选：D 2 （3 分）已知复数z满足13zi （其中i为虚数单位） ，则( | z z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 【解答】解：13zi ，13zi ，| 2z ， 则 1313 |222 zi i z 故选：B 3 （3 分） “1x ，2， 2 1 0ax ”为真命题的充分必要条件是( ) A1a B 1 4 a C2a D0a 【解答】解：1x ，2， 2 1 0ax ， 2 1ax，0a， 1x，2， 2 4axa，a，
14、 1 4 a， “1x ，2， 2 1 0ax ” “ 1 4 a “， “ 1 4 a” “1x ，2， 2 1 0ax ” “1x ，2， 2 1 0ax ”为真命题的充分必要条件是 1 4 a 故选：B 第 7 页（共 20 页） 4 （3 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，() (3 )13abab，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：由| 1a ，| 2b ，() (3 )13abab， 则 22 321 3 42 1 2 cos13aba b ， 解得 1 cos 2 ， 又0， 所以 2 3 ， 即a与b的夹角为 2 3 故选：
15、C 5 （3 分）已知 1 23 2 ab ， 2 1 2 log (23)cbxx，则实数a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 【解答】解：因为 1 23 2 ab ；所以： 0 33 222120 22 aba b abab ； 22 111 222 log (23)log (1)2 log 210cbxxxcbcb ； 则实数a，b，c的大小关系是：abc 故选：A 6 （3 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、乙、丙三位同学依次选
16、一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗 和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是( ) A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： 如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中任 意选，此时的选法有 11 310 30痧种； 如果同学甲选羊，那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中任 意选，此时的选法有 11 310 30痧种； 第 8 页（共 20 页） 如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 1
17、0 种中 任意选，此时的选法有 11 410 40痧种 则不同的选法共有303040100种， 而总数有： 3 12 12 11 10A 种 故让三位同学选取的礼物都满意的概率是： 1005 12 11 1066 P 故选：C 7 （3 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 1(2 2,0) F，点A的坐标为(0,1)，点P 为双曲线左支上的动点，且 1 APF周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D2 2 【解答】解：由右焦点为 1(2 2,0) F，点A的坐标为(0,1)， 1 |8 13AF ，三角形 1 APF的 周长的最小值为
18、8， 可得 1 |PAPF的最小值为 5， 又 2 F为双曲线的左焦点，可得 12 | | 2PFPFa， 当A，P， 2 F三点共线时， 1 |PAPF取得最小值，且为 2 | 3AF ， 即有325a，即1a ，2 2c ， 可得2 2 c e a 故选：D 8 （ 3 分）对 于数列 n a，规定 n a为数列 n a的一阶差分 数列，其中 * 1 () nnn aaa nN ，对自然数(2)k k，规定 k n a为数列 n a的k阶差分数列，其中 第 9 页（共 20 页） k n a 1 1 k n a 1k n a 若 1 1a ，且 2 n a * 1 2 () n nn aa
19、nN ，则数列 n a的通项 公式为( ) A 21 2n n an B 1 2n n an C 2 (1) 2n n an D 1 (21) 2n n an 【解答】解：根据题中定义，可得 2* 111 ()2 () n nnnnnnn aaaaaaanN ， 即 11 ()22n nnnnnnn aaaaaaa ，即 1 22n nn aa ， 等式两边同时除以 1 2n，得 1 1 1 222 nn nn aa ， 1 1 1 222 nn nn aa 且 1 1 22 a ， 数列 2 n n a 是以 1 2 为首项，以 1 2 为公差的等差数列， 11 (1) 2222 n n a
20、n n， 1 2n n an 故选：B 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 （3 分）已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的动点， 若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是( ) A(0, 2) B(1, 21) C( 2,0) D( 21,1) 【解答】解：设点A坐标为( , 2)tt，当AP、AQ均为圆切线时，90PAQ， 此时四边形PAQO为正方形，则|2OA ，即 22 ( 2)2tt， 解得0t ，2t ， 故(0, 2)A，( 2B，0)， 故选：AC 10 （3 分）已知( )f x为定义在R上的奇函数，当0x时，有(1)( )f xf x ，且
21、当0x， 1)时， 2 ( )log (1)f xx，下列命题错误的是( ) A(2019)( 2020)0ff B函数( )f x在定义域上是周期为 2 的函数 第 10 页（共 20 页） C直线yx与函数( )f x的图象有 2 个交点 D函数( )f x的值域为 1，1 【解答】 解： 根据题意， 当0x时， 有(1)( )f xf x ， 且当0x，1)时， 2 ( )log (1)f xx， 又由( )f x为奇函数，则( )f x的大致图象如图： 据此依次分析选项： 对于A， 当0x时， 有(1)( )f xf x ， 则(2 )(1 )()f xf xf x ， 即有(2)(
22、)f xf x， 又由当0x，1)时， 2 ( )log (1)f xx，则 2 (0)log 10f， 同时f（1）(0)0f ， 又由(2019)ff（1）0，(2020)(0)0ff， 又由( )f x为奇函数，则( 2020)(2020)0ff ， 故(2019)( 2020)0ff；A正确； 对于B，函数( )f x在定义域上不是周期为 2 的函数，B错误； 对于C，直线yx与函数( )f x的图象有 1 个交点，即(0,0)；C错误； 对于D，函数( )f x的值域为( 1,1)，D错误； 故选：BCD 11 （3 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关
23、”作了一次 调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5 ，女生喜欢抖音 的人数占女生人数 3 5 ，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可 能有( )人 附表： 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd A25 B45 C60 D75 【解答】解：设男生可能有x人，依题意可得列联表如下； 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 第 11 页（共 20 页） 男生 4 5 x 1 5 x x 女生 3 5 x 2 5 x x 总计 7 5 x 3
24、 5 x 2x 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 2 3.841K ， 由 2 2 4231 2() 2 5555 3.841 73 21 55 xxxxx x K xx x x ，解得40.335x ， 由题意知0x ，且x是 5 的整数倍，所以 45，60，和 75 都满足题意 故选：BCD 12 （3 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直 线l与抛物线C交于点A、B两点 （点A在第一象限） ， 与抛物线的准线交于点D， 若| 8AF ， 则以下结论正确的是( ) A4p BDFFA C| 2|BDBF D| 4BF 【解答】解
25、：如图，( 2 p F，0)，直线l的斜率为3，则直线方程为3() 2 p yx， 联立 2 2 3() 2 ypx p yx ，得 22 122030xpxp 解得： 3 2 A xp， 1 6 B xP， 由 3 |28 22 p AFpp，得4p 抛物线方程为 2 8yx 12 63 B xp，则 28 |2 33 BF ； | | cos60 BF BD ，| 2|BDBF， 816 |8 33 BDBF，则F为AD中点 运算结论正确的是A，B，C 故选：ABC 第 12 页（共 20 页） 三、填空题：三、填空题： 13 （3 分）随机变量X的取值为 0、1、2，(0)0.2P X
26、，0.4DX ，则EX 1 【解答】解：随机变量X的取值为 0、1、2，(0)0.2P X ，0.4DX ， 设(1)P Xa，则(2)0.8P Xa，00.8a剟， 则0 0.22(0.8)1.6EXaaa， 222 (1.6)0.2(0.6)(0.4) (0.8)0.4DXaaaaa， 整理，得： 2 0.20.240aa， 解得0.6a 或0.4a （舍)， 1.61.60.61EXa 故答案为：1 14 （3 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的最大值为3，其相邻两个零 点之间的距离为 2 ， 且( )f x的图象关于直线 3 x 对称， 则当, 6 6 x
27、 时， 函数( )f x的 最小值为 3 2 【解答】解：函数( )sin()f xAx中，3A ， 22 T ， T， 2 2 T ， ( )3sin(2)f xx， 又( )f x的图象关于直线 3 x 对称， 2() 32 k ，kZ，解得 7 6 k ，kZ， 第 13 页（共 20 页） | 2 ， 6 ； ( )3sin(2) 6 f xx ； , 6 6 x ，2 66 x ， 2 ，可得 1 sin(2) 62 x ，1， 3 ( ) 2 min f x 故答案为： 3 2 15 （3 分） 26 1 (2)x x 的展开式中，常数项为 60 ；系数最大的项是 【解答】解：展开
28、式的通项公式为 26612 3 66 1 1(2)( )2 rrrrrr Trxx x 痧，令1230r， 则4r ， 24 56 260T，故展开式的常数项为：60 （2）若设第1r 项的系数最大，则有： 66 (1)1 66 66 (1)1 66 22 22 rrrr rrrr 痧 痧 解得： 7 2 3 r剟，rZ ，2r ， 6 2212 3 26 36 2240Txx ； 系数最大项： 6 240x 故答案为：60， 6 240x 16 （3 分）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就， 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都
29、为直角三角 形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四 边形ABCD为正方形，5AD ，3ED ，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则 阳马PABCD的外接球的表面积等于 20 【解答】解：鳖臑PADE可以看成如图所示的长方体的一部分： 第 14 页（共 20 页） 则长方体的外接球即为鳖臑PADE的外接球， 又鳖臑PADE的外接球的体积为9 2， 鳖臑PADE的外接球的半径 3 2 2 R ， 222 13 2 22 EDADPA，10PA， 阳马PABCD可以看成如图所示的长方体的一部分： 则长方体的外接球即为阳马PABCD的外接球， 阳马PABC
30、D的外接球的半径 222 1 5 2 RADCDPA ， 阳马PABCD的外接球的表面积为4520， 故答案为：20 四、解答题：四、解答题： 17已知数列 n a的前n项和为 n S，且0 n a ， 2 42 nnn Saa （1）求数列 n a的通项公式； 第 15 页（共 20 页） （2）若 1 1 n n n SS b SS ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）0 n a ， 2 42 nnn Saa， 当1n 时， 2 111 42aaa，解得 1 2a ， 2n时， 2 111 42 nnn Saa ，又 2 42 nnn Saa， 两式相减可得 22 11
31、 422 nnnnn aaaaa ， 化为 11 ()(2)0 nnnn aaaa ， 由0 n a 可得 1 2 nn aa ， 则22(1)2 n ann； （2） 1 (22 )(1) 2 n Snnn n， 则 1 1 11111 (1)212 n n n SS b S Sn nnn ， 可得 111111 1 22312 n Tn nn 111 1 1212 n nn nn 18已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件 中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A；6a ；2 2b （1）满足有解三角形的序
32、号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解答】 解： （1） 2 63 3() baac cab ， 化为： 222 6 cos 23 acb B ac 由 53 cos 62 ， 可得 5 6 B 2 cos22cos1 2 A A，化为： 1 cos 2 A ，(0, )A，解得 3 A 可得不能同时出现作为条件 满足有解三角形的序号组合有：， （2）取 第 16 页（共 20 页） 由正弦定理可得： 62 2 sin sin 3 B ，解得sin1B ，(0, )B， 2 B 2c，ABC的面积 1
33、623 2 S 19如图（1） ，边长为 2 的正方形ABEF中，D，C分别为EF、AF上的点，且EDCF， 现沿DC把CDF剪切、 拼接成如图 （2） 的图形， 再将BEC，CDF，ABD沿BC，CD， BD折起，使E、F、A三点重合于点 A ，如图（3） （1）求证：BACD ； （2）求二面角BCD A 最小时的余弦值 【解答】解： （1）证明：折叠前，BEEC，BAAD， 折叠后BAAC ，BAAD， 又ACA DA， 所以BA平面ACD， 因为CD 平面ACD，所以BACD （2）解：作A ECD 交CD于点E，连结BE， BACD ，AEB 为二面角BCDA的平面角， 令ACa，A
34、 Db，2ab， 由题意得CAA D ， 22 ab A E ab ， 22 22 22 |2211 tan2 | A Bab ab A Eabab ab 22 22 2222 ()() ()() 22 2 abab abab abab 2 ()2() 2 2 baba abab 第 17 页（共 20 页） 二面角BCD A 最小时的余弦值为 1 3 20顺次连接椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的四个顶点恰好构成了一个边长为7且面积为 4 3的菱形 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C相切于点A，过点O作OMl，垂足为M，求AMO面积的最大 值 【解答】解：
35、（1）由题意知： 222 ( 7)7ab， 1 224 3 2 ab ，解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy ； （2）显然直切线的的斜率存在且不为 0，设直线: l ykxt， 联 立 方 程 组 22 3412 ykxt xy ， 消 去y， 整 理 得 222 (34)84120kxkt xt， 且 2222 644(34)( 412)0k tkt， 得 22 43tk，所以 2 84 2(34) A ktk x kt ， 联立 1 yx k ykxt ，得 2 1 M kt x k ， 第 18 页（共 20 页） 所以 2 2 2 | |
36、|1 1 1 ktt OMk k k ， 则 32 22 22 2 444| |1|1| 1(1) | |1 kktkkktk AMkk tkt k tk ， 2 22 11| |1 |111 | | 1 222124 | |11 | | AMO ktk SAMOM k tkk k k ， 当且仅当1k 时，等号成立， 故ABM面积最大值为 1 4 ， 21已知函数 2 ( )(2)2(f xlnxaxaxa为常数） （1）若( )f x在(1，f（1）)处的切线与直线30xy垂直，求a的值； （2）若0a ，讨论函数( )f x的单调性； （3）若a为正整数，函数( )f x恰好有两个零点，
37、求a的值 【解答】 解： （1） 由题意0x ， 1(1)(21) ( )2(2) axx fxaxa xx ， 则 f （1）1a， 由于函数( )yf x的图象在(1，f（1）)处的切线与直线30xy垂直， 则 1 (1) ()1 3 f ， f （1）13a ，因此，4a ； （2）0a ，则 1 0 a 若02a时， 11 2a ， 当 1 0 2 x或 1 x a 时，( )0fx， 11 2 x a 时，( )0fx， ( )yf x在 1 (0, ) 2 和 1 (,) a 单调递增，在 1 1 ( ,) 2 a 单调递减， 若2a 时， 11 2a ，对0x ，( ) 0fx恒
38、成立，( )yf x在(0,)单调递增； 若2a 时， 11 2a ，当 1 0x a 或 1 2 x 时，( )0fx， 11 2 x a 时，( )0fx， ( )yf x在 1 (0,) a 和 1 ( ,) 2 单调递增，在 1 1 (, ) 2a 单调递减； 第 19 页（共 20 页） （3）a为正整数，若02a，则1a ， 2 ( )32f xlnxxx， 由（2）知( )yf x在 1 (0, ) 2 和(1,)单调递增，在 1 (,1) 2 单调递减， 又f（1）0，( )yf x在区间 1 ( ,) 2 内仅有 1 实根， 1 ( )(1)0 2 ff， 又 24222 (
39、)3(3)0f eeeee ，( )yf x在区间 1 (0, ) 2 内仅有 1 个实根 此时( )yf x在区间(0,)内恰有 2 个实根； 若2a ，( )yf x在(0,)单调递增，至多有 1 个实根 若2a ， 2 111111 ( )( )( )(2)( )21flnaaln aaaaaa ， 令 1 t a ，则 1 0 2 t ，1ylntt ， 1 10y t ， 111 120 222 ylnln 由（2）知( )yf x在 1 1 (, ) 2a 单调递减，在 1 (0,) a 和 1 ( ,) 2 单调递增， 11 ( )( )0 2 ff a ，( )yf x在(0,
40、)至多有 1 个实根 综上，1a 22某公司为了了解年研发资金投人量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 i x和年销售额 i y的数据，进行了对比分析，建立了 两个函数模型： 2 yx， x t ye ，其中、t均为常数，e为自然对数 的底数并得到一些统计量的值令 2 ii ux，(1 ii vlny i，2，12)，经计算得如下数 据： x y 12 2 1 () i i xx 12 2 1 () i i yy u v 20 66 77 2 460 4.20 12 2 1 () i i uu 12 1 ()() ii i uuyy 12 2
41、 1 () i i vv 12 1 ()() ii i xx vv 31250 215 3.08 14 （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2） （）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程； 第 20 页（共 20 页） （）若下一年销售额y需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？ 附：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 回归直线 yabx中公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 参考数据：308477，9
42、09.4868， 4.4998 90e 【解答】解： （1）由题意， 12 1 1 1212 22 11 ()() 21521543 0.86 25050312502 ()() ii i ii ii uuyy r uuyy ， 12 1 2 1212 22 11 ()() 141410 0.91 770.211773.08 ()() ii i ii ii xx vv r xxvv ， 所以 12 | |rr，从相关系数的角度，模型 x t ye 的拟合程度更好； （2）( ) i先建立v关于x的线性回归方程， 由 x t ye ，得lnytx ，即vtx ；（6 分） 由于 12 1 12 2 1 ()() 14 0.18 77 () ii i i i xx vv xx
