2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的有一项是符合題目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A |2xl x 剟 B |02xx剟 C |x xl D |0x x 2 （5 分）命题“xR ， 2 10xx ”的否定是( ) AxR ， 2 1 0xx BxR ， 2 10x

2、x C 0 xR， 2 00 1 0xx D 0 xR， 2 00 10xx 3 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 5 2 ，则双曲线C的渐近线方程为( ) A20xy B20xy C30xy D30xy 4 （5 分）设 0.5 log3a ， 3 0.5b ， 0.5 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 5 （5 分）为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周若课程“乐”不排在第

3、一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A216 B480 C504 D624 6 （5 分）函数|sinyxx的部分图象可能是( ) A B C D 7 （5 分）设当x时，函数( )3sin4cosf xxx取得最小值，则sin( ) 第 2 页（共 21 页） A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 8（5 分）函数 2 2log,1 ( ) (1),1 x x f x f xx ，若方程( )2f xxm 有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(,4) B(，4 C( 2,4) D( 2，4 二、多项选择题：本題共二、多项选择题：

4、本題共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得符合題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9（5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 2 K的观测值4.762k ，则可以推断出( ) 满意不满意男 30 20 女 40 10 2 ()P kk 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.8

5、41 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10 （5 分）已知函数( )sin(3)() 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称，则( ) A函数() 12 f x 为奇函数 B函数( )f x在12 ， 3 上单调递増 C若 12 |()()| 2f xf x，则 12 |xx的最小值为 3 D函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数cos3yx 的图象 11 （5 分）如图，在正方体 1

6、111 ABCDABC D中，点P在线段 1 B C上运动，则( ) 第 3 页（共 21 页） A直线 1 BD 平面 11 AC D B三棱锥 11 PAC D的体积为定值 C异面直线AP与 1 A D所成角的取值范用是45，90 D直线 1 C P与平面 11 AC D所成角的正弦值的最大值为 6 3 12 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，点P在l上的射影为 1 P，则( ) A若 12 6xx则| 8PQ B以PQ为直径的圆与准线l相切 C设(0,1)M，则 1 |2PMPP

7、 D过点(0,1)M与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有 2 条三、填空題：本題共三、填空題：本題共 4 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若向量a，b满足| 1a ，|2b ，且()aab，则a与b的夹角为 14 （5 分）已知随机变量 2 (1,)XN，( 11)0.4PX ，则(3)P X 15（5 分）设点P是曲线 2x yex上任一点，则点P到直线1xyO 的最小距离为 16 （5 分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，6PA ， 2 3AB ，2AC ，4BC ，则：（1）球O的表面积为；（2）若D是

8、BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟第 4 页（共 21 页） 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，求ABC的面积注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 n S

9、满足2(1)() nn Sna nN且 1 2a （1）求数列 n a的通项公式；（2）设(1)2 n a nn ba求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形，/ /ADBC，BCCD，平面SCD 平面ABCDSCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，224BCADCD， E为BS上一点，且2BEES （1）证明：直线/ /SD平面ACE；（2）求二面角SACE的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的 22 22 1 xy ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点，直线ykx与椭圆交于A，B两点， | 8AFBF （1）求椭圆的标准方

10、程；（2）设(3,0)Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围 21 （12 分）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障各条生产第 5 页（共 21 页）线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 1 3 （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修已知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不

11、能及时维修，该生产线将不创造利润以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n 与2n 之中选其一，应选用哪个？（实际获利生产线创造利润一维修工人工资） 22 （12 分）已知函数 22 13 ( )()2 24 f xxax lnxaxx，其中0ae （1）求函数( )f x的单调区间；（2）讨论函数( )f x零点的个数；（3）若( )f x存在两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 1 2 x xe 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单

13、 2 00 1 0xx D 0 xR， 2 00 10xx 【解答】解：命题“xR ， 2 10xx “的否定是 0 xR， 2 00 1 0xx ，故选：C 3 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 5 2 ，则双曲线C的渐近线方程为( ) A20xy B20xy C30xy D30xy 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 5 2 ，可得： 5 2 c a ，即 2 2 5 1 4 b a ，可得 1 2 b a ，则双曲线C的渐近线方程为：20xy 故选：B 4 （5 分）设 0.5 log3

14、a ， 3 0.5b ， 0.5 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 第 7 页（共 21 页）【解答】解： 0.5 log30a ， 3 0.5(0,1)b， 0.50.5 1 ( )31 3 c ，则abc 故选：A 5 （5 分）为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A216 B480 C504 D624 【解答】解：根据题意，分 2 种

15、情况讨论：， “御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的 5 周，有 5 5 120A 种排法，， “御”不排在第一，则“御”的排法有 4 种， “乐”的排法有 4 种，将剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的 4 周，有 4 4 24A 种情况，则此时有4424384 种排法，则一共有120384504种排法；故选：C 6 （5 分）函数|sinyxx的部分图象可能是( ) A B C D 【解答】解：当0x时，sinyxx， 1cos0yx ，函数y单调递增，当0x， 2 时，12y剟，所以函数sinyxx在0， 2 图象在yx上方，排除A，C 当0x 时，sinyx

16、x ，第 8 页（共 21 页） 1cos0yx ，函数y单调递减，当 2 x ，0时，10y剟，所以函数sinyxx在 2 ，0图象在yx 下方，排除B，故选：D 7 （5 分）设当x时，函数( )3sin4cosf xxx取得最小值，则sin( ) A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解： 34 ( )3sin4cos5( sincos )5sin() 55 f xxxxxx，其中 4 sin 5 ， 3 cos 5 ，由( )5sin()5f ，可得sin()1 ， 2 2 k ，kZ， 2 2 k ，kZ， 3 sinsin(2)sin()cos 2

17、25 k ，故选：C 8（5 分）函数 2 2log,1 ( ) (1),1 x x f x f xx ，若方程( )2f xxm 有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(,4) B(，4 C( 2,4) D( 2，4 【解答】解：根据函数解析式作出函数图象如图：则有2 12m ，解得4m ，故选：A 第 9 页（共 21 页）二、多项选择题：本題共二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得符合題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部

18、分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9（5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 2 K的观测值4.762k ，则可以推断出( ) 满意不满意男 30 20 女 40 10 2 ()P kk 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有99%的把握认为男、

19、女生对该食堂服务的评价有差异【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为： 4 5 ；男生对食堂的满意率为 3 5 ；故A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 3 5 ，A正确；对于B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B错误；由题意算得， 2 4.7623.841k ，参照附表，可得：有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；故C正确，D错误故选：AC 10 （5 分）已知函数( )sin(3)() 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称，则( ) A函数() 12 f x 为奇函数 B函数( )f x在12 ， 3 上单调递増 C若 12 |()()

20、| 2f xf x，则 12 |xx的最小值为 3 第 10 页（共 21 页） D函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数cos3yx 的图象【解答】解：函数( )s i n ( 3) () 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称， 3 42 k ，kZ； 22 ， 4 ；( )sin(3) 4 f xx ；对于A，函数()sin3()sin(3 ) 12124 f xxx ，根据正弦函数的奇偶性，所以 ()( )fxf x 因此函数( )f x是奇函数，故A正确对于B，由于12x ， 3 ，30 4 x ， 3 4 ，函数( )sin(

21、3) 4 f xx 在12 ， 3 上不单调，故B错误；对于C，因为( )1 max f x，( )1 min f x 又因为 12 |()()| 2f xf x，( )sin(3) 4 f xx 的周期为 2 3 T ，所以则 12| | xx的最小值为 3 ，C正确；对于D，函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数 ()sin3()sin3 444 f xxx ，故D错误故选：AC 11 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点P在线段 1 B C上运动，则( ) A直线 1 BD 平面 11 AC D B三棱锥

22、 11 PAC D的体积为定值 C异面直线AP与 1 A D所成角的取值范用是45，90 D直线 1 C P与平面 11 AC D所成角的正弦值的最大值为 6 3 第 11 页（共 21 页）【解答】解：在A中， 1111 ACB D， 111 ACBB， 1111 B DBBB， 11 AC平面 11 BB D， 111 ACBD，同理， 11 DCBD， 1111 ACDCC，直线 1 BD 平面 11 AC D，故A正确；在B中， 11 / /ADBC， 1 AD 平面 11 AC D， 1 BC 平面 11 AC D， 1 / /BC平面 11 AC D，点P在线段 1 B C上

23、运动，P到平面 11 AC D的距离为定值，又 11 AC D的面积是定值，三棱锥 11 PAC D的体积为定值，故B正确；在C中，异面直线AP与 1 A D所成角的取值范用是60，90 ，故C错误；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体 1111 ABCDABC D中棱长为 1，(P a，1，)a，则(0D，0，0)， 1(1 A，0，1)， 1(0 C，1，1)， 1 (1DA ，0，1)， 1 (0DC ，1，1)， 1 (C Pa， 0，1)a ，设平面 11 AC D的法向量(nx，y，) z，则 1 1 0 0 n

24、DAxz n DCyz ，取1x ，得(1n ，1，1)，直线 1 C P与平面 11 AC D所成角的正弦值为： 1 22 2 1 |11 | |11 (1)3 32() 22 C P n C Pn aa a ，当 1 2 a 时，直线 1 C P与平面 11 AC D所成角的正弦值的最大值为 6 3 ，故D正确故选：ABD 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，点P在l上的射影为 1 P，则( ) A若 12 6xx则| 8PQ B以PQ为直径

25、的圆与准线l相切 C设(0,1)M，则 1 |2PMPP D过点(0,1)M与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有 2 条【解答】解：若直线的斜率存在，设(1)yk x，由 2 (1) 4 yk x yx ，联立解方程组 2222 (24)0k xkxk， 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x ， A，若 12 6xx，则 2 1k ，故1k 或1， 2 121 2 |1 1 ()42 4 28PQxxx x，故A正确；取PQ点中点M，M在l上的投影为N，Q在l上的投影为 Q ，根据抛物线的定义， 1 | |PPPM，| |QQQM ， M，N为梯形的中点，故 1 11

26、 |(|)| 22 MNPPQQPQ，故B成立；对于C，(0,1)M， 1 | |2PMPPMPPFMF，过(0,1)M相切的直线有 2 条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条故选：ABC 第 13 页（共 21 页）三、填空題：本題共三、填空題：本題共 4 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若向量a，b满足| 1a ，|2b ，且()aab，则a与b的夹角为 3 4 【解答】解：向量a，b满足| 1a ，|2b ，且()aab，设a与b的夹角为，则有()0a ab，即 2 aa b，故有112cos ， 2 co

27、s 2 再由0 剟，可得 3 4 ，故答案为 3 4 14 （5 分）已知随机变量 2 (1,)XN，( 11)0.4PX ，则(3)P X 0.1 【解答】解：随机变量 2 (1,)XN，对称轴为1x ，又( 11)0.4PX ，(13)0.4PX，则 1 (3)1( 13)0.1 2 P XPx 故答案为：0.1 15 （5 分）设点P是曲线 2x yex上任一点，则点P到直线1xyO 的最小距离为 2 【解答】解：由 2x yex，得2 x yex，设平行于直线10xy 的直线与曲线 2x yex上切于 0 (x， 0) y，则 0 0 21 x ex，解得 0 0x ，则切点

28、为(0,1)，过切点的直线方程为1yx，即10xy 点P到直线10xy 的最小距离为 |1( 1)| 2 2 d 故答案为：2 16 （5 分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，6PA ， 2 3AB ，2AC ，4BC ，则：（1）球O的表面积为 52 ；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是【解答】解：（1）由题意如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，第 14 页（共 21 页）所以底面外接圆的半径2 2 BC r ，球心为过底面外接圆的圆心 O 垂直于底面与中截面的交点O，即3 2 PA OO ，连接OA，设外

29、接球的半径为R，所以 22222 2313Rr OO ，所以外接球的表面积 2 441352SR；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，D， O 重合，则截面面积的最小时是与 OO 垂直的面，既是三角形ABC的外接圆，而三角形ABC 是外接圆半径是斜边的一半，即 2，所以截面面积为 2 24；故答案分别为：52，4 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsi

30、n 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，求ABC的面积注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：若选：由正弦定理得()()()ab abcb c，即 222 bcabc，所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ，因为(0, )A，所以 3 A ，第 15 页（共 21 页）又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6bc，所以4bc ，所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 若选：由正弦定理得：sinsinsinc

31、os() 6 ABBA 因为0B，所以sin0B ，sincos() 6 AA ，化简得 31 sincossin 22 AAA，即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A 又因为 222 2cos 6 abcbc ，所以 2222 ()6(2 6) 2323 bca bc ，即2412 3bc ，所以 111 sin(2412 3)63 3 222 ABC SbcA 若选：由正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB ，因为0B，所以sin0B ，所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA，所以cos2sincos 222 AAA ，因为0A，0 2

32、2 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ，所以 3 A 又 2222 ()3abcbcbcbc，2 6a ，6bc，所以4bc ，所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 第 16 页（共 21 页） 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足2(1)() nn Sna nN且 1 2a （1）求数列 n a的通项公式；（2）设(1)2 n a nn ba求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解：（1）由题意，2(1) nn Sna，*nN 则 11 2(2) nn Sna ，*nN 两式相减，得 11 2(2)(1)

33、nnn anana ，整理，得 1 (1) nn nana 即 1 1 nn aa nn ，*nN 数列 n a n 为常数列 1 2 1 n aa n ，数列 n a的通项公式为：2 n an （2）由（1），设(1)2(21) 4 n an nn ban则 123 1 43 45 4(21) 4n n Tn ， 2341 41 43 45 4(23) 4(21) 4 nn n Tnn 两式相减，得： 231 342 (444 )(21) 4 nn n Tn 21 1 44 342(21) 4 14 n n n Tn 化简，得 1 20(65)4 99 n n n T 19 （12 分

34、）如图，在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形，/ /ADBC，BCCD，平面SCD 平面ABCDSCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，224BCADCD， E为BS上一点，且2BEES （1）证明：直线/ /SD平面ACE；（2）求二面角SACE的余弦值第 17 页（共 21 页）【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF 因为/ /ADBC，所以AFD与BCF相似所以2 BFBC FDAD 又2 BEBF ESFD ，所以/ /EFSD 因为EF 平面ACE，SD平面ACE，所以直线/ /SD平面ACE （2）解：平面SCD 平面ABCD，平面SCD平面ABCDC

35、D，BC 平面ABCD， BCCD，所以BC 平面SCD 以C为坐标原点，,CD CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向，与,CD CB均垂直的方向作为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 则(0C，0，0)，(1S，1，0)，(0A，2，2)， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 E， (0CA，2，2)，(1CS ，1，0)， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 CE 设平面SAC的一个法向量为(mx，y，) z，则 220 0 m CAyz m CSxy ，令1x ，得(1m ，1，1)，设平面EAC的一个法向量为(nx，y，) z，则 220 224 0 333

36、n CAyz n CExyz ，令1z ，得( 1n ，1，1) 设二面角SACE的平面角的大小为，第 18 页（共 21 页）则 |11 cos | |333 m n mn 所以二面角SACE的余弦值为 1 3 20 （12 分）已知椭圆的 22 22 1 xy ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点，直线ykx与椭圆交于A，B两点， | 8AFBF （1）求椭圆的标准方程；（2）设(3,0)Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围【解答】解：（1）设 F 为椭圆的左焦点，连接 F B ，由椭圆的对称性可知，| |AF FB ，所以| | 28AFBFAFAFa，所以4a ，

37、又 3 2 c e a ， 222 abc，解得2b ，所以椭圆的标准方程为： 22 1 164 xy （2）设点( , )A x y，( ,)B x y，则(3, )QAxy，(3,)QBxy，联立直线与椭圆的方程整理得： 22 (1 4)160kx，所以0x x ， 2 16 14 xx k ， 2 2 2 16 14 k yyk xx k ，因为AQB为锐角，所以0QA QB ，所以 2 2 1 6 ( 1) (3 ) (3 )3 ()990 14 k QA QBxxyyxxxxyy k ，整理得： 2 207k ，第 19 页（共 21 页）解得： 35 10

38、k ，或 35 10 k 21 （12 分）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 1 3 （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修已知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润以该企业每月实际获利的期望值为

39、决策依据，在1n 与2n 之中选其一，应选用哪个？（实际获利生产线创造利润一维修工人工资）【解答】解：（1）设 3 条生产线中出现故障的条数为X，则 1 (3, ) 3 XB 该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率： 12 3 124 (1)( )( ) 339 P XC （2）当1n 时，设该企业每月的实际获利为 1 Y万元若0X ，则 1 123 135Y ，若1X ，则 1 1228 10 1 131Y ，若2X ，则 1 12 18 10 1 119Y ，若3X ，则 1 1208 10217Y ，又 03 3 28 (0)( ) 327 P XC， 22

40、3 126 (2)( ) ( ) 3327 P XC， 33 3 11 (3)( ) 327 P XC，此时，实际获利 1 Y的均值为： 1 81261773 3531197 2727272727 EY 当2n 时，设该企业每月的实际获利为 2 Y万元第 20 页（共 21 页）若0X ，则 2 123234Y ，若1X ，则 2 1228 1230Y ，若2X ，则 2 12 182226Y ，若3X ，则 2 120820 1214Y ， 2 81261802 34302614 2727272727 EY，因为 12 EYEY 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1

41、n 与2n 之中选其一，应选用2n 22 （12 分）已知函数 22 13 ( )()2 24 f xxax lnxaxx，其中0ae （1）求函数( )f x的单调区间；（2）讨论函数( )f x零点的个数；（3）若( )f x存在两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 1 2 x xe 【解答】解：（1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 113 ( )()()2 22 x fxxa lnxxaxa x ， 13 ()2 22 x xa lnxxaa， ()(1)xa lnx，令( )0fx，得xa或xe，因为0ae，当0xa或xe时，( )0fx，( )f x单

42、调递增；当axe时，( )0fx，( )f x单调递减，所以( )f x的增区间为(0, )a，( ,)e ，减区间为( , )a e，（2）取1min，2 a，则当(0, )x时， 1 0 2 xa，0lnx ， 3 20 4 x a ， 13 ( )()(2)0 24 x f xxxa lnxxa，又因为0ae，由（1）可知( )f x在(0, )a上单增，因此，当(0x，a，恒( )0fx，即 ( )f x在(0，a上无零点下面讨论xa的情况：第 21 页（共 21 页）当0 4 e a时，因为( )f x在( , )a e单减，( ,)e 单增，且f（a）0，f（e）

43、0， 2 ()0f e，根据零点存在定理，( )f x有两个不同的零点当 4 e a 时，由( )f x在( , )a e单减，( ,)e 单增，且f（e）0，此时( )f x有唯一零点e 若 4 e ae，由( )f x在( , )a e单减，( ,)e 单增，( )f xf（e）()0 4 e e a，此时( )f x 无零点综上，若0 4 e a，( )f x有两个不同的零点；若 4 e a ，( )f x有唯一零点e；若 4 e ae， ( )f x无零点（3）证明：由（2）知，0 4 e a，且 12 axex，构造函数 2 ( )( )() e F xf xf x ，( , )xa e，则 424324 323 ( )()(1)(1)()(1) eaexaxe axe F xxa lnxlnxlnx xxx

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