1、第3章 导数的应用 3.1 微分中值定理 3.2 罗必塔法则 3.3 函数的单调性、极值和最值 3.4 函数图形的凹凸与拐点 3.5 曲线的曲率3.1 微分中值定理微分中值定理3.1.1 罗尔定理定理3.1（罗尔理）设函数 满足下列三个条件：（1）在闭区间 上连续，（2）在开区间 内可导，（3）在两端点处的函数值相等，即 。则在 内至少有一点 使得函数 在该点处的导数等于零，即 。()f x,a b(,)a b()()f af b(,)a b()f x()0f下图是罗尔定理的几何直观表示，你能说出罗尔定理的几何意义是什么吗?几何意义是：在两个高度相同的点之间的一段连续曲线上，除端点外各点都有不
2、垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线是水平的。注意：罗尔定理要求函数必须同时满足三个条件，否则结论不一定成立。OabxyBAP图3-1例例3.1验证函数验证函数并求出并求出 。解解 在区间在区间 上连续，上连续，所以所以 满足罗尔定理的三个条件。满足罗尔定理的三个条件。令令 。所以存在。所以存在 ，使得，使得 。由罗尔定理可知，如果函数由罗尔定理可知，如果函数 满足定理的三个条件，则方程满足定理的三个条件，则方程 在区间在区间 内至少有一个实根。这个结论常被用来证明某些方程的根的存在性。内至少有一个实根。这个结论常被用来证明某些方程的根的存在性。2()6 2,1f xxx在区间上罗尔定理成
3、立，2()6f xxx 2,1()21(2,1)fxx在内存在，(2)(1)4,ff()f x1()2102fxxx ，得12()0f()yf x()0fx(,)a b例例3.2如果方程如果方程 有正根有正根 ，证，证明方程明方程 必定在必定在 内有根。内有根。320axbxcx2320axbxc0(0,)x0 x32()f xaxbxcx()f x00,x证明证明 设设 ，则，则 在在 上连续，上连续，在在 内存在，且内存在，且 。所以。所以 在在 上满足罗尔定理的条件。上满足罗尔定理的条件。由罗尔定理的结论，在由罗尔定理的结论，在 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 ，即，即 为方程为
4、方程 的根。的根。2()32fxaxbxc0(0,)x0(0)()0ff x()f x00,x0(0,)x2()320fabc320axbxcx3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 定理定理3.2（拉格朗日中值定理）设函数（拉格朗日中值定理）设函数 满足系满足系列条件：列条件：（1）在闭区间）在闭区间 上连续，上连续，（2）在开区间在开区间 内可导，内可导，则在则在 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 。()f x,a b(,)a b(,)a b()ab()()()f bf afba下图（图下图（图3-2）是拉格朗日值值定理的几何直观表示，你能说）是拉格朗日值值定理的几何直观表示，你
5、能说出朗格朗日中值定理的几何意义吗？出朗格朗日中值定理的几何意义吗？PoyABbxa3-2图如果曲线 上连续，且除端点A,B外处处都有不垂直于X的切线，那么在这条曲线上（两端点除外）至少有一点P，使得该点的切线与线段AB平行。注意：拉格朗日中值定理要求函数同时满足两个条件，否则结论不一定成立。()f x 在a,b例例3.3验证验证 在区间在区间 上拉格朗日中值成立，并求出上拉格朗日中值成立，并求出 。解显然解显然 在区间在区间 上连续，上连续，在在 内存在。内存在。所以拉格朗日中值定理成立。令所以拉格朗日中值定理成立。令 ，即，即 所以所以 。2()f xx1,22()f xx1,2()2fx
6、x(1,2)(2)(1)()2 1fffx23,x 则x=1.5,1.5例例3.4证明证明 时，不等式时，不等式 。证明改写欲求证的不等式为证明改写欲求证的不等式为 。构造函数。构造函数 ，因为，因为 ，即要证，即要证 ，因为，因为 在在 上连续，上连续，在在 内存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一点内存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一点 ，使，使得得 ，即，即 ，显然，显然 ，则，则 ，改写的欲求证的不等式成立，原不等式得证。，改写的欲求证的不等式成立，原不等式得证。0 x ln(1)1xxxx1ln(1)11xxx()ln(1)f xx(0)ln10f1ln(1)ln1110 xxx
7、()ln(1)f xx00,x1()1fxx0(0,)x(0)xln(1)ln1()0 xfxln(1)11xx1 11x 11111x拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式，如：（1）（2）（3）()()()()()=()+()()f bf afb af b f a fb a或（a 0，则曲线在 内是凹的；如（2）如果在区间 内 0，则曲线在 内是凸的。()fx(,)a b()yf x(,)a b(,)a b(,)a b()fx(,)a b定理1例1 判定曲线 在 内的凹凸性。解：，令 ，得 ；在 内 0，曲线是凹的。sinyx0,2()cosfxx()sinfxx()0f x(0,2)x(0
8、,)()fx(,2)()fx3.4.2 3.4.2 拐点及其求法拐点及其求法 定义定义2 2 若连续曲线若连续曲线 上的点上的点 是凹的曲是凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点，则称点线弧和凸的曲线弧的分界点，则称点 是曲是曲线的拐点。线的拐点。()yf xPP拐点的求法（1)设 在考察范围 内有二阶导数，求出 ；（2）求出 在 内的的零点及使 不存在的点；（3）用上述各点从小到大依次将 分成若干个子区间，考察在每个子区间内的符号，若在分割点两侧 异号，则 该点是曲线的拐点，否则不是。这一步通常以列表表示。()y f x(,)a b()fx()fx(,)a b()fx(,)a b()fx例2 求曲线
9、 的凹凸区间与拐点。解：（1）考察范围为函数的定义域 ，；（2）在 无 的零点，不存在的点为 ；（3）列表（符号 表示凹的，符号 表示凸的）。132(4)yx(,)231(4)3yx532(4)9yx(,)yy4x 例2表格（表格1）不存在 拐点xyy(,4)4(4,2)(4,)3.4.3 函数的渐近线函数的渐近线定义定义3 若曲线 上的动点 沿着曲线无限地远离原点时，点 与某一固定直线 的距离趋近于零，则称直线 为曲线 的渐近线渐近线。CPPLLC1.水平渐近线 定义定义4 设曲线的方程为 ，若当 或 时，有 ,（为常数），则称曲线有水平渐近线水平渐近线 。()y f xxx()f xbby
10、b例3 求曲线 的水平渐近线。解：因为 ，所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图3。221xyx22lim11xxx1y xyo2.垂直渐近线 定义定义5 设曲线的方程为 ，若当 或当 （为常数）时，有 或 ，则称曲线有 垂直渐近线垂直渐近线 。()yf xxaxaa()f x ()f x xa例4 求曲线 的渐近线。解：因为 所以当 从左、右两侧趋近于2时，曲 线分别向下、上无限延伸，所以 为其垂直渐近线。又 ，所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图4。12xyx2211lim,lim22xxxxxx x2x 1lim02xxx 0y 图421oxy3.4
11、.4 函数的分析作图法函数的分析作图法 作函数的图象，其基本方法就是描点法。对于一些不常见的函数，因为对函数的整体性质不甚了解，取点容易盲目，这大大影响了作图的精确性。现在我们已经能利用导数来确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸性与拐点，还会求曲线的渐进线，这样一方面可以 取极值点、拐点等关键点作为描点的基础，减少描点的盲目性；另一方面因为对函数的变化有了整体的了解，可以结合单调性、凹凸性等，描绘较为准确的图象，这就为以分析函数为基础的描点作图法创造了条件。函数分析作图法的步骤（1）确定函数的考察范围（若无明确的考察范围，则一般就是函数的定义域），判断函数有无奇偶性与周期性，确定作图范围；（2
12、）求函数的一阶导数，确定函数的单调区间与极值点；（3）求 函数的二阶导数，确定函数的凹凸区间与拐点；（4）若作图范围是无界的，考察函数图象有无渐进线；（5）根据上述分析，最后以描点法作出函数图象。其中第（2）、（3）步常常一气呵成。若关键点太少，可以适当计算一些特殊点的函数值，如曲线与坐标轴的交点等等。例5 描绘函数 的图象。解：（1）函数的考察区间是函数的定义域 ，函数是偶函数，关于轴对称，所以只要作出在 范围内的图象，再关于轴对称，即得全部图象；（2），令 得 ；（3），令 ，得 ；2xyeR0,)22xyxe 0y 0 x 222(21)xyxe0y 20,)2x 列表（表格2）极大值
13、1拐点yyy2(,0)20220 x02(,)2ee2(0,)22(,)2（4）当）当 时，有时，有 ，所以图象有水平渐进，所以图象有水平渐进线线 。（5）根据上述讨论结果，作出函数在上的图象，并利）根据上述讨论结果，作出函数在上的图象，并利用对称性，画出全部图形。所得图象为概率曲线（图用对称性，画出全部图形。所得图象为概率曲线（图5）x 0y 0y 10.52222oyx例6 描绘函数 的图象。解：（1）函数的定义域是 ，是偶函数，所以只要作出在 范围内的图象；（2），令 ，得 ，无不可导点；（3），无零点，也无二阶导数不存在的点；221xyx(,1)(1,1)(1,)0,1(1,)222(1)xyx0y 0 x 22326(1)xyxy列表（表格3）极大值 0 xyyy(1,0)00(0,1)(1,)（4），所以 是水平渐进线；，图象有垂直渐进线 ,且在 的左、右两侧分别向下、上无限延；（5）因为关键点太少故加取特殊点 ，22lim11xxx1y 222211lim,lim11xxxxxx 1x 0.5,0.75,1.75,20,1)(1,)x(0.5)0.33,(0.75)1.29,(1.75)1.49,(2)1.33yyyy1x 再根据上述讨论结果描绘出函数的图形（图6）2210.51yxo返回返回
