1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A8.4 8.4 微分方程的简单应用微分方程的简单应用8.4 8.4 微分方程的简单应用微分方程的简单应用利用微分方程求函数习例利用微分方程求函数习例1-7 微分方程在几何上的应用习例微分方程在几何上的应用习例8-11微分方程在物理和力学上的应用习例微分方程在物理和力学上的应用习例12-13应用微分方程解决实际问题的一般步骤应用微分方程解决实际问题的一般步骤微分方程的简单应用微分方程的简单应用一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤1、根据问题的实际背景，利用
2、数学和有关学科知识，建、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建立微分方程，确定定解条件；立微分方程，确定定解条件；2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程(共性共性)利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件(个性个性)初始条件初始条件边界
3、条件边界条件可能还有衔接条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 二、利用微分方程求解函数习例二、利用微分方程求解函数习例 满足方程设可微函数例)(1xfy xxdtttfxdttxf00,)()1()(。求求函函数数)(xfy,)()(sin)(20 xdttftxxxxf设例).()(xfxf连连续续，求求其其中中例例30()e()d,(0)0,xxxxx uu 设设?)(x如何求这里的这里的“函数方程函数方程”包括变上限积分、重积分、线面包括变上限积分、重积分、线面积分的方程以及偏微分方程等。积分的方程以及偏微分方程等。使曲线积
4、分试确定已知例)(,1)(5xLdyxdxxyxx与与路路径径无无关关。)()(sin 内满足以下条件内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求求 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(2003考研考研)(2)求出求出 的表达式的表达式.e2)()(xxgxf例例4 设设 其中函数其中函数 在在(,+)()()(),F xfx g x(),()fxg x()F x()F x满足方程且具有二阶连续偏导数已知例)sin(,)(7yefzufx,22222zeyzxzx 。求求)(xf且满足方程）上连续，在已知例,0)(6tf,)21()(22224224 ty
5、xtdxdyyxfetf。求求)(tf解解原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别对对x求导，得求导，得 xxdtttfxfxdttf020,)()()(上式两端再对上式两端再对x求导，得求导，得).()31()(2xfxxfx 满足方程设可微函数例)(1xfy xxdtttfxdttxf00,)()1()(。求求函函数数)(xfy).()31()(2xfxxfx 这是变量可分离方程，分离变量并积分得这是变量可分离方程，分离变量并积分得,31)()(2 dxxxdxxfxf,)31()(ln2 dxxxxf1ln31)(lncxxxf 1ln
6、31)(cxxexf )(,)(113cxecexcxf 解解是是可可导导的的，因因而而连连续续，所所以以方方程程的的右右端端因因为为)(xf为为也也可可导导。先先将将方方程程变变形形左左端端的的函函数数)(xf,)()(sin)(xxdtttfdttfxxxxf00求求导导，得得两两端端对对 x,)()()(sincos)(0 xxxfdttfxxfxxxxf xdttfxxxxf0.)(sincos)(即即求求导导得得仍仍然然可可导导，再再对对左左端端的的函函数数xxf)(),(coscos)sin)(xfxxxxxf （,)()(sin)(20 xdttftxxxxf设例).()(xfx
7、f连连续续，求求其其中中满满足足微微分分方方程程即即)(xf.sincos2xxxyy 此方程的特征方程为此方程的特征方程为,012r,2,1ir 特特征征根根为为 )(,2)(,1,0sin)(cos)(,2cos)(）型型（属属于于方方程程的的自自由由项项为为xxQxPxxQxxPexxfnlnlx 解解形形式式是是特特征征根根，所所以以设设其其特特由由于于ii0 .sin)(cos)(xDCxxxBAxxy代入微分方程得代入微分方程得.43,0,0,41 DCBA故其特解为故其特解为.sin43cos412xxxxy 从而方程的通解为从而方程的通解为.sin43cos41sincos22
8、1xxxxxcxcy 注意到，由注意到，由,)()(sin)(xdttftxxxxf0 xdttfxxxxf0.)(sincos)(,)()(000 ff可可得得由此确定通解中的任意常数由此确定通解中的任意常数,021 cc.sin43cos41)(2xxxxxf 因因此此，例例3 设设0()e()d,(0)0,xxxxxuu?)(x如何求提示提示:对积分换元对积分换元,uxt 令则有则有xxttx0d)(e)()(e)(xxx 解初值问题解初值问题:xxxe)()(,0)0(1)0(答案答案:xxxxe41)12(e41)(解解:(1)()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfx
9、g)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以所以 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:()F x内满足以下条件内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求求 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(2003考研考研)(2)求出求出 的表达式的表达式.e2)()(xxgxf例例4 设设 其中函数其中函数 在在(,+)()()(),F xfx g x(),()fxg x()F x()F x(2)由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，将0)
10、0()0()0(gfF1C得于是于是 xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee解解令令).(,)(sinxQxyxxP 即即故有故有由题意知应有，由题意知应有，),()(sin,xxxxxQyP 1.sin)()(xxxxx11 这是一个一阶线性方程，其通解为这是一个一阶线性方程，其通解为sin1)(11 cdxxexexdxxdxx 使曲线积分试确定已知例)(,1)(5xLdyxdxxyxx与与路路径径无无关关。)()(sin sin1 cxdxx.cos1cxx 所所以以可可得得由由,)(11 c.cos11)(xxx sin1 cxdxxsincxdxxxx11例例6
11、且且满满足足方方程程）上上连连续续，在在已已知知,)(0tf,)21()(22224224 tyxtdxdyyxfetf。求求)(tf解解这是一个含二重积分的函数方程，显然这是一个含二重积分的函数方程，显然 f(0)=1,由于由于drrrfddxdyyxfttyx 2020422)21()21(222 drrrfdt202021)(,)21(220drrrft 所以所以,)21(2)(2042rdrrfetftt 求求导导，得得两两端端对对 t),(88)(24ttftetft 这是一个一阶线性方程，其通解为这是一个一阶线性方程，其通解为8)(8482cdteteetftdtttdt 8222
12、444cdteteettt 824ctdtet 4242ctet 所所以以可可得得由由,)(110cf.14)(242 tetft 解解这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法这是一个偏微分方程，可通过多元函数微分法化为常微分方程来解。化为常微分方程来解。因为因为,sin)(yeufxzx ,cos)(yeufyzx ,sin)(sin)(2222yeufyeufxzxx 满足方程且具有二阶连续偏导数已知例)sin(,)(7yefzufx,22222zeyzxzx 。求求)(xf代入原方程，得代入原方程，得sin)(sin)(yeufyeufxx22,cos)(sin)(zeyeufyeufx
13、xx222,zeyzxzx22222.)()(0 ufuf这是一个二阶常系数齐次方程，其特征方程为这是一个二阶常系数齐次方程，其特征方程为,012r.121，特特征征根根为为 r,)(21uuececuf .)(xxececxf21,cos)(sin)(yeufyeufyzxx2222 三、微分方程在几何上的应用习例三、微分方程在几何上的应用习例)0()(8xxy设函数例二阶可导二阶可导,且且,0)(xy满足的方程。求且)(,12,212xyySSS(1999 考研考研 )(xyy 过曲线上任一点上任一点 作该曲线的作该曲线的,1)0(y(,)P x y切线及切线及 轴的垂线轴的垂线,上述两直
14、线与上述两直线与 轴围成的三角形面积轴围成的三角形面积xx积记为积记为 区间区间 0,上上,以以 为曲边的曲边梯形面积记为为曲边的曲边梯形面积记为,1S)(xyx例例9 在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点.)1,1(),(),(轴平行线与处的切且曲线在点轴的交点是法线与的倒数长度该点的法线段处的曲率等于此曲线在xxQPQyxP例例11 求经过原点的曲线族，在其上任一点求经过原点的曲线族，在其上任一点M).21(kOMPMTPxMPMT之比等于常数的面积与曲边三角形轴所构成的三角形及与垂线处的切线例例10 在连接点在连接点A(0,1)和和B(1,0)的的
15、一条上凸的曲线上任取一一条上凸的曲线上任取一.),(3，求此曲线方程之间的面积为已知曲线与弦点xAPyxP)0()(8xxy设函数例二阶可导二阶可导,且且,0)(xy满足的方程。求且)(,12,212xyySSS解解,0)(,1)0(xyy因为.0)(xy所以于是于是cot2121yS yy222S(1999 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1yxO)(xyy 过曲线上任一点上任一点 作该曲线的作该曲线的,1)0(y(,)P x y切线及切线及 轴的垂线轴的垂线,上述两直线与上述两直线与 轴围成的三角形面积轴围成的三角形面积xx积记为积记为 区间区间 0,上上,以以 为曲边的曲边梯形
16、面积记为为曲边的曲边梯形面积记为,1S)(xyx)(xyy 设曲线在点在点 处的切线倾角为处的切线倾角为 ,(,)P x y再利用再利用 y(0)=1 得得利用利用,1221 SS得得xttyyy021d)(两边对两边对 x 求导求导,得得2)(yyy 定解条件为定解条件为1)0(,1)0(yy),(ypy 令方程化为方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得利用定解条件得,11C,yy 再解得得,e2xCy,12C故所求曲线方程为故所求曲线方程为xye2ddpyppy2SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02例例9 在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点
17、在上半平面求一条上凹的曲线，其上任一点.)1,1(),(),(轴平行线与处的切且曲线在点轴的交点是法线与的倒数长度该点的法线段处的曲率等于此曲线在xxQPQyxPQoyxP(1,1)11解解处处的的法法线线方方程程为为曲曲线线在在点点),(yxP).(1xXyyY .xyyXY，得得令令0轴轴的的交交点点是是于于是是，法法线线与与 xPQyyxQ从从而而线线段段).,(0.)(22yyy长长度度是是根据题意得微分方程根据题意得微分方程2321/)(yyk 2223211yyyyy)()(/,yyy112.)(,)(0111yy,py 令令,)(dydppdxdydydpdxdpdxydy 则则
18、从而从而ydydppp112 ydyppdp 2112lnln)1ln(21cyp ,12212ycp 故故有有得得由由,)()(10111cyp12yydxydy12.)ln(221cxyy故故有有得得由由,)(1111cy).()ln(112xyy).()ln(112xyy.1)1(2 xeyy.1)1(2 xeyy.211)1(xxeey故，所求曲线方程为故，所求曲线方程为.211)1(xxeey221yp .12 yyp例例10 在连接点在连接点A(0,1)和和B(1,0)的的一条上凸的曲线上任取一一条上凸的曲线上任取一.),(3，求此曲线方程之间的面积为已知曲线与弦点xAPyxP解解
19、由由已已知知条条件件得得设设所所求求曲曲线线方方程程为为),(xyy B(1,0)oyxP(x,y)A(0,1)x3.)1(2130 xxyydxx 求求导导，得得两两边边对对 x,321)1(212xxyyy ,611xxyxy )61()1(1cdxexxeydxxdxx 1)61(cdxxxxx )61(2cdxxx 61cxxx .612cxx 故故有有得得由由,5,0)1(cy.5612xxy )61()1(1cdxexxeydxxdxx 例例11 求经过原点的曲线族，在其上任一点求经过原点的曲线族，在其上任一点M).21(kOMPMTPxMPMT之比等于常数的面积与曲边三角形轴所构
20、成的三角形及与垂线处的切线ToyxM(x,y)P解解由由已已知知条条件件得得设设所所求求曲曲线线方方程程为为),(xyy 的的方方程程为为的的切切线线过过点点MTM),(xXyyY ,0 xyyXY ，得得令令),0,(xyyTT 点点的的坐坐标标为为即即的的面面积积为为从从而而三三角角形形 MTP),(yxyxyyx )(21的的面面积积为为从从而而三三角角形形 MTP,212yy 故故有有的的面面积积为为而而曲曲边边三三角角形形,)(xdttyOMP0 xdttykyy022.)(求求导导，得得两两边边对对 xkyyyyyyy 2222.)1(22ykyy yykyy )1(2dxyykd
21、xyy )1(2.)1(21kycy dxcydyk1)1(2 xdcydyk 1)1(22112121cxcykk 故故有有得得由由,)(0002cy.121112xcykk )12(.112ckccxyk 112cykylnln)(ln.)1(21kycy 四、微分方程在物理和力学上的应用习例四、微分方程在物理和力学上的应用习例例例12.12.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子启动时一端离钉子8m,8m,另另一端离钉子一端离钉子12m,12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .例例13.13.从
22、船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求需按探测要求需确定仪器的下沉深度确定仪器的下沉深度y与下沉速度与下沉速度v 之间的函数关系之间的函数关系.设设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过在下沉过程中还受到阻力和浮力作用程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系比例系数为数为k(k0),试建立试建立y与与v所满足的微分方程所满足的微分方程,并求出函数并求出函数关系式关系式 y=y(v).(1995(1995考
23、研考研 )例例12.12.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子启动时一端离钉子8m,8m,另一端离钉子另一端离钉子12m,12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦力力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解 建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t,链条较长一段链条较长一段xOx下垂下垂x m m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数 此时链条受力此时链条受力,Fgxgx)20(gx)10(2由由Newton第二定律第二定律,得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22,120tx0dd
24、0ttxgxgtx10dd2210ee1.021.01tgtgCCx由初始条件得由初始条件得,121 CC故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得24)10(10e21.0 xxtg),1(舍去另一根左端(s)微分方程通解微分方程通解:10ee1.01.0tgtgx01e)10()(e1.021.0tgtgx当当 x=20 m 时时,)625ln(10gt思考思考:若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的质量长的质量,定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么?摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的质量长的质量 时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学
25、模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为xOxyOy例例13从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求按探测要求 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函数之间的函数 关系关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为m,体积为体积为B,海水
26、比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立y与与v所满足的微分所满足的微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgBgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得得得yOy质量质量 m体积体积 B注意注意:tvtydddd22tyyvddddyvvdd
