1、2020 届高三数学（理） “小题速练”26 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知集合 Ax|00)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线与双曲 线右支交于 P，Q 两点，若|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，且 PF1PF2，则该双曲线的离心 率为( ) A.14 3 B.9 2 C.11 2 D. 10 2 12已知函数 f(x)x32ex2，g(x)ln xax(aR R)，若 f(x)g(x)对任意 x(0，) 恒成立，则实数 a 的取值
2、范围是( ) A(0，e B e21 e， C2e1，) D 2e1 e2， 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 x，y 满足约束条件 2xy10， 2x2y50， x4y0， 则 zx2y 的最大值为_ 14已知 sin 3cos 2，则 tan _ 15(x1)6(xy)2的展开式中，x4y 的系数为_ 16.如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1 cm，其内壁是十 分光滑的镜面，一束光线从点 A 射出，在正方体内壁经平面 BCC1B1反 射，又经平面 ADD1A1反射后(反射过程服从镜面反射原理)，到达 C1D1 的中点 M，则该
3、光线所经过的路径长为_ cm. 2020 届高三数学（理） “小题速练”26（答案解析） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知集合 Ax|00，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线与双曲 线右支交于 P，Q 两点，若|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，且 PF1PF2，则该双曲线的离心 率为( ) A.14 3 B.9 2 C.11 2 D. 10 2 解析：选 D 由双曲线的定义知|QF2|QF1|2a，|PF2|PF1|2a， |PQ|QF2|PF2|QF1|PF1|4a.又|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，|PQ|1
4、2(|PF1| |QF1|)，|QF1|PF1|4a1 2(|PF1|QF1|)，|PF1|QF1|8a，|PQ|4a.由 PF1PF2 知， |PF1|2|PQ|2|QF1|2，解得|PF1|3a，|QF1|5a，|PF2|PF1|2aa.由|PF1|2|PF2|2 |F1F2|2，得 9a2a24c2，c 2 a2 10 4 ，即 e 10 2 .故选 D. 12已知函数 f(x)x32ex2，g(x)ln xax(aR R)，若 f(x)g(x)对任意 x(0，) 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A(0，e B e21 e， C2e1，) D 2e1 e2， 解析：选 B f(x
5、)g(x)ax22exln x x ，令 h(x)x22exln x x ，则 h(x)2x 2e1ln x x2 .当 0e 时，h(x)0，h(x)在(0，e)上单调递增，在 (e，)上单调递减h(x)的最大值为 h(e)e21 e.则 ae 21 e.故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 x，y 满足约束条件 2xy10， 2x2y50， x4y0， 则 zx2y 的最大值为_ 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当直 线 l0：x2y0 平移至经过点 A 2，1 2 时，zx2y 取得最大值 1. 答案：1 14已知 sin
6、 3cos 2，则 tan _ 解析：法一：sin 3cos 2，(sin 3cos )24.sin22 3sin cos 3cos24cos24sin2，3sin2cos22 3sin cos 0， 3sin 2cos22 3sin cos sin2cos2 0， 3tan22 3tan 1( 3tan 1)20， 解得 tan 3 3 . 法二：sin 3cos 2sin 3 2， sin 3 1， 3 2 2k，kZ Z， 6 2k，kZ Z， tan tan 6 2k tan 6 3 3 . 答案： 3 3 15(x1)6(xy)2的展开式中，x4y 的系数为_ 解析：(x1)6展开式
7、的通项为 Tr1Cr6x6 r，所以 x4y 的系数为 2C3 640. 答案：40 16.如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1 cm，其内壁是十 分光滑的镜面，一束光线从点 A 射出，在正方体内壁经平面 BCC1B1反 射，又经平面 ADD1A1反射后(反射过程服从镜面反射原理)，到达 C1D1 的中点 M，则该光线所经过的路径长为_ cm. 解析：如图，光线从点 A 射出通过两次镜面反射到达点 M，其路 径应该在平面 ABC1D1内 设光线在平面 BCC1B1和平面 ADD1A1内的反射点分别是点 P， Q， BC1 2 cm.如图，在矩形 ABC1D1中，过点 P 作 PEAD1于点 E，则D1M PE D1Q QE 1 2， QEAE， 则 BP2 5BC1 2 2 5 cm， AP AB2BP2 33 5 cm， APQP2QM 33 5 cm， 所以 APPQQM 33 5 33 5 33 10 33 2 (cm)，即该光线所经过的路径长为 33 2 cm. 答案： 33 2
