1、2020 届高三数学（理） “小题速练”30 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1复数 z= 2 1i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 2 30 , |17,Mx xxNxx ，则 R C MN （ ） A 37xx B37xx C13xx D13xx 3下列叙述中正确的是（
2、 ） A函数 2 2 2 ( ) 2 f xx x 的最小值是2 2 2 B“04m”是“ 2 1 0mxmx ”的充要条件 C若命题 2 :,10pxR xx ，则 2 000 :,10pxR xx D“已知, x y R ，若1xy ，则 , x y都不大于 1”的逆否命题是真命题 4已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线 的实轴长为（ ） A2 B4 C6 D8 5函数 3 xx ee y xx 的图像大致是（ ） A B C D 6一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积 为（ ） A
3、(4 ) 3 3 B(8 ) 3 6 C(8 ) 3 3 D(4) 3 7设 = 201， = ln 1 2， = log32，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A B C D 8执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ） A 2 1 3log 3 2 B 2 log 3 C2 D3 9设函数 3 sin 2cos 2 44 f xxx ，则（ ） A yf x在 ,0 4 上单调递增，其图象关于直线 4 x 对称 B yf x在 ,0 4 上单调递增，其图象关于直线 2 x 对称 C yf x在 ,0 4 上单调递减，其图象关于直线 4 x 对称 D yf x在 ,0 4 上单调递减，其
4、图象关于直线 2 x 对称 10 6 (1)(1)axx的展开式中， 3 x项的系数为-10，则实数a的值为（ ） A 2 3 B2 C2 D 2 3 11 已知球O的半径为R，, , A B C三点在球O的球面上， 球心O到平面ABC的距离为 1 2 R， 2ABAC，120BAC ，则球O的表面积为（ ） A16 9 B16 3 C 64 9 D 64 3 12若存在0a，使得函数 2 ( )6lnf xax与 2 ( )4g xxaxb的图象在这两个函数图 象的公共点处的切线相同，则 b 的最大值为（ ） A 2 1 3e B 2 1 6e C 2 1 6e D 2 1 3e 二、填空题
5、：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若 , x y满足 20 3 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为 14已知向量1,2, 4akb，若3/aba，则实数k 15已知抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C 于P，Q两点，交l于点A，若3PFFQ uuu ruuu r ，则 AQ QF 16在ABC中，ABAC，D为AC边上的点，且AC 3AD，4BD ，则ABC面 积的最大值为 2020 届高三数学（理） “小题速练”30（答案解析） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题
6、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1复数 z= 2 1i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【解析】由题意得 22(1)2(1) 1 1(1)(1)2 ii zi iii ，复数 2 1i z 在复平面内对 应的点的坐标为(1, 1)，位于第四象限，故选 D 2已知集合 2 30 , |17,Mx xxNxx，则 R C MN （ ） A 37xx B37xx C13xx D13xx 【答案】C 【 解 析 】 由 2 303M
7、x xxx x或0x ， 03 R C Mxx， 又 | 17Nxx ，13 R C MNxx，故选 C 3下列叙述中正确的是（ ） A函数 2 2 2 ( ) 2 f xx x 的最小值是2 2 2 B“04m”是“ 2 1 0mxmx ”的充要条件 C若命题 2 :,10pxR xx ，则 2 000 :,10pxR xx D“已知, x y R ，若1xy ，则 , x y都不大于 1”的逆否命题是真命题 【答案】C 【解析】 对于 A： 22 22 22 22 22 fxxx xx 2 22 中， 2 2 2 2 2 x x 的等号不成立， A 错； 当0m时 2 10mxmx 也成立
8、， B 错； 当 1 3 x ，2y 时1xy 也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，D 错，故选 C 4已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线 的实轴长为（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】B 【解析】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线为 b yx a ，两条渐近线互相垂 直， 2 1 b a ，得ab，双曲线焦距为4 2， 2 2c ，由 222 cab可知 2 28a ，2a，实轴长为24a，故选 B 5函数 3 xx ee y xx 的图像大致是（ ） A B C D 【答案】A 【解析
9、】令 3 xx ee f x xx ，则 fxf x，故函数为偶函数，图像关于y轴对称， 排除 C 选项由 3 0xx，解得0x且1x 0.5 0.5 1 0.50 0.1250.5 e e f ，排除 D 选 项 10 10 1 101 1000 10 e e f ，故可排除 B 选项故选 A 6一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积 为（ ） A(4 ) 3 3 B(8 ) 3 6 C(8 ) 3 3 D(4) 3 【答案】B 【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体圆锥底半径为 1，四棱锥的底面是边 长为 2 的正方形，高均为 2 3 2 ，几
10、何体体积为 (8) 3 6 ，故选 B 7设 = 201， = ln 1 2， = log32，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 由题意得 = 201 1， = ln 1 2 ， 故选 B 8执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ） A 2 1 3log 3 2 B 2 log 3 C2 D3 【答案】C 【解析】 模拟程序的运行， 可得 s3， i=1； 满足条件 i3， 执行循环体 s3+ 2 2 1 log， i=2； 满足条件 i3，执行循环体 s3+ 2 2 1 log + 2 3 2 log，i=3；满足条件 i3，执行循环体， s3+
11、2 2 1 log + 22 34 4 23 loglog，i=4；不满足条件 i3 ，退出循环，输出 s 的值为 s 24 2log；故选 C 9设函数 3 sin 2cos 2 44 f xxx ，则（ ） A yf x在 ,0 4 上单调递增，其图象关于直线 4 x 对称 B yf x在 ,0 4 上单调递增，其图象关于直线 2 x 对称 C yf x在 ,0 4 上单调递减，其图象关于直线 4 x 对称 D yf x在 ,0 4 上单调递减，其图象关于直线 2 x 对称 【答案】B 【解析】 3 sin 2cos 22cos2 44 f xxxx ， 由222,kxkkZ得, 2 kx
12、kkZ， 由222,kxkkZ得, 2 kxkkZ， 即 yf x的 单 调 递 增 区 间 为, 2 kkkZ； 单 调 递 减 区 间 为 , 2 kkkZ； yf x在,0 4 上 单 调 递 增 ； 由2,xkkZ得 , 2 k xkZ ； 即函数 yf x的对称轴为：, 2 k xkZ ； 因此其图象关于直线 2 x 对称，故选 B 10 6 (1)(1)axx的展开式中， 3 x项的系数为-10，则实数a的值为（ ） A 2 3 B2 C2 D 2 3 【答案】B 【解析】 6 (1)x展开式的通项公式为 16 rr r TC x ，分别令2,3xx，可求得 2 x的系数 为 2
13、6 15C ， 3 x的系数为 3 6 20C ，故 6 (1)(1)axx的展开式中， 3 x项的系数为 1 201510a ，解得2a，故选 B 11 已知球O的半径为R，, , A B C三点在球O的球面上， 球心O到平面ABC的距离为 1 2 R， 2ABAC，120BAC ，则球O的表面积为（ ） A16 9 B16 3 C 64 9 D 64 3 【答案】D 【解析】在ABC 中，2120ABACBAC， 1 442 2 2 ()2 3 2 BC ， 由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径 （即 ABC的外接圆半径） ， 2 3 2 3 2 2 r ， 又球心到平面ABC的距离
14、1 2 dR， 球的O半径 22 116 4 43 RRR，故球 O 的表面积 2 64 4 3 SR， 故选 D 12若存在0a，使得函数 2 ( )6lnf xax与 2 ( )4g xxaxb的图象在这两个函数图 象的公共点处的切线相同，则 b 的最大值为（ ） A 2 1 3e B 2 1 6e C 2 1 6e D 2 1 3e 【答案】D 【解析】设曲线( )yf x与( )yg x的公共点为 00 ,x y， 2 6 ( ), a fx x ( )24g xxa ， 2 0 0 6 24 a xa x ，则 22 0 230xaxa，解得 0 xa 或 3a， 又 0 0x ，且
15、0a，则 0 3xa 00 f xg x， 22 000 46lnxaxbax， 22 36ln3baaa (0)a 设( )h ab，( )12 (1ln3 )h aaa ，令 ( )0h a ，得 1 3e a 当 1 0 3e a时，( )0 h a ；当 1 3e a 时，( )0h a ，b 的最大值为 2 11 3e3e h ， 故选 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若 , x y满足 20 3 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为 【答案】4 【解析】 当直线 z2xy 经过直线 2xy0 与直线 x
16、y3 的交点(1， 2)时， z 取最大值 21 24 14已知向量1,2, 4akb，若3/aba，则实数k 【答案】2 【解析】由题意，得 33 1,2, 45, 34abkk，3/ /aba， 13450kk ，解得2k ，故答案为：2 15已知抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C 于P，Q两点，交l于点A，若3PFFQ uuu ruuu r ，则 AQ QF 【答案】2 【解析】 过 P， Q 分别作 PM， QN 垂直准线l于,M N， 如图，3PFFQ uuu ruuu r Q， 1 | 4 QFPQ， 由 抛 物 线 定 义 知 ，| |
17、 , |P MP FQ FQ N，|3|PMQN，/ /PMQN， |1 |3 AQQN APPM ， 11 |4|2| 22 AQQPQFQF，2 AQ QF ，故答案为：2 16在ABC中，ABAC，D为AC边上的点，且AC 3AD，4BD ，则ABC面 积的最大值为 【答案】9 【解析】AC3AD，3 ABCABD SS ， 设ADx，则3ABx，由343xxxx得12x， 222 2 91658 cos 2 33 xxx A x xx ， 42 2 4 168064 sin1 cos 9 xx AA x ， 42 2 11168064 sin3 229 ABD xx SAB ADAx x x 42 254xx 22 59 2() 24 x， 12x， 2 5 2 x 时， ABD S取得最大值 9 23 4 ， ABC S最大值为 9， 故答案为： 9
