1、第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量第二节第二节 方阵的相似变换方阵的相似变换 第四节第四节 实对称矩阵的相似标准形实对称矩阵的相似标准形 第一节第一节 特征值与特征向量特征值与特征向量 第三节第三节 向量内积和正交矩阵向量内积和正交矩阵 定义定义5.1.1 设设A为为n阶方阵阶方阵,是一个数是一个数,若存在若存在非零非零列向量列向量x,使得使得 Ax=x （1）则称则称为为 A 的的一个特征值一个特征值，非零向量，非零向量x 称为矩阵称为矩阵 A 的对应于的对应于 特征值特征值的的特征向量特征向量，简称为，简称为 A 的特征向量的特征向量.一、一、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法
2、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量例如：例如：111,2131Ax 111131Ax 22 121 =2 为为A的特征方程的特征方程.齐齐次次线线性性方方程程组组 11112 2121 122221 12 2()0()0()0n nn nnnnnnaxa xa xa xaxa xa xa xax 矩阵矩阵A的对应于的对应于的特征向量就是方程组的特征向量就是方程组(3)或或(2)的非零解的非零解.11121121222212(),nnij n nnnnnnaaaxaaaxAaxaaax Ax=x (1)x-Ax=O(I-A)x=O (2)
3、(3)|0IAIA为为A的的特征矩阵特征矩阵,|I-A|(的的n次多项式次多项式)称为称为A的的特征多项式特征多项式.特征方程的根叫做特征方程的根叫做A的特征根，即的特征根，即A的特征值的特征值.定义定义5.1.2总结：总结：111212122212=0 nnnnnnaaaaaaIAaaa已知已知n阶方阵阶方阵A，求，求A的的特征值特征值归结为求特征方程归结为求特征方程的根；的根；求求A的的特征向量特征向量等价于求齐次线性方程组等价于求齐次线性方程组(I-A)x=O的的非零解非零解.求矩阵求矩阵A的特征值与特征向量的的特征值与特征向量的步骤步骤：第一步，求第一步，求A的特征多项式的特征多项式|
4、I-A|；第二步，令第二步，令|I-A|=0，得到，得到A的的n个特征值个特征值(重根按重数计重根按重数计)；第三步，对应于每个特征值第三步，对应于每个特征值i，求方程组求方程组(i I-A)x=O的非零解，的非零解，即是矩阵即是矩阵A的对应于特征值的对应于特征值i的特征向量的特征向量.122311221A求求的的特特征征值值及及特特征征向向量量.解：解：矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为IA322311321 3222)3)(3(3,3321 例例11-2 -2-31-1221031003令令|I-A|=0得得A的的特征值特征值为：为：13,(3).IA xO对对于于求求方方程程组组的的
5、基基础础解解系系4223 4122 41123 41211 1120770333I-A=1 -10 0 00 -11323xxxx令令x3=1得基础解系得基础解系.1111v 是属于是属于 1 1=3=3的的一个特一个特征向量征向量.对应于特征值对应于特征值 1 1=3=3的的全部特征向量：全部特征向量：1111(0)1cc 233,(3)IA xO 对对于于求求方方程程组组的的非非零零解解.2121v 22232122213232xxxx令令x3=1得方程组的基础解系为：得方程组的基础解系为：-3I-A=122311221IA1 1 10 1 20 0 01 010 120 00是属于是属于
6、 2 2=3=-3 3的一个的一个特征向量特征向量.则对应于则对应于2=3=-3的的全部特征向量全部特征向量为：为：c2v2=2212(0)1cc111131111A解：解：A的特征多项式：的特征多项式：1 11220131111 110(2)1311112(2)(1)1231,2.例例2求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.|I-A|=13 1111021001令令|I-A|=0，得，得A的特征值：的特征值：11,对于对于求方程组求方程组(I-A)x=O的非零解的非零解.I-A=01112 111 0 11012 1011 0 -1 11 0 10 110 0 0得基础解系为：得基础解
7、系为：1111v 1323xxxx11(0)1cc对应于对应于 1 1=1=1的全部特征向量：的全部特征向量：111131111I A 232,对于对于求方程组求方程组(2I-A)x=O的非零解的非零解.2I-A=11111 111 1 1 110 0 00 0 0 x1=-x2+x3同解方程组：同解方程组：令令2310,01xx 得到方程组的基础解系：得到方程组的基础解系：2122111,001vv 每个都是每个都是A的特征向量的特征向量.对应于对应于 2=3=2的全部特征向量：的全部特征向量：c1v21+c2v2212111001cc 其中，其中，c1,c2不全为零不全为零.,Axx Ay
8、y命题命题2证：证：Axx12k xk yO12()A k xk y12 k Axk Ay12kxky12()k xk y命题命题1 任一任一 n 阶方阵在复数域内都有阶方阵在复数域内都有 n 个特征根个特征根.若若x是是A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则的特征向量，则kx(k0)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；若若x，y都是都是A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则非零线性的特征向量，则非零线性组合组合k1x+k2y(k1,k2不全为零不全为零)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；()A kxk Axkx()kx(kx0)所以，所以，kx(k0
9、)也是也是A的对应于的对应于的特征向量；的特征向量；因为因为k1,k2不全为零，所以不全为零，所以所以，所以，k1x+k2y(k1,k2不全为零不全为零)是是A的对应于的对应于的特征向量的特征向量.注：注：同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.简言之简言之1.1.一个特征值对应有无穷多个特征向量一个特征值对应有无穷多个特征向量.2.2.一个特征向量只属于一个特征值一个特征向量只属于一个特征值.460350361A求求的的特特征征值值及及特特征征向向量量.解：解：460350361I A2(1)(2)01231,2.特特
10、征征值值为为121,对对于于36 01360360IA 练习：练习：12201,001vv 12201001cc 32,对于对于6602330363I A 基础解系：基础解系：全部特征向量：全部特征向量：c1,c2不全不全为零为零.基础解系：基础解系：111 全部特征向量：全部特征向量：11(0)1cc练习：练习：教材教材P133例例962423 242 6A求求A的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.解：解：624232426IA(-1)202232426 101(2)232426101(2)03402102(2)(11)A的特征值为：的特征值为：123=2,11.12=2,对对于于
11、4242212424I A 2 1 20 0 00 0 021322xxx基础解系：基础解系：12102,201vv 12121022(,01ccc c不全为不全为0)3=11,对对于于52411282425IA 1 0110 120 003212v 基础解系：基础解系：21(0).2cc 定理定理5.1.1二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质注：注：A与与AT 不一定有相同的特征向量不一定有相同的特征向量.|()|TIA|TIA方阵方阵A与其转置矩阵与其转置矩阵AT 有相同的特征值有相同的特征值.证：需证证：需证A与与AT有相同的特征多项式有相同的特征多项式.因为，因为，|I
12、A所以，所以，A与与AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.定理定理5.1.2 设设 1，2，n 是是n阶方阵阶方阵A的所有特征值，则的所有特征值，则 tr(A)=1+2+n；|A|=1 2 n 相当重要！相当重要！迹迹1niiia验证：验证：11122122aaAaa11122122|aaI Aaa 2112211 2212 21()aaa aa a设设 1,2 是是A的特征值的特征值,则则12|()()IA 2121 2()=|A|12(2)nAAAA，为为的的特特征征值值.|A|=1 2 n 推论推论 A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A的所有特
13、征值的所有特征值 都不等于零都不等于零.特征值的其他简单性质：特征值的其他简单性质：1.若若是矩阵是矩阵A的一个特征值，则的一个特征值，则 (1)k是矩阵是矩阵kA的一个特征值；的一个特征值；(2)k是矩阵是矩阵Ak的一个特征值；的一个特征值；(3)+1 是矩阵是矩阵A+I的一个特征值的一个特征值.(证明提示：利用定义证明提示：利用定义)设设是方阵是方阵A的特征值的特征值,则则 f()是是f(A)的特征值的特征值.一般地一般地,定理定理5.1.35.1.31110()mmmmf xa xaxax a2.矩阵矩阵A可逆可逆,其特征值是其特征值是1,2,n,则则112111(1);nA，为为的的特
14、特征征值值()iAxxxO11()iA AxA xxOx=11()iA xx xO*1|AA A例例1 三阶方阵三阶方阵A的特征值为的特征值为-1，2，3，求：，求：(1)2A的特征值；的特征值；(2)A2的特征值；的特征值；(3)|A|；(4)A是否可逆是否可逆?解：解：(1)2A的特征值为的特征值为-2，4，6；(2)A2的特征值的特征值1，4，9；(3)|A|=(-1)23=-6；(4)A可逆可逆.再求再求:(6)矩阵矩阵 A2-2A+3I 的特征值的特征值.问题问题：A-1的特征值？的特征值？-1，1/2，1/3.2-2+3：6，3，6.(7)伴随矩阵伴随矩阵 A*的特征值的特征值.1
15、23AAA，666123，=6，-3，-2例例2 P133例例8 求下列特殊矩阵的特征值求下列特殊矩阵的特征值.(1)Am=O(m是正整数是正整数);(2)A2=I.A叫作幂零矩阵叫作幂零矩阵 A叫作对合矩阵叫作对合矩阵解：解：设设为为A的任一特征值，对应的特征向量为的任一特征值，对应的特征向量为x,即即Ax=x Am x=m x A2 x=2 x(1)因为因为Am=O,所以，所以，m x=O,而而x O,故故m=0,即即=0.(2)因为因为A2=I,所以，所以，x=2 x,即即(2-1)x=O,而而x O,所以，所以，2-1=0,即即=1.简言之，简言之，幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征
16、值为幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征值为1.定理定理5.1.4,21的的互互异异的的特特征征值值阶阶方方阵阵是是设设Anm 不同特征值对应的特征向量线性无关不同特征值对应的特征向量线性无关.对应特征向量：对应特征向量：12m则则12m线性无关线性无关.简言之：简言之：推论推论设设 1，2，m 是是A的互异特征值，的互异特征值，线性无关线性无关特征向量：特征向量：111121,tvvv221222,tvvv12,mmmmtvvv则则线性无关线性无关.如矩阵如矩阵A的特征值的特征值1=1，2=2，对应于对应于1=1的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为11110v 对应于对应于2=2的线
17、性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为2122100,111vv 则则 v11,v21,v22 线性无关线性无关.本节基本要求：本节基本要求：1.1.理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；题；2.2.了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；3.3.掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题；掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题；4.4.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法.一、相似矩阵的定义与性质一、相似矩阵的定义与性质定义定义5.2
18、.1.BA记作记作注：注：矩阵的相似关系有以下性质：矩阵的相似关系有以下性质：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：第二节 方阵的相似变换设设A，B为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使得，使得1.矩阵相似的定义矩阵相似的定义 P-1AP=B则称矩阵则称矩阵A与与B相似，或相似，或A与与B是相似矩阵，是相似矩阵，(1)自反性：自反性：A A因为：因为：I-1AI=A(2)对称性：若对称性：若AB，则，则B A.由由P-1AP=BA=PBP-1=(P-1)-1 BP-1(3)传递性：若传递性：若AB，B C，则
19、，则 A C.A与与B等价等价区别：区别：PAQ=B (P,Q可逆可逆)A与与B相似相似 P-1AP=B联系：联系：若若AB，则，则 A B.反之不然反之不然.2.相似矩阵的性质相似矩阵的性质性质性质1 若若AB，则，则|A|=|B|.相似矩阵的行列式的值相等相似矩阵的行列式的值相等.P-1AP=B|P-1|A|P|=|B|A|=|B|性质性质2 若若AB，则，则 r(A)=r(B).相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等.P-1AP=B 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.性质性质3 若若AB，则，则 A,B或者都可逆，或者都不可逆或者都可逆，或者都不可逆.且且A,B可逆时，有可逆时，有
20、A-1 B-1.由性质由性质1 1易得易得.P-1AP=B111()P APB111P A PB性质性质4 若若AB，则，则 Ak Bk (k是正整数是正整数).P-1AP=B(P-1AP)k=Bk P-1AkP=Bk10 Th4.2.1逆命题不成立逆命题不成立.即若即若A与与B有相同的特征值有相同的特征值,A与与B未必相似未必相似.性质性质5 若若AB,则则 A与与B有相同的特征值有相同的特征值.相似矩阵的特征值相同相似矩阵的特征值相同.=P138定理定理5.2.1证：证：因为因为AB，即：，即：P-1AP=B|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1IP-P-1AP|=|P-1(I A)P|
21、=|P-1|I A|P|=|I A|从而矩阵从而矩阵A，B有相同的特征值有相同的特征值.注：注：如：如：1 110,0101ABI有相同特征值有相同特征值：1=2=1.但不相似但不相似.1P IPIA20 相似相似 矩阵有相同的特征值矩阵有相同的特征值,不保证有相同的特征向量不保证有相同的特征向量.那么特征向量之间有何关系？那么特征向量之间有何关系？性质性质6 若若AB，则，则 tr(A)=tr(B).由性质由性质5易得易得.二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件定理定理5.2.212n n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关
22、的特征向量线性无关的特征向量.证证:必要性必要性 若矩阵若矩阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵则则存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，满足，满足1P AP即：即：APP将矩阵将矩阵P按列分块，令按列分块，令12()nP 有有121212()()nnnA 121122()()nnnAAA (1,2,.,)iiiAin可逆可逆12,n 线性无关线性无关是是A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.12,n 如果如果n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵相似于对角形矩阵,即即 ,则称矩阵则称矩阵A可对角化可对角化.1P AP为矩阵为矩阵A的相似标准形的相似标准形.定理定理5.2.2 n阶方阵阶方阵A相似于对
23、角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.充分性充分性 若矩阵若矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量12,n 12n，其对应的特征值分别为：其对应的特征值分别为：则有则有(1,2,.,)iiiAin121122()()nnnAAA 即即121212()()nnnA PPAPP1P AP可逆可逆12n，说明说明:(1)的顺序与的顺序与12,n 相对应一致相对应一致.(2)定理的证明过程给出了定理的证明过程给出了A相似于对角矩阵时，可逆矩阵相似于对角矩阵时，可逆矩阵P及及对角矩阵对角矩阵 的构成的构成.12nA推论推论
24、1 1即即A有有n个互异特征值是个互异特征值是A可对角化的充分条件，而不是必要条件可对角化的充分条件，而不是必要条件.定理定理5.2.2 n阶方阵阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.若若n 阶方阵阶方阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值12n，则则反之不然反之不然.12n线性无关线性无关.已知已知n阶方阵阶方阵A，既能判定，既能判定A是否可以对角化，同时可求出可逆是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵矩阵P及对角矩阵及对角矩阵.111131111A例例1 已知矩阵已知矩阵问问A能否对角化？若能，求出可能否对角化
25、？若能，求出可逆矩阵逆矩阵P及对角矩阵及对角矩阵.解：解：220131111 2(2)(1)1231,2.|I-A|=A的特征值：的特征值：11,对于对于求求(I-A)x=O的基础解系的基础解系.111131111I-A=01112 111 0 1 0 10 110 0 01111v 1323xxxx232,对于对于求求(2I-A)x=O的基础解系的基础解系.2I-A=11111 111 1 1 110 0 00 0 0 x1=-x2+x32122111,001vv A可对角化可对角化.且且1 1 11 1 01 0 1P 122注注 P及及并不唯一并不唯一.460350361A解：解：123
26、1,2,例例2问问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及及对角矩阵对角矩阵.460|350361IA2(1)(2)A的特征值：的特征值：121,32,36 0360360IA1 2 00 0 00 0 012320 xxx 1112201,001vv 基础解系：基础解系：6602330363IA1 010 110 001323xxxx 基础解系：基础解系：21111v所以，所以，A可对角化可对角化.2 011 0 10 1 1P11212 0211 0,110 11P或或122311221A解：解：A的特征值为：的特征值为：,33321 ，111.1v 由于三阶方阵
27、由于三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量只有两个线性无关的特征向量v1，v2,所以，所以，A不与对角形矩阵相似，即不与对角形矩阵相似，即A不能对角化不能对角化.例例3试判断试判断A可否对角化？可否对角化？练习之练习之13，233,(3)IA xO求求的基础解系：的基础解系：2121v.(3)IA xO求求的基础解系：的基础解系：练习：练习：P144例例6 本节基本要求：本节基本要求：1.1.理解相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；理解相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；2.2.理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；3.3.熟练掌握矩阵熟
28、练掌握矩阵A可对角化的判别方法可对角化的判别方法.第三节第三节 向量内积和正交矩阵向量内积和正交矩阵1 1221nnniiia ba ba ba b一、向量的内积一、向量的内积1.向量内积的定义与性质向量内积的定义与性质定义定义5.3.1 设设n维向量维向量=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)，称实数，称实数为向量为向量与与 的内积的内积.(,)=记记=T若列向量：若列向量：1122,nnababab则内积则内积(,)=T 例例1 =(1,2,3),=(0,-3,5)，则，则(,)=10+2(-3)+35=9例例2 =(-1,-3,-2,7),=(4,-2,1 1,0)，则，则(,)
29、=-4+6-2+0=0向量的内积运算具有如下性质：向量的内积运算具有如下性质：(1)(,)=(,)(2)(k,)=k(,)(3)(+,)=(,)+(,)(4)(,)0,当且仅当当且仅当=O时，有时，有(,)0.2.向量的长度与性质向量的长度与性质 向量的夹角向量的夹角定义定义5.3.2 设设n维向量维向量=(a1,a2,an)，称实数，称实数22212(,)naaa 为向量为向量 的长度，或范数的长度，或范数或模，记或模，记向量的长度具有如下性质：向量的长度具有如下性质：0(1)当且仅当当且仅当=O时，时，|=0.(2)|k|=|k|(3)|(,)|Cauchy-Schwarz不等式不等式.(
30、4)|+|+|三角不等式三角不等式.将向量将向量单位化单位化1O如如果果，则则向向量量即即为为单单位位向向量量.长度为长度为1的向量称为单位向量的向量称为单位向量.如：如：1=(1,0),2=(0,1)都是单位向量都是单位向量.11|1|例例3 求向量求向量 =(1,2,-1)的长度，并将其单位化的长度，并将其单位化.解：解：(,)22212(1)6 11(1,2,1)6121(,)666练习：求向量练习：求向量 =(2,-1,1,3)的长度的长度.1512(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n任意两个向量任意两个向量i与与j都正交都正交(ij)，称其两两正交，称其两两正交.定义定义
31、5.3.3 设设，是任意两个向量，若是任意两个向量，若(,)=0则称向量则称向量与与正交或垂直，记作正交或垂直，记作.显然，显然，零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交.n维初始单位向量组：维初始单位向量组：定义定义5.3.4 若若n维向量组维向量组1，2，s中任意两个向量都正交，中任意两个向量都正交，且且jO，j=1,2,s.则称则称1，2，s是正交向量组是正交向量组.定义定义5.3.5 如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正单位正交向量组交向量组或或标准正交向量组标准正交向量组.标准正交向量组标准正交向量组1，2，s是标准正交向量组是标
32、准正交向量组由定义知：由定义知：(,)ij 1ij0ij3.正交向量组正交向量组12s证证明明：设设，为为正正交交向向量量组组，即即定理定理5.3.1 正交向量组必是线性无关的向量组正交向量组必是线性无关的向量组.(,)0 ijij 1122sskkkO令令,0),0iii有有（由由于于0 1,2,).ikis（.21线线性性无无关关，正正交交向向量量组组m若若1，2，s是正交向量组是正交向量组单位化单位化(1,2,.,)|iiiis则则1，2，s是标准正交向量组是标准正交向量组.1122(,)(,)0issikkkO则则11(,)(,)(,)0iiiisiskkk =0=0(,)0iiik
33、注注：线性无关组未必是正交向量组线性无关组未必是正交向量组.施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法化线性无关组为正交向量组化线性无关组为正交向量组.1212,mmn 设设，是是 维维线线性性无无关关向向量量组组,则则存存在在一一个个正正交交向向量量组组1212,mm 使使与与，等等价价.施密特正交化方法施密特正交化方法:11 (1)令令2122111(,)(2)(,)121121112211(,)(,)(,)()(,)(,)(,)mmmm-mmmm-mm (3),(),(),(),(222231111333 可以证明，可以证明，1212,mm 与与，等等价价.正交正交例例4123(
34、1,1,1,1),(3,3,1,1),(2,0,6,8).设设线线性性无无关关的的向向量量组组用用施施密密特特正正交交化化方方法法求求与与其其等等价价的的正正交交向向量量组组222231111333),(),(),(),()1,1,1,1(11令令2122111(,)(,)4(1,1,1,1)4(2,2,2,2)(2,0,6,8)1,1,1,1(412)2,2,2,2(1632解：解：(2,0,6,8)3,3,3,3()4,4,4,4(1,1,1,1)(3,3,1,1)11(,)4 22(,)16=4=12=-32可进一步将可进一步将 1 1，2，3单位化，得到标准正交向量组单位化，得到标准正
35、交向量组.222231111333),(),(),(),(练习：练习：123(1,1,0),(1,2,0),(1,0,1),将将向向量量组组11(1,1,0)2122111(,)(,)1(1,1,0)20,23,23)1,0,0(解：先正交化解：先正交化标准正交化标准正交化.11(,)2=-1(1,2,0)229(,)2=1=3/2再单位化再单位化1111)0,1,1(210,21,212221)0,23,23(129)0,23,23(32)0,22,22(3331)1,0,0(标标准准正正交交组组TnAAAIA若若 阶阶实实方方阵阵 满满足足，则则称称 为为正正交交矩矩阵阵.二、二、正交矩阵
36、正交矩阵1001正交矩阵正交矩阵的性质：的性质：1(1).TAAA若若 为为正正交交矩矩阵阵，则则1(2)()TAAA若若 为为正正交交矩矩阵阵，则则或或都都是是正正交交矩矩阵阵.(3)11.AA 若若 为为正正交交矩矩阵阵，则则或或(4)ABAB若若、为为同同阶阶正正交交矩矩阵阵，则则为为正正交交矩矩阵阵.定义定义5.3.6cossin sincos10011 02211022TAAI2|1A()TTTAB ABABB A=AIAT=I(5)若若A是是n阶正交矩阵，阶正交矩阵，,是是n维列向量，则维列向量，则(A,A)=(,)(,)()TAAAATTA A=IT=(,)定理定理5.3.3 设
37、设 A为为 n 阶实方阵，阶实方阵，A 为正交矩阵的充分必要条件为正交矩阵的充分必要条件 是其列是其列(行行)向量组为标准正交向量组向量组为标准正交向量组.正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：10011=0-2211022A1 2 3两两正交，且长度为两两正交，且长度为1.第四节第四节 实对称矩阵的相似标准形实对称矩阵的相似标准形一、一、实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质定理定理5.4.1 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有n个实特征值个实特征值,且其特征向量是实向量且其特征向量是实向量.定理定理5.4.2 实对称矩阵
38、实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交的属于不同特征值的特征向量必正交.证：证：设设 1，2是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的两个特征值，且的两个特征值，且 1 2.特征向量：特征向量：x1x2 Ax1=1x1 Ax2=2x2(x1 O,x2 O)(Ax1,x2)=因为因为(1x1,x2)=1(x1,x2)(1)(Ax1,x2)=(Ax1)T x2=x1T AT x2=x1T A x2=2 x1T x2=2(x1,x2)(2)由由(1)、(2)得：得：1(x1,x2)=2(x1,x2)(1-2)(x1,x2)=01 2(x1,x2)=0 x1,x2正交正交.定理定理5.4.3(对称矩阵基
39、本定理对称矩阵基本定理)n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A个，必存在个，必存在n阶正交矩阵阶正交矩阵P，使得，使得 任一任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵必正交相似于对角形矩阵.定义定义4.3.5 设设A，B为为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得，使得P-1AP=B则称矩阵则称矩阵A与与B正交相似正交相似.PTAP=B若若A与与B正交相似，且正交相似，且A是对称矩阵，则是对称矩阵，则B也是对称矩阵也是对称矩阵.因因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP=B121TnP APP AP 由于实对称矩阵由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交
40、，所以，的不同特征值对应的特征向量正交，所以，可以求出可以求出A的标准正交特征向量组，构成正交矩阵，使得实对称的标准正交特征向量组，构成正交矩阵，使得实对称矩阵矩阵A可以正交相似于对角矩阵可以正交相似于对角矩阵.定理定理5.4.7 实对称矩阵与对角矩阵正交相似实对称矩阵与对角矩阵正交相似.通过例题再证明定理通过例题再证明定理证：设证：设A为为n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，1,2,m为为A的互异特征值，其中的互异特征值，其中i的重数为的重数为ni,1miinn对于对于A的的ni重特征值重特征值i 对应有对应有ni个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量12,.,(1,2,.,)iiiinim 正
41、交化正交化正交向量组：正交向量组：12,.,(1,2,.,)iiiinim 单位化单位化12,.,(1,2,.,)iiiinim 互异特征值对应互异特征值对应特征向量正交特征向量正交11112112,.,.,.,mnmmmn标准正交特征向量组：标准正交特征向量组：令令111 12112(.)mnmmmnP 是正交矩阵是正交矩阵.1P AP单位化得：单位化得：110110010P310130003A 解：解：00IA0)4)()(.43,2321 ，的的特特征征值值为为A1232,3,4(),IA xO把把依依次次代代入入方方程程组组(1,1,0),(0,0,1),(-1,1,0)TTT 例例1
42、求正交矩阵求正交矩阵P，使，使A正交相似于对角矩阵正交相似于对角矩阵.特征向量：特征向量：且它们两两正交且它们两两正交.1111(,0),(0,0,1),(,0)TTT1P AP422242224A422242224IA.2,8321 的的特特征征值值为为A解：解：8228428242(8)(2)0例例2求正交矩阵求正交矩阵P，使，使A正交相似于对角矩阵正交相似于对角矩阵.对于对于1=8，求，求(8I-A)x=O的基础解系：的基础解系：422242224101011000111 1323xxxx单位化单位化131313对于对于2=3=2，求，求(2I-A)x=O的基础解系：的基础解系：2221
43、11222000222000123xxx属于属于 1 1=8=8的的特征向量特征向量.111,001 线性无关线性无关但不正交但不正交施密特施密特正交化正交化12121101 ，单位化单位化属于属于 2 2=3 3=2=2的的正交特征向量正交特征向量.1162112626,0标准正交标准正交特征向量特征向量组构成正组构成正交矩阵交矩阵P.11132611132612036P822120222023A 求正交矩阵求正交矩阵P，使，使A正交相似于对角矩阵正交相似于对角矩阵.1202222IA(1)(2)(3)4(1)4(3)-8(-2)=(-2)(-5)(+1)1=-11221v 2=22212v
44、 3=53122v 正正交交特特征征向向量量组组单位化：单位化：221333212,333122333 221333212333122333P为为对对角角形形矩矩阵阵的的方方法法：，使使，求求正正交交矩矩阵阵阶阶实实对对称称矩矩阵阵APPPAn1 121.,mA 求求出出 的的特特征征值值，设设其其互互异异特特征征值值为为1212,;mmn nnnnnn其其重重数数分分别别为为12122.,(1,2,)iiiiiiiniiinIA xOvvvim 对对每每个个求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系；将将其其正正交交化化 单单位位化化得得正正交交单单位位向向量量组组121112121213.mnnmmnP令令1211122(,)mmmnnnPAPdiag 则则P是正交矩阵，且是正交矩阵，且
