1、定义定义 1n nn nu u为为正项级数正项级数.nsss21收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列,0 nu一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若的一般项的一般项则称则称 1n nn nu u当级数为正项级数，则：当级数为正项级数，则：这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形:,ns.limssnn ,)1(时时当当 n.1必发散必发散 nnu,)2(有上界有上界若若ns,ns即即定理定理1(基本定理基本定理)正项级数正项级数收敛收敛)(ssn有界有界.ns正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其敛散性其敛散性对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其
2、和也不变.不变不变,注注 例例 判定判定 的敛散性的敛散性.1121n nn n解解121 n n1211211212 nnSn2121212 n n211 由定理由定理1 1知知,故级数的部分和故级数的部分和,n n21 1 该正项该正项级数收敛级数收敛.由于由于另一个另一个已知敛散性的已知敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.启示启示:判定一个判定一个正项正项级数级数的敛散性的敛散性,可与可与正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 1n nn nv v设设n nn nv vu u 即部分和数列有界即部分和数列有界.1
3、nnu,nnvu 若若则则 1n nn nv v收敛收敛 1n nn nu u收敛收敛 1n nn nu u发散发散 1n nn nv v发散发散收敛收敛.0nnuuus 21且且 nvvv 21nns 则则)(nsn设设n nn nv vu u 且且 不是有界数列不是有界数列 1n nn nv v用比较审敛法，用比较审敛法，须有参考级数须有参考级数.1nnu发散发散 1nnv发散发散发散发散推论推论1 1n nn nu u若若(发散发散)收敛收敛,),(Nnkuvnn 且且)(nnvku 1nnv则则收敛收敛.(发散发散),n nn nv vu u 0若若现证现证注注解解,1 p设设级数级数
4、则则 p,1 p p设设 p pn n1(1)n nn np p11 n nn np px xx x1d用用比较审敛法比较审敛法发散发散.11n np pn n,1时时当当nxn n nn np pn nx x1d例例讨论讨论 级数级数 p p p pp pp pn n131211的收敛性的收敛性.)0(p(2)ppxn11 pppnns131211 n np px xdxdx11)11(1111 pnp111 p p,有界有界即即n ns s收敛收敛 11n np pn n)1(pn ns s n nn np pp px xx xx xx x121dd1故故 发散发散时时当当收敛收敛时时当当
5、级数级数,1,1ppp nnppxxn1d1(1)几何级数几何级数常用的比较级数常用的比较级数(2)p-级数级数(3)调和级数调和级数 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,1pp 11npn n nn nn n13121111发散发散;1收收敛敛则则 nnu),2,1(1 nnun如如果果推论推论2,1 nnu若若,1 p如果有如果有).,2,1(1 nnupn使使.1发发散散则则 nnu定理定理2,0nnvu 若若则则 1nnv收敛收敛 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散例例 讨论正项级数讨论正项级数 的敛散性的敛散
6、性.nnn4sin31 解解：nnnu4sin30 而等比级数而等比级数 收敛收敛.nn 143 所以原级数收敛所以原级数收敛.n 43nn43 由比较审敛法，由比较审敛法，解解因为因为3)1(1 nnun3/2)1(1 n而而 13/2)1(1nn是发散的是发散的p-级数级数所以所以,原级数原级数 13)1(1nnn 发散发散.由由比较审敛法，比较审敛法，例例 讨论正项级数讨论正项级数 的敛散性的敛散性 23/21nn,11都是正项级数都是正项级数与与设设 nnnnvu如果如果,limlvunnn 则则,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,)3(时时当当 l(比较审敛法的极限形式比较
7、审敛法的极限形式)定理定理3,1收敛收敛若若 nnv;1收收敛敛则则 nnu,1发散发散若若 nnv.1发散发散则则 nnu两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;证证lvunnn lim)1(由由02 l 对对于于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.,0)1(时时当当 l两两级级数数有有相相同同的的敛敛散散性性,limlvunnn 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式(2)推论推论则级数则级数 1nnu发散发散;则级数则级数 1nnu收敛收敛.由比较审敛法可推出如下快速的审敛法由比较审敛法可推出如
8、下快速的审敛法当分母当分母,分子关于分子关于n的最高次数分别为的最高次数分别为,q qp p和和,1时时当当 qp级数级数 1nnu)0(nu收敛收敛;,1时时当当 qp级数级数 1nnu发散发散.例例 12tan3nnn 发散发散.,n因为因为nnn 232tan3 而而 123nn发散发散.例例 127223132nnnnn收敛收敛.)23227(qp因因为为1 解解nnn 31limnn1sinlim 1 nnn311lim 1,311收敛收敛 nn收敛收敛发散发散n31例例 判定判定级数级数 的敛散性的敛散性.11sinnn极限形式知极限形式知,n1 131nnn例例 判定判定级数级数
9、 的敛散性的敛散性.解解.ln12的敛散性的敛散性判定级数判定级数 nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 而级数而级数收敛收敛,1231nn.ln12收敛收敛故故 nnn例例使用比较审敛法或比较审敛法的极限使用比较审敛法或比较审敛法的极限形式必须找到适当的比较级数形式必须找到适当的比较级数.,0lim)2(nnnvu由由,01 对对于于,N,时时当当Nn .11 nnvu),(Nnvunn 即即.,11收敛收敛根据比较审敛法，根据比较审敛法，收敛收敛 nnnnuv,limlvunnn ,0)2(时时当当 l,1收敛收敛若若 nnv;1收收敛敛则则 nnu,lim)3(nn
10、nvu由由,01 M对对于于,N,时时当当Nn .1 Mvunn),(Nnvunn 即即.,11发发散散根根据据比比较较审审敛敛法法，发发散散 nnnnuv,limlvunnn ,)3(时时当当 l,1发散发散若若 nnv.1发发散散则则 nnu1,1NNruu 23 NNruu,由由(1)式的式的,3Nur 12 NNruu,2Nur 321N NN NN Nu uu uu u左边相加左边相加,的各项的各项 r令令右边右边,证证,0 对对,N,时时当当Nn nnuu1有有,1时时 nnuu1即即(1)小于右边相加收敛的等比级数小于右边相加收敛的等比级数)1(r公比公比 NNNururru32,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu nnu lim发散发散 由由(1)式的式的,1时时当当 比值审敛法失效比值审敛法失效.左边左边,0 nnuu1.1n nn nu u收敛收敛收敛收敛.NNNururru32的对应项的对应项,321N NN NN Nu uu uu u
