1、 带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏 丹江口市一中丹江口市一中 张永富张永富2015.11.12 一朵梅花一朵梅花例如图所示，两个共轴的圆筒形金属例如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝轴线的四条狭缝a、b、c和和d，外筒的外半径，外筒的外半径为为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场
2、。有沿半径向外的电场。一、圆形或环形磁场区一、圆形或环形磁场区一质量为、带电量为一质量为、带电量为q的粒子，从紧的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝靠内筒且正对狭缝a的的S点出发，初速为零。点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点又回到出发点S，则两电极之间的电压，则两电极之间的电压U应应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）是多少？（不计重力，整个装置在真空中）审题：带电粒子从审题：带电粒子从S点出发，在两筒之间的点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆
3、周运动。磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝点的条件是能沿径向穿过狭缝d只要穿过了只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，重新进入磁场区，然后粒子以同样方式然后粒子以同样方式经过经过Cb，再回到，再回到S点。点。O3rrO4rrO2rrO1rrOS该粒子运动的轨迹构成了一朵该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花辨四只花辨”的的鲜艳的油菜花鲜艳的油菜花（图（图3）。）。该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六六条条 狭缝狭缝”，当电压，当电
4、压时，时，粒子粒子经过一段运动后也能回到原经过一段运动后也能回到原出发点。出发点。该运动轨迹构成了该运动轨迹构成了“六六只花辨只花辨”的怒放的梅花（图的怒放的梅花（图4）。）。mrqBU622图图4图图3。粒子的运动轨迹构成了粒子的运动轨迹构成了一朵一朵“n只花辨只花辨”盛开的鲜花。盛开的鲜花。若圆筒上只在若圆筒上只在a处有平行于轴线的狭缝，并且处有平行于轴线的狭缝，并且粒子与圆筒外壁发生了粒子与圆筒外壁发生了n次无能量损失和电量损失的碰次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压，撞后恰能回到原出发点，则加速电压，并且并且粒子运动的半径粒子运动的半径该圆筒上平行于轴线均匀分布的
5、若是该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“n条条狭缝狭缝”，当电压，当电压时时 ,粒子经过一段运动后粒子经过一段运动后也能回到原出发点，并且粒也能回到原出发点，并且粒子做匀速圆周运动的半径子做匀速圆周运动的半径222tan2nmrqBUnrRtan2221tan2nmrqBU1tannrR图图5。该运动轨迹也构成了一朵该运动轨迹也构成了一朵“n只花辨只花辨”盛盛开的鲜花（图开的鲜花（图5为五次碰撞的情形）。为五次碰撞的情形）。一个电风扇一个电风扇例、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中例、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上有极高的温度，因而带电粒子将
6、没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面域，其截面内半径为内半径为 ，外半径为，外半径为R2=1.0m，区域内，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，有垂直纸面向里的匀强磁场，已知磁感应强度已知磁感应强度B=1.0 T，被束，被束缚粒子的荷质比为缚粒子的荷质比为133Rmqm(1)若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外
7、边界的最入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度大速度v0.(2)若中空区域中的带电粒子以（若中空区域中的带电粒子以（1)中的最大速中的最大速度度v0沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t。解析解析:设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为r r，则，则轨迹如图，由几何关系得轨迹如图，由几何关系得则则 ，故带电粒子进入磁场绕圆故带电粒子进入磁场绕圆O 转过转过3600（1800一一600）=2400又回到中空部分粒子的运动轨迹如图所示，故粒子
8、又回到中空部分粒子的运动轨迹如图所示，故粒子从从P点进入磁场到第一次回到点进入磁场到第一次回到P点时，粒子在磁场中运动时间点时，粒子在磁场中运动时间为为粒子在中空部分运动时间为粒子在中空部分运动时间为 粒子运动的总时间为粒子运动的总时间为0mvrBq222221122,2RRRrRr rR704103qBrmvsm,3arctan30,603pop12433mtTBq1206Rtv112064RmtttBqv图图15一枚铜钱一枚铜钱例、如图所示为圆形区域的匀强磁场例、如图所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为磁感应强度为B、方向垂、方向垂直纸面向里直纸面向里,边界跟边界跟y轴相切于坐标原点轴相
9、切于坐标原点O。O点处有一放射源，点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带电的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。，不考虑带电粒子的重力。1、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；2、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；3、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原、沿磁
10、场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变。若从速率弹回，且其电荷量保持不变。若从O点沿点沿x轴正方向射入轴正方向射入磁场的粒子速度的已减小为磁场的粒子速度的已减小为v2，求该粒子第一次回到，求该粒子第一次回到O点经点经历的时间。历的时间。XYO（3)当粒子速度减小为当粒子速度减小为 时，粒子在磁场中作时，粒子在磁场中作圆周运动的半径为圆周运动的半径为 故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为90时与时与边界相撞回，由对称性知，粒子经过四个这样的边界相撞回，由对称性知，粒子经过四个这样的过程第一次回到过程第一次回到O点，亦即经历时
11、间为一个周期点，亦即经历时间为一个周期粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期所以从所以从O点沿点沿x轴正方向射出的轴正方向射出的粒子第一次回到粒子第一次回到O点经历的时间点经历的时间是是 其轨迹为一枚铜钱其轨迹为一枚铜钱2v12mvrRqB2 mTBq2 mtBqyxooABv0o1rrPQ例例7（18分）如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内分）如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为圆半径为R，外圆半径为，外圆半径为 R，磁场方向垂直于纸面向里，内，磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为，
12、内圆的磁感应强度为B/3。t=0时一个质量为时一个质量为m，带，带q电量的离子（不计重电量的离子（不计重力力），从内圆），从内圆上的上的A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。（1）求离子速度大小）求离子速度大小（2）离子自）离子自A点射出后在两个磁场点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从间不断地飞进飞出，从t=0开始经过开始经过多长时间第一次回到多长时间第一次回到A点？点？（3）从）从t=0开始到离子第二次回到开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中运点，离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？动的时间共为多少？3一个美丽的吸顶灯罩一个美丽的吸
13、顶灯罩O2r1r2一颗一颗“心脏心脏”例例2 2如图所示如图所示,以以abab为分界面的两个匀强磁场为分界面的两个匀强磁场,方方向均垂直于纸面向里向均垂直于纸面向里,其磁感应强度其磁感应强度B B1 1=2B=2B2 2,现有现有一质量为一质量为m,m,带电量为带电量为+q+q的粒子的粒子,从从O O点沿图示方点沿图示方向以速度向以速度v进入进入B1中中,经过时间经过时间t=_粒子重新粒子重新回到回到O点点(重力不计重力不计)+二、两种交接磁场二、两种交接磁场 一滴水珠一滴水珠例、如图所示，真空中分布着有界的匀强电场例、如图所示，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁
14、场，电和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为场的宽度为L，电场强度为，电场强度为E，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度都为都为B，且右边磁场范围足够大一带正电粒子质，且右边磁场范围足够大一带正电粒子质量为量为m，电荷量为，电荷量为q，从，从A点由静止释放经电场加速点由静止释放经电场加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回一路径再返回A点而重复上述过程，不计粒子重力，点而重复上述过程，不计粒子重力，求：求：（1）粒子进入磁场的速率）粒子进入磁场的速率v；（2）中间磁场的宽度）中间磁场的宽度d（3）求粒子从）求粒子从A
15、点出发到第点出发到第一次回到一次回到A点所经历的时间点所经历的时间t。（2 2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是R R，且：且：解（解（1 1）由动能定理，有：）由动能定理，有：得粒子进入磁场的速度为得粒子进入磁场的速度为由几何关系可知：由几何关系可知：则：中间磁场宽度则：中间磁场宽度（3 3）在电场中）在电场中在中间磁场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子第一次回到则粒子第一次回到O O点的所用时间为点的所用时间为。O1O2O3Ld一沿抛物线（或直线）上升的气泡一沿抛物线（或直线）上升的气泡例例9 9、如图
16、所示，在、如图所示，在xoyxoy的平面内加有空间分布均匀、大小随的平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如乙图所示（规定时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如乙图所示（规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在的正方向）。在t=0t=0时刻，质量为时刻，质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带正电粒子的带正电粒子自坐标原点自坐标原点O O处以处以0=2m/s的速度沿的速度沿x轴正方向水平射出。已知轴正方向水平射出。已知电场强度电场强度，2 mEq02 mBq三、电场与磁场的组合三、电
17、场与磁场的组合oyx123oyx123(3)粒子在板间运动的轨迹如图粒子在板间运动的轨迹如图2所示。所示。一串一串“葡萄葡萄”例例 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长板，板长L=1.4m,板距板距d=30cm。两板间有。两板间有B=1.25T,垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。在如图（乙）所示的脉冲电压。在t=0时，质量时，质量m=210-15kg，电量为，电量为q=110-10C的正离子，的正离子，以速度为以速度为4103m/s从两板中间水平射入。试求：从两板中间水平射入。试求：
18、粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。一座一座“拱桥拱桥”例如图所示，在例如图所示，在x x轴上方有垂直于轴上方有垂直于xyxy平面的匀强磁场，磁感应强度为平面的匀强磁场，磁感应强度为B B，在，在x x轴下轴下方有沿方有沿y y轴负方向的匀强电场，场强为轴负方向的匀强电场，场强为E E，一，一质量为质量为m m，电量为，电量为q q的粒子从坐标原点的粒子从坐标原点O O沿沿着着y y轴正方向射出，射出之后，第三次到达轴正方向射出，射出之后，第三次到达x x轴时，它与轴时，它与O O点的距离为点的距离为L L，求此时粒子射出时的速度求此时粒子射出时的速度和运动的总
19、路程（重力不记）和运动的总路程（重力不记）yxo解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥拱桥”图图形。形。由题知粒子轨道半径由题知粒子轨道半径 所以由牛顿定律知粒子运动速率为所以由牛顿定律知粒子运动速率为 对粒子进入电场后沿对粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路轴负方向做减速运动的最大路程程y由动能定理知：由动能定理知：得得所以粒子运动的总路程为所以粒子运动的总路程为4LR BqRvm212qEym v232qBLymE221162qB LSLmExyyv0vv0vy45aaOxyvvP075030甲甲乙乙tB-B0B00T2T四、变化的磁场四、变
20、化的磁场aaOxPv075030O1aaOxPv075030O1O3O2图图6、图、图6所示：由光滑绝缘壁围成的正方形（边长为所示：由光滑绝缘壁围成的正方形（边长为a）匀强磁场区域的磁感强度为）匀强磁场区域的磁感强度为B(边界线上无磁场边界线上无磁场)质质量为量为m、电量为、电量为q的正粒子垂直于磁场方向和边界从的正粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正中央的下边界正中央的A孔射入该磁场中，粒子碰撞时无能孔射入该磁场中，粒子碰撞时无能量和电量损失，不计粒子重力和碰撞时间，粒子运动量和电量损失，不计粒子重力和碰撞时间，粒子运动半径小于半径小于a，要使粒子仍能从，要使粒子仍能从A孔射出，求粒子的入孔射
21、出，求粒子的入射速度和粒子在磁场中的运动时间？射速度和粒子在磁场中的运动时间？五、矩形磁场区五、矩形磁场区RvmqvB2qBmT23,2,14nnrLnmqBLv43,2,1n3,2,12422/nqBmnvbnTt图图7 设粒子运动半径为设粒子运动半径为R,，则，则 运动周期运动周期 粒子能从粒子能从A孔射出，则粒子的运动轨迹有两种典型：孔射出，则粒子的运动轨迹有两种典型：图图7所示情形所示情形 则则 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度（）磁场中的运动时间磁场中的运动时间其粒子运动的轨迹给成了其粒子运动的轨迹给成了一幅美丽的窗帘一幅美丽的窗帘。3,2,1122nRnLmnqBLv1223,2,1n3,2,114214nqBmnTnt图图8 图图8所示情形所示情形 则则 求得粒子的入射速度求得粒子的入射速度 磁场中的运动时间磁场中的运动时间该粒子运动的轨迹该粒子运动的轨迹绘成了绘成了一块漂亮的磁砖一块漂亮的磁砖。aaBv0v0v0SvvBPSvSQPQQ量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态MNPQOMNPQO0v欢迎欣赏欢迎欣赏作业：作业：小题狂练小题狂练 第28练
