1、勾股定理知识点总结1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜斜边长为边长为c,那么那么a2+b2=c2.练习：1.如图所示，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形如图所示，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是（两直角边长分别是a，b，斜边长为，斜边长为c）和一个边长为）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。形。（1）画出拼成的图形的示意图；）画出拼成的图形的示意图；（2）利用该图形证明勾股定理。）利用该图形证明勾股定理。c ca ab bc ca ab bc c
2、a ab bc cc cc cc cc ca ab b练习：拼图证明法一：拼图证明法一：c cc cc cc c正方形的面积：c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab ba ab bb ba aa ab bb ba a2c1个三角形的面积：ab214个三角形的面积：ab214大正方形的面积：22baab214c）（所以：所以：ab2c222bab2aab2bab2ac222222cba2)ba(练习：拼图证明法二：拼图证明法二：c cc cc cc c正方形的面积：c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab b2c1个三角形的面积：ab21
3、4个三角形的面积：ab214小正方形的面积：222cba2ab）（22cabab214）（所所以以：222caab2bab2练习：2.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，那么把两个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，那么图中三角形面积之和与四边形图中三角形面积之和与四边形ABCD面积之间的关系用面积之间的关系用式子可表示为式子可表示为_,整理后即整理后即为为_.A AB BC CD DE Ea aa ab bb bc cc c1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜斜边长为边长为c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（1）已
4、知直角三角形的两边求第三边;在RtABC中，C=90，a,b,c分别是A,B,C的对边已知a,b，求c已知a,c，求b已知b,c，求a22bac22acb22bca练习：1.在在ABC中，中，C=90，A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c.（1）当）当a=3,b=4时，时，c=_；（2）当）当AB=10,BC=8时，时，AC=_.2.如图，直角三角形中未知边如图，直角三角形中未知边x=_,y=_.x1582425y561771.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜斜边长为边长为c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（2）已
5、知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边;练习：1.若一个直角三角形的一条直角边长是若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直，另一条直角边比斜边短角边比斜边短1cm，则斜边的长是，则斜边的长是_cm.2.直角三角形的斜边比一直角边长直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长，另一直角边长为为6cm，则它的斜边长为（，则它的斜边长为（）A.2cm B.6cm C.8cm D.10cm3.已知直角三角形中，已知直角三角形中，30角所对的直角边长是角所对的直角边长是 cm，则另一条直角边的长是（则另一条直角边的长是（）A.4cm B.cm C.6cm D.cm323436
6、25DC1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜斜边长为边长为c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.练习：1.如图，已知如图，已知ABC中，中，ACB=90，以，以ABC的各边为的各边为边在边在ABC外作三个正方形，外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三分别表示这三个正方形的面积，个正方形的面积，S1=6，S3=25，则，则S2=_.S S3 3S S2 2S S1 1A AB BC C19练习：2.如图，直线如图，直线l经过正方形经过正方形ABCD的顶点的顶点B，点，点A、C到
7、直到直线线l的距离分别是的距离分别是1、2，则正方形的边长是，则正方形的边长是_练习：3.在直线上依次摆着在直线上依次摆着7个正方形个正方形(如图如图)，已知倾斜放置的，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的，水平放置的4个正方个正方形的面积是形的面积是S1，S2，S3，S4，则，则S1S2S3S4_4ABCDE1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜斜边长为边长为c,那么那么a2+b2=c2.勾股定理的主要应用：（4）求作长度为 的线段.练习：1.在数轴上画出表示在数轴上画出表示 及及 的点的点101
8、3x x0 01 1-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5AB BC C1 1练习：1.在数轴上画出表示在数轴上画出表示 及及 的点的点1013A0 01 12 23 34 4-1-1x xB BC C2 22.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则AB
9、C是以C为直角的直角三角形练习：1.已知已知ABC的三边长的三边长a，b，c满足：满足：(a+c)(a-c)=b2,则（则（）A.a边所对的角是直角边所对的角是直角B.b边所对的角是直角边所对的角是直角C.c边所对的角是直角边所对的角是直角D.ABC不是直角三角形不是直角三角形A练习：2.已知已知a，b，c是是ABC的三边长，且满足关系的三边长，且满足关系式：式：,则则ABC一定是（一定是（）A.等腰三角形等腰三角形 B.直角三角形直角三角形C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.钝角三角形钝角三角形3.若一个三角形的两边长分别为若一个三角形的两边长分别为a，b，且，且a，b满足满足 ，它的第三
10、边长为，它的第三边长为5，则这个三角形是，则这个三角形是_三角形（按角分类填写）三角形（按角分类填写）C0babac22204b9a6a2直角3.原命题与逆命题互逆命题互逆命题:两个命题中两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命如果第一个命题的题设是第二个命题的结论题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题而第一个命题的结论又是第二个命题的题设设,那么这两个命题叫做互逆命题那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它那么另一个叫做它的逆命题的逆命题.互逆定理互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题
11、,那么那么它也是一个定理它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理这两个定理叫做互逆定理,其中一其中一个叫做另一个的逆定理个叫做另一个的逆定理.练习：1.下列说法，正确的是（下列说法，正确的是（）A.真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题B.原命题是假命题，它的逆命题也是假命题原命题是假命题，它的逆命题也是假命题C.定理一定有逆定理定理一定有逆定理D.命题一定有逆命题命题一定有逆命题D练习：2.下列定理，有逆定理的是（下列定理，有逆定理的是（）A.对顶角相等对顶角相等B.全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等C.两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等D.平面内，线段的垂直平分
12、线上的点到线段两端点的距平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等D练习：3.“如果如果x=3，那么，那么 ”的逆命题是的逆命题是_，该逆命题是，该逆命题是_命题（填命题（填“真真”或或“假假”）；）；“如果两个数互为相反数，那么它们的和为零如果两个数互为相反数，那么它们的和为零”的逆命的逆命题是题是_，该逆命题是，该逆命题是_命题（填命题（填“真真”或或“假假”）3x 如果那么x=3假如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数真练习：4.命题命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等等”是是_命题（填命题（填“真真”或或“假假”）
13、，它的逆命题是），它的逆命题是_该逆命题是该逆命题是_命题（填命题（填“真真”或或“假假”）假如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等真4.勾股数 （1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即为勾股数，即a2+b2=c2中中a，b，c，为正整数时，称，为正整数时，称a，b，c为一组勾股数为一组勾股数.（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9,40,41等等 （3）如果）如果(a，b，c)是勾股数，当是勾股数，当t为正整数时
14、，若以为正整数时，若以at，bt，ct为三角形的三边长，则此三角形必为直角三为三角形的三边长，则此三角形必为直角三角形角形.练习：1.若正整数若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一定是一组勾股数，则下列各组数中，一定是勾股数的是（是勾股数的是（）A.a+1,b+1,c+1 B.a2,b2,c2 C.2a,2b,2c D.a-1,b-1,c-12.下列几组数：下列几组数：其中是勾股数的有其中是勾股数的有_（只填序号）（只填序号）C.15453504030321，；，；，5.分类讨论思想._x,x,4,312则则长分别是长分别是已知：直角三角形的边已知：直角三角形的边.25或7解：情形
15、一：当斜边为x时，则两直角边分别为3，4.根据勾股定理解：情形二：当斜边为4时，则两直角边分别为x，3.根据勾股定理22243x1692522243x22234x91675.分类讨论思想的长度。的长度。求求边上的高线边上的高线，中，中，BC,8ADBC17AC10ABABC.2A AB BC CD D101017178 822ADABBD22810 36622ADACCD22817 22817 22515DCBDBC15621解：情形一：5.分类讨论思想的长度。的长度。求求边上的高线边上的高线，中，中，BC,8ADBC17AC10ABABC.222ADABBD22810 36622ADACCD
16、22817 22817 22515BDDCBC6159解：情形二：D DC CB BA A8 8101017175.分类讨论思想分类思想分类思想:1.直角三角形中，已知两条边直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜不知道是直角边还是斜边时，应分类讨论。边时，应分类讨论。2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图，当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图，避免遗漏另一种情况。避免遗漏另一种情况。6.方程思想例例.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开米，当他把绳子的下端拉开5米后，
17、米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ABC5米(X+1)米x米6.方程思想例例2.有一个水池，水面是一个边长为有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺。如果把在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？1 1尺尺1010尺尺5 5尺尺x尺(x+1)尺解：设水深为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺。根据勾股定理得
18、：(x+1)2-x2=52解得：x=12 x+1=13水深为12尺，芦苇的长度为13尺。6.方程思想方程思想：方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。定理列方程。7.折叠问题例例1.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能你能求出求出CE的长吗？的长吗？A AB BC CD DE E10cm6cmx(10-
19、x)(10-x)解：设CE的长为 x cm.AE=AC-CE =10-xBE=10-x根据勾股定理得：(10-x)2-x2=62解得：x=3.2 cmCE的长为 3.2 cm.8.展开思想 例例1.1.小明家住在小明家住在1818层的高楼，一天，他与妈妈去买竹层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。竿。买最长的吧！快点回家，好用它凉衣服。糟糕，太长了，放不进去。如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？8.展开思想1.51.5米米1.51.5米米2.22.2米米2.22.2米米A AB BC CBC2=CD2+BD2 =1.52+1.52
20、 =4.5AB2=AC2+BC2 =2.22+4.5 =9.34 9AB3米ABCD1.51.5米米1.51.5米米D DB BC C8.展开思想2 2B BC C例例2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为分别为20dm、3dm、2dm，A和和B是这个台阶两个相对是这个台阶两个相对的端点，的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？点最短路程是多少？B20322 23 32 23 3A20203 3A A展开图：8.展开思想例例3.如图，长
21、方体的长为如图，长方体的长为15cm，宽为，宽为10cm，高为，高为20cm，点点B离点离点C 5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？，需要爬行的最短距离是多少？A AB BC C15cm15cm10cm10cm20cm20cm展开图：DA AC CB B15cm15cm10cm10cm20cm20cmD D5cm5cm8.展开思想 例4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 BB8OA2ACB8.展开思想 1.几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。平面。2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。谢谢大家！
