1、利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。2通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。【学习重难点】1了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)2掌握函数零点存在的判定方法。(重点)3能结合图像求解零点问题。(难点)【学习过程】一、预习提问思考：(1)函数的零点是点吗？(2)若f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示 (1)不是点，是数。(2)不一定，如yx21，在区间(2，2)上有两个零点。二、合作探究求函数的零点【例1】 判断下列函数是否存在零点，如
2、果存在，请求出。(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x。【答案】(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无解，所以函数f(x)x22x4不存在零点。(3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3判断零点所在的区间【例2】 (1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1，6上的零点至少有(
3、)A2个 B3个C4个 D5个(2)函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是( )A(1，2) B(2，3)C和(3，4) D(e，)【答案】(1)B (2)B (1)由已知数表可知f(2)f(3)10(7)0，f(3)f(4)(7)60，f(4)f(5)6(4)0，故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。(2)f(1)20，f(2)ln 210，在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)ln 30，f(2)f(3)0，f(x)在(2，3)内有零点。【母题探究】1(变条件)已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在区间是( )A(3，
4、4) B(2，3)C(1，2) D(0，1)2(变结论)探究1中，函数yf(x)有负零点吗？【答案】1C 因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，又f(x)仅有一个正零点，故选C2解 当x1时，f(x)x3x1x(x21)11，当1x0时，f(x)x3x1x3(x1)(x1)0，综上知，当x0时，f(x)0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点，故选B(2)因为f(1)2，f(2)ln 210；所以f(1)f(2)0.又f(x)ln xx23的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。又f(x)在(0，)上
5、是递增的，所以零点只有1个。【学习小结】(1)函数的零点：定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。(2)函数零点的判定定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解。【精炼反馈】1思考辨析(1)零点即函数yf(x)的图像与x轴的交点。( )(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)有两个零点。( )(3)若函数yf(x)在区间(a，
6、b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.( )2yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )A1，(1，0) B(1，0)，0C(1，0)，1 D1，13若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；函数f(x)在(3，5)内无零点；函数f(x)在(2，5)内有零点；函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1，5)内。以上说法错误的是_(将序号填在横线上)。4判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。(1)y；(2)yx22x4；(3)y1log5x。【答案】1(1)(2)(3)2C由yx10，得x1，故交点坐标为(1，0)，零点是13由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，错误。4解 (1)令y0，得0，无解。故函数不存在零点。(2)令y0，得x22x40，444120.故函数不存在零点。(3)令y0，得1log5x0，log5x1，解得x5故函数的零点为5
