1、4.1样本的数字特征自主预习自主预习新知导学新知导学合作探究合作探究释疑解惑释疑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.通过实例了解样本的数字特征通过实例了解样本的数字特征.2.理解样本的数字特征从不同角度反映数据特理解样本的数字特征从不同角度反映数据特点点.3.会求样本的有关数字特征会求样本的有关数字特征.4.体会数学数据统计的过程体会数学数据统计的过程,培养数学运算和数培养数学运算和数据分析的学科素养据分析的学科素养.一、样本的数字特征一、样本的数字特征【问题思考】【问题思考】1.在初中我们已经学习过平均数、中位数、众数的知识在初中我们已经学习过
2、平均数、中位数、众数的知识,利用利用已有知识已有知识,回答下列问题回答下列问题:(1)如果如果5个数个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数为的平均数为7,那么那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1这这5个数的平均数是多少个数的平均数是多少?(2)一组数据一组数据12,15,24,25,31,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位的中位数是多少数是多少?众数是多少众数是多少?2.填空填空:(1)平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数.平均数是指这组数据的平均值平均数是指这组数据的平均值.一般地一般地,将这组数据按从小到将这组数据按从小到大的顺序排列后大的顺序
3、排列后,“中间中间”的那个数据为这组数据的的那个数据为这组数据的中位数中位数,它它使数据被分成的两部分的数据量是一样的使数据被分成的两部分的数据量是一样的.众数众数是指这组数是指这组数据中出现次数最多的数据据中出现次数最多的数据.在统计中在统计中,平均数是最常用的量平均数是最常用的量.但但有时候有时候,如数据中个别数据特别大或特别小时如数据中个别数据特别大或特别小时,用用中位数中位数会更会更合理合理.(2)极差、方差、标准差极差、方差、标准差.极差和方差都刻画数据的离散程度极差和方差都刻画数据的离散程度.极差是数据中最大值和极差是数据中最大值和最小值的差最小值的差,它计算简单它计算简单,但没有
4、充分利用其他数据但没有充分利用其他数据.方差刻画方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度的是数据偏离平均数的离散程度,由于方差的单位是原始数由于方差的单位是原始数据单位的平方据单位的平方,而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位原始数据相同的单位.为此为此,计算方差的算术平方根计算方差的算术平方根,得得 ,称之为标准差称之为标准差.二、数据分析的素养二、数据分析的素养【问题思考】【问题思考】1.分析数据一般从哪几个角度分析分析数据一般从哪几个角度分析?提示提示:分析数据一般从平均数和标准差两个方面进行分析分析数据一般从平均数和标准差两个方面进行
5、分析.2.如何根据问题的情境选择不同的决策如何根据问题的情境选择不同的决策?提示提示:根据问题的实际背景根据问题的实际背景,利用数据的数字特征利用数据的数字特征,可以帮助人可以帮助人们进行决策们进行决策,从而真正发挥数据分析的作用从而真正发挥数据分析的作用.值得注意的是值得注意的是,不不同的标准没有对和错的问题同的标准没有对和错的问题,也不存在所谓唯一解的问题也不存在所谓唯一解的问题,而而是根据需要来选择是根据需要来选择“好好”的决策的决策,而至于决策的好坏而至于决策的好坏,是根据提是根据提出的标准而定的出的标准而定的.三、用样本的数字特征估计总体的数字特征三、用样本的数字特征估计总体的数字特
6、征【问题思考】【问题思考】1.用样本的数字特征估计总体的数字特征时用样本的数字特征估计总体的数字特征时,如何更好地反映如何更好地反映总体信息总体信息?提示提示:如果抽样的方法比较合理如果抽样的方法比较合理,那么样本可以很好地反映总那么样本可以很好地反映总体的信息体的信息.虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征的数字特征,只是总体数字特征的一个估计只是总体数字特征的一个估计,但这种估计是合但这种估计是合理的理的.样本容量越大样本容量越大,样本所包含的总体信息就越多样本所包含的总体信息就越多,估计的合估计的合理性就越充分理性就越充分.2.做一
7、做做一做:从甲、乙两种玉米苗中各抽从甲、乙两种玉米苗中各抽10株株,分别测得它们的分别测得它们的株高株高(单位单位:cm)如下如下:甲甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问问:(1)哪种玉米苗长得高哪种玉米苗长得高?(2)哪种玉米苗长得齐哪种玉米苗长得齐?【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错错误的画误的画“”.(1)一组数据的众数、中位数、平均数可能相等一组数据的众数、中位数、平均数可能相等.()(2)一组数据的众数
8、不一定唯一一组数据的众数不一定唯一.()(3)方差或标准差反映数据的离散程度方差或标准差反映数据的离散程度,方差越小方差越小,数据越集中数据越集中,方差越大方差越大,数据越分散数据越分散.()(4)方差和标准差具有相同的单位方差和标准差具有相同的单位.()(5)数据中的每一个数减去同一个非零常数所得的数据的平数据中的每一个数减去同一个非零常数所得的数据的平均数改变均数改变,但方差不变但方差不变.()探究一探究一 众数、中位数、平均数的简单应用众数、中位数、平均数的简单应用【例【例1】某公司某公司33名职工的月工资名职工的月工资(单位单位:元元)情况如下表情况如下表:(1)求该公司职工月工资的平
9、均数、中位数、众数求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.(2)如果董事长的工资从如果董事长的工资从7 500元提升到元提升到30 000元元,副董事长的工资副董事长的工资从从7 000元提升到元提升到20 000元元,那么新数据的平均数、中位数、众数那么新数据的平均数、中位数、众数又是多少又是多少?(精确到精确到1)(3)你认为哪个数字特征能更好地反映这个公司职工的工资水平你认为哪个数字特征能更好地反映这个公司职工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法结合此问题谈一谈你的看法.(3)在这个问题中在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平水平.因
10、为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大较大,这样导致平均数与中位数偏差较大这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能很所以平均数不能很好地反映这个公司员工的工资水平好地反映这个公司员工的工资水平.1.众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的,但任何一个样但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变本数据改变都会引起平均数的改变,而众数、中位数不具有而众数、中位数不具有这个性质这个性质,所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息的信息,它是样本数据的重心它
11、是样本数据的重心.2.在样本中出现极端值的情况下在样本中出现极端值的情况下,众数、中位数能更好地反映众数、中位数能更好地反映样本数据的平均水平样本数据的平均水平.【变式训练【变式训练1】高一高一(3)班有男同学班有男同学27名名,女同学女同学21名名,在一次在一次语文测验中语文测验中,男同学的平均分是男同学的平均分是82分分,中位数是中位数是75分分,女同学的女同学的平均分是平均分是80分分,中位数是中位数是80分分.(1)求这次测验全班的平均分求这次测验全班的平均分(精确到精确到0.01);(2)估计全班成绩在估计全班成绩在80分以下分以下(含含80分分)的同学至少有多少人的同学至少有多少人
12、;(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.解解:(1)利用平均数计算公式得利用平均数计算公式得(2)因为男同学成绩的中位数是因为男同学成绩的中位数是75分分,所以至少有所以至少有14人得分不超过人得分不超过75分分.又因为女同学成绩的中位数是又因为女同学成绩的中位数是80分分,所以至少有所以至少有11人得分不超过人得分不超过80分分.所以估计全班至少有所以估计全班至少有25人得分在人得分在80分以下分以下(含含80分分).(3)男同学的平均分与中位数相差较大男同学的平均分与中位数相差较大,说明男同学的成绩两说明男同学的成绩两极分化现象严重
13、极分化现象严重,有些男同学得分较高有些男同学得分较高,同时也有一半左右的同时也有一半左右的男同学男同学(至少至少14人人)得分不超过得分不超过75分分.探究二探究二 利用方差分析数据利用方差分析数据【例【例2】甲、乙两种冬小麦试验品种连续甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面年的平均单位面积产量积产量(单位单位:t/hm2)如下如下:根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广?分析分析:从平均数和方差两个角度去考虑从平均数和方差两个角度去考虑.平均数和方差是样本的两个重要的数字特征平均数和方差是样本的两个重要的数字特征,方差越大方差越大,表明表明
14、数据越分散数据越分散,相反地相反地,方差越小方差越小,表明数据越集中稳定表明数据越集中稳定;平均数平均数越大越大,表明数据的平均水平越高表明数据的平均水平越高;平均数越小平均数越小,表明数据的平均表明数据的平均水平越低水平越低.【变式训练【变式训练2】已知母鸡产蛋的最佳温度在已知母鸡产蛋的最佳温度在10 左右左右,下面下面是在甲、乙两地六个时间测得的温度是在甲、乙两地六个时间测得的温度,你认为甲、乙两地哪你认为甲、乙两地哪个更适合母鸡产蛋个更适合母鸡产蛋?显然两地的平均温度相等显然两地的平均温度相等,乙地温度的标准差较小乙地温度的标准差较小,说明了乙说明了乙地温度波动较小地温度波动较小,因此因
15、此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋乙地比甲地更适合母鸡产蛋.探究三探究三 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征【例【例3】甲、乙两台机床同时加工直径为甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件的零件,为为了检验产品的质量了检验产品的质量,从两台机床生产的产品中分别随机抽取从两台机床生产的产品中分别随机抽取6件进行测量件进行测量,测得数据测得数据(单位单位:mm)如下如下:甲甲:99,100,98,100,100,103;乙乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差分别计算上述两组数据的平均数和方差;(2)根据根据(1)
16、的计算结果的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求合要求.分析分析:利用平均数与方差公式分别进行计算利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断并作出判断.平均数描述了数据的平均水平平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋定量地反映了数据的集中趋势所处的水平势所处的水平.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.【变式训练【变式训练3】为了选拔一名同学参加全市中学生射击竞赛为了选拔一名同学参加全市中学生射击竞赛,某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试,两人在相同两
17、人在相同条件下各射靶条件下各射靶10次次,统计结果如下统计结果如下:(2)比较甲、乙两名同学的射击水平比较甲、乙两名同学的射击水平,谁的成绩更稳定一些谁的成绩更稳定一些?你你认为学校派谁参加竞赛更合适认为学校派谁参加竞赛更合适?方差、标准差混淆而致误方差、标准差混淆而致误【典例】【典例】从某项综合能力测试中抽取从某项综合能力测试中抽取100人的成绩人的成绩,统计数据统计数据如表所示如表所示,则这则这100人成绩的标准差为人成绩的标准差为.以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:错解中求的是方差
18、错解中求的是方差,而不是标准差而不是标准差.1.理解方差的加权形式的计算公式理解方差的加权形式的计算公式.2.注意方差和标准差的区别与联系注意方差和标准差的区别与联系,审清题意审清题意.1.已知一个容量为已知一个容量为10的样本的样本,其平均数为其平均数为5.1,方差为方差为0.2,则估计则估计总体的平均数与方差分别是总体的平均数与方差分别是()A.5.1,0.2B.0.2,0.2C.5.1,2D.都不能估计都不能估计答案答案:A2.设矩形的长为设矩形的长为a,宽为宽为b,其比满足其比满足 ,这种矩形这种矩形给人以美感给人以美感,称为黄金矩形称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中黄金矩形常
19、应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取的两个批次的初加工矩形宽度与下面是某工艺品厂随机抽取的两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本长度的比值样本:甲批次甲批次:0.5980.6250.6280.5950.639乙批次乙批次:0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值与标准值0.618比较比较,下列结论正确的是下列结论正确的是()A.甲批次的总体平均数与标准值更接近甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与
20、标准值接近程度相同两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析解析:计算可得甲批次样本的平均数为计算可得甲批次样本的平均数为0.617,乙批次样本的平乙批次样本的平均数为均数为0.613,由此估计两个批次的总体平均数分别为由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617,0.613,则甲批次的总体平均数与标准值更接近则甲批次的总体平均数与标准值更接近,故选故选A.答案答案:A3.甲、乙两人在相同的条件下练习射击甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打每人打5发子弹发子弹,命中命中的环数如下的环数如下:甲甲:6,8
21、,9,9,8;乙乙:10,7,7,7,9.则两人的射击成绩较稳定的是则两人的射击成绩较稳定的是.答案答案:甲甲 4.甲电池厂从某日生产的电池中抽取甲电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命个进行寿命(单位单位:h)测试测试,得到的数据如下得到的数据如下:30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则估计该电池的平均寿命为则估计该电池的平均寿命为,方差为方差为.答案答案:28 h17.4 h2 5.下面是甲、乙两名同学下面是甲、乙两名同学13次考试的成绩次考试的成绩(单位单位:分分):甲甲:6571767581868988959194107110乙乙:797186838893999898103101102114(1)分别求出这两名同学考试成绩的平均数和标准差分别求出这两名同学考试成绩的平均数和标准差;(平均数平均数精确到精确到1,标准差精确到标准差精确到0.1)(2)比较这两名同学的成绩比较这两名同学的成绩,谈谈你的看法谈谈你的看法.分析分析:根据数据根据数据,计算平均数计算平均数,然后求出标准差然后求出标准差,最后依据结果最后依据结果比较比较,可以借助于计算器可以借助于计算器.所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好,也没有乙的学习成也没有乙的学习成绩稳定绩稳定.
