1、2实际问题中的函数模型实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画实际问题的函数刻画课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.新知探究澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草
2、几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.问题指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？提示都是增函数，而yax(a1)时增长速度越来越快；ylogax(a1)在(0，)上增长速度非常缓慢.1.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.2.常见的函数模型拓展
3、深化微判断判断下列说法的正误.1.某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()2.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y4x200.()3.在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.()提示1.100(110%)0.91001.微训练1.某人从2015年1月1日到银行存入a元，若年利率为x，按复利计算，则2020年1月1日到期时可取款_元()A.a(1x)5 B.a(1x)6C.a(1x)5 D.a(1x5)答案A2.某汽车运输公司购买
4、了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(xN)为二次函数关系，则客车有营运利润的时间不超过()A.4年 B.5年 C.6年 D.7年答案D3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若这种动物第一年繁殖数量为100只，则到15年繁殖数量为_只.解析f(1)100，a100，f(15)100log216400.答案400题型一实际问题的函数刻画【例1】18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不
5、算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4()5(木星)6(土星)7()距离0.71.01.65.210.0 解由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型，设f(x)abxc.()()得b2，代入，符合对应表值，f(4)2.8，f(7)19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星，它与太阳距离大约是19.6天文单位.规律方法建立模拟函数解应用题的一般步骤为：(1)作图：根据已知数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较
6、接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题.【训练1】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51解由图表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型.设二次函数的解析式为ya(x4)22(a0)；一次函数的解析式为ybx.把x1，y0.65代入ya(x4)22(a0)，得0.65a(14)22，解得a0.1
7、5.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y0.15(x4)22表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字).把x4，y1代入ybx，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25x表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得WyAyB0.15(xA
8、4)220.25xB，其中xAxB12.即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润4.1万元.题型二由函数图象解决应用题【例2】甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示.甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只.乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：解(1)由图可知，直线y甲kxb，经过(1，1)和(6，2).直线y乙mxn，经过(1，30)和(6，10)，可求得k0.2，b0.8，m4，n34，y甲0.2x0.8，y乙4x34.故第2年甲鱼池的个数
9、为26个，全县出产甲鱼的总数为261.231.2(万只).(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只.(3)设第x年规模最大，即求0.8x23.6x27.2的最大值.y甲y乙0.843.6227.231.2(万只)最大.即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只.规律方法在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.【训练
10、2】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(tN)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(tN)(天)之间的关系如下表：t/天5102030Q/件35302010(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额每件的销售价格日销售量).解(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数关系式为Qt40(0t30，tN)，(3)由题意当0t0).(1)写出y关于
11、x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值.规律方法关键是转化，需认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.解(1)不是.对于函数模型ylg xkx5(k为常数)，但x50时，f(50)lg 5067.55015%，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求.a为正整数，函数在50，500递增，f(x)minf(50)7，解得a344.要使f(x)0.15x对x50，500恒成立，即a0.15x213.8x对x50，500恒成立，所以a315.综上所述，315a344，所以满足条件的最小
12、的正整数a的值为315.一、素养落地1.通过本节内容的学习，培养学生数据分析素养，数学建模素养，数学抽象素养.2.函数模型的应用主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题，(2)建立确定性的函数模型解决实际问题，(3)建立拟合函数模型解决实际问题.二、素养训练1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年5月1日1235 0002018年5月15日4835 600解析由表
13、知：汽车行驶路程为35 60035 000600(千米)，耗油量为48升，每100千米耗油量8升.答案B2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型解析随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故函数模型为一次函数模型.故选A.答案Ax45678910y151719212325273.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这
14、个人应得稿费(扣税前)为_元.令(x800)0.14420，解得x3 800，令0.112x420，得x3 750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3 800元.答案3 8004.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个_元.解析设涨价x元时，获得利润为y元，y(5x)(502x)2x240 x250，x10时，y取最大值，此时售价为60元.答案602.2用函数模型解决实际问题用函数模型解决实际问题课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.通过本节内容的学习
15、，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.新知探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201520162017销量/万辆81830问题1.在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取信息？2.如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数型g(x)abxc(a0，b1，b0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？3.依照目前的形势分析，你能预测一下2019年该公司预销售多
16、少辆汽车吗？结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.提示1.建立函数模型.2.f(x)ax2bxc能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.3.60万.1.数学模型数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构，其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.2.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步
17、骤用框图表示如图：4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y2x.()提示1.幂函数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较.4.分裂一次由2个变成2222(个)，分裂两次后4223(个)，所以分裂x次后y2x1(个).微训练1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使收入每天达到最高，则每间应定价为()A.20元 B.18元C.16元 D.14元每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75%85%95%解析每天的收入在四种情况下分别为206
18、5%1001 300(元)，1875%1001 350(元)，1685%1001 360(元)，1495%100 1330(元).答案C解析若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x40100，不合题意.故拟录用25人.答案C题型一一次函数、二次函数模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为“无效价格”，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
19、(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x(100，300，nkxb(k0)，0300kb，即b300k，nk(x300).利润y(x100)k(x300)k(x200)210 000k(x(100，300)，k0，x200时，ymax10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.(2)由题意得k(x100)(x300)10 000k75%，x2400 x37 5000，解得x250或x150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标
20、价为250元或150元.规律方法利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解(1)由已知，由价格乘以销售量
21、可得：(2)由(1)知当0t10时，yt210t1 200(t5)21 225，函数图象开口向下，对称轴为t5，该函数在t0，5上递增，在t(5，10上递减，ymax1 225(当t5时取得)，ymin1 200(当t0或10时取得)；当10t20时，yt290t2 000(t45)225，图象开口向上，对称轴为t45，该函数在t(10，20上递减，ymax1 200(当t10时取得)，ymin600(当t20时取得).由知ymax1 225(当t5时取得)，ymin600(当t20时取得).规律方法应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义
22、域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.解(1)当0 x40时，L(x)5100 x10 x2100 x2 50010 x2400 x2 500；当x40时，(2)当0 x0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.即至少要过滤8次才能达到市场要求.一、素养落地1.通过本节内容的学习，重点提升学生的数学建模素养及数据分析素养.2.在实际问题向数学问题的转化过程中，
23、要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.3.根据收集数据的特点，通过建立函数模型，从而解决问题.二、素养训练1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A.ylog2x B.y2x C.yx2 D.y2x解析逐个检验可得答案为B.答案B时间1234利润(千元)23.988.0115.992.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A.y2t B.y120tC.y2t(t0)D.y120t(t0)解析90 min1.5 h，所以汽
24、车的速度为1801.5120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y120t(t0).答案D3.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为_元.解析设彩电的原价为a，a(10.4)80%a270，0.12a270，解得a2 250.每台彩电的原价为2 250元.答案2 2504.2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则_年我国人口将超过20亿(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 70.845 1).答案2 0371.上课认真听讲，理解透彻这都
25、是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。如何学好中学数学？2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中
26、半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。
