1、北师大版高中数学选择性必修第一册知识点第一章 直线与圆- 2 -1直线与直线的方程- 2 -2圆与圆的方程- 29 -第二章 圆锥曲线- 46 -1椭圆- 46 -2双曲线- 55 -3抛物线- 63 -4直线与圆锥曲线的位置关系- 72 -第三章 空间向量与立体几何- 77 -1空间直角坐标系- 77 -2空间向量与向量运算- 85 -3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算- 98 -4向量在立体几何中的应用- 107 -5数学探究活动(一)：正方体截面探究- 127 -第四章 数学建模活动（三）- 130 -第五章 计数原理- 134 -1计数原理- 134 -2排列- 139 -3组合-
2、 144 -4二项式定理- 148 -第六章 概率- 157 -1随机事件的条件概率- 157 -2离散型随机变量及其分布列- 165 -3离散型随机变量的均值与方差- 172 -4二项分布与超几何分布- 180 -5正态分布- 186 -第七章 统计案例- 190 -1一元线性回归- 190 -2成对数据的线性相关性- 194 -3独立性检验- 199 -第一章 直线与圆1直线与直线的方程1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系1直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为
3、直线l的倾斜角规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：倾斜角的取值范围为2直线的斜率(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x1x2)(2)直线的斜率表示直线的倾斜程度3直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(1)从函数角度看，k是的函数，其中ktan ，图象如图所示当时，斜率k0，且k随倾斜角的增大而增大；当时，斜率k0，且k随倾斜角的增大而增大；当时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在(2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2x1，y2y1)，直线的
4、倾斜角、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度它们之间的关系是ktan (其中x1x2)若k是直线l的斜率，则v(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x0，则它的斜率k任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？提示直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是时，直线的斜率存在且唯一疑难问题 类型1直线的倾斜角【例1】求图中各直线的倾斜角(1)(2)(3)解(1)如图(1)，可知OAB为直线l1的倾斜角易知ABO30，OAB60，即直线l1的倾
5、斜角为60(1)(2)(3)(2)如图(2)，可知xAB为直线l2的倾斜角，易知OBA45，OAB45，xAB135，即直线l2的倾斜角为135(3)如图(3)，可知OAC为直线l3的倾斜角，易知ABO60，BAO30，OAC150，即直线l3的倾斜角为150求直线的倾斜角的两点注意(1)直线倾斜角的取值范围是.(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为. 类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60，135，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3，2)，B(4，1)，求直线AB的斜率；(3)已知直线l的一个方向向量是，求该直线的斜率(4)求经过两点
6、A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率解(1)直线的斜率分别为k1tan 60，k2tan 1351(2)直线AB的斜率kAB(3)直线l的斜率k(4)当m2时，直线AB的斜率不存在；当m2时，直线AB的斜率为kAB求直线斜率的三种方法(1)已知直线的倾斜角(90)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即ktan 求得；(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件是x1x2，若x1x2时，直线斜率不存在；(3)已知直线的方向向量v(m，n)时，可利用k来求，但要注意，当m0时，直线的斜率不存在. 类型3直线的倾斜角、斜率的应用三点共线问题【例3】如果三点A(2，1)，B(2
7、，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值解kAB，kAC，A，B，C三点共线，kABkAC，即，m6斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围解如图所示kAP1，kBP，k(，1，)，45120直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确
8、定是取“中间”，还是取“两边”.归纳总结1直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度2倾斜角是90的直线没有斜率，倾斜角不是90的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90时，斜率公式才成立3斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用1.3直线的方程第1课时直线方程的点斜式1直线l的方程如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程2直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程yy0k(xx0)ykxb适用范围斜
9、率存在3直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距(1)斜截式方程应用的前提是什么？(2)纵截距一定是距离吗？提示(1)直线的斜率存在(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数疑难问题 类型1直线方程的点斜式【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形(1)经过点A(1，4)，斜率k3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45；(3)经过点B(3，5)，倾斜角为90；(4)经过点C(2，8)，D(3，2)解(1)y43x(1)，即y3x1如图(1)所示(2)ktan 451，y0x0，即yx如图(2)所示(1)(2)(3)斜率k不存
10、在，直线方程为x3如图(3)所示(4)k2，y82(x2)，即y2x4如图(4)所示(3)(4)求直线方程的点斜式的步骤 类型2直线方程的斜截式【例2】求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点P(0，1)，斜率为2；(2)与直线yx1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3解(1)y2x1(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，故k，直线l的方程为yx1(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3；所求直线方程为yx3或yx3直线方程的斜截式求解策略(1)直线的斜截
11、式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 类型3直线过定点问题【例3】求证：不论m为何值时，直线l：y(m1)x2m1恒过定点证明法一：直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2，3)法二：直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0令 解得 无论m取何值，直线l总经过点(2，3)本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式
12、的应用，法二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.归纳总结直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式1直线方程的两点式与截距式两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b其中ab0图形方程1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1直线的方程一定能用两点式表示吗？提示当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示2直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示每个关于x，y的二元
13、一次方程都表示一条直线(2)直线方程的一般式的定义我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式2在直线方程的一般式AxByC0中，为什么规定A，B不同时为0?提示当A，B同时为0时，方程AxByC0表示的不是直线疑难问题 类型1直线方程的两点式和截距式直线方程的两点式【例1】已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程解A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x2由直线方程的两点式可得，AC的方程为，即xy30同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为，即x2y60三边AB，AC，
14、BC所在的直线方程分别为x2，xy30，x2y60(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.直线方程的截距式【例2】求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解法一：当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya，又l过点A(5，2)，52a，a3，l的方程为xy30，综上所述，直线l
15、的方程是2x5y0，或xy30法二：由题意知直线的斜率一定存在设直线方程的点斜式为y2k(x5)，x0时，y25k，y0时，x5根据题意得25k，解方程得k或1当k时，直线方程为y2(x5)，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21(x5)，即xy30求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：(1)根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a0，b0)的直线方程常设为1.(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值. 类型2直线方程的一般式【例3】设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0(1)若直线l在x轴上的截距为3，则m_；
16、(2)若直线l的斜率为1，则m_(1)(2)2(1)令y0，则x，3，得m或m3当m3时，m22m30，不合题意，舍去m(2)由题意知，2m2m10，即m1且m，由直线l化为斜截式方程，得yx，则1，得m2或m1(舍去)m2直线方程的几种形式的转化 类型3直线方程的综合应用【例4】已知直线l：5ax5ya30(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围解(1)证明：法一：将直线方程变形为yax，当a>0时，直线一定经过第一象限；当a0时，y，直线显然经过第一象限；当a<0时，>0，因此直线经过第一象限综上可知，不论a为何值时，
17、直线5ax5ya30一定经过第一象限法二：将直线方程变形为ya，它表示经过点A，斜率为a的直线点A在第一象限，直线l必经过第一象限(2)如图，直线OA的斜率k3直线l不经过第二象限，直线l的斜率k3，a3，即a的取值范围为a|a3含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标.归纳总结1截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方
18、程的逆向应用2直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤：(1)移项，ByAxC；(2)当B0时，得yx3在一般式AxByC0(A2B20)中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x轴垂直的直线1.4两条直线的平行与垂直 1两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2则对应关系如下：类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示1(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为1与2，斜率分别为k1与k2，若l1l2，则1与2之间有
19、什么关系？k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1k2，是否一定有l1l2？为什么？提示(1)若l1l2，1与2之间的关系为12；对于k1与k2之间的关系，当1290时，k1k2，当1290时，k1与k2不存在(2)一定有l1l2因为k1k2，所以tan 1tan 2，所以12，所以l1l22两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件|21|9010，290对应关系l1l2k1k21l1斜率为0，l2斜率不存在图示2(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是1吗？提示(1)设两直线的倾斜角分别为1，2，若两
20、直线垂直，则|12|90(2)不一定若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在疑难问题 类型1两直线平行、垂直的判定【例1】(1)已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则实数a_(2)“ab4”是直线2xay10与直线bx2y20平行的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件思路点拨 (1)利用k1k21解题(2)先求出两直线平行的充要条件，再判断(1)1(2)C(1)由题意知(a2)a1，所以a22a10，则a1(2)直线2xay10与直线bx2y20平行的充要条件是且1，即ab4且a1，则“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的
21、必要而不充分条件判断两条不重合直线是否平行的步骤 类型2利用两直线平行、垂直求直线方程【例2】已知点A(2，2)和直线l：3x4y200，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程思路点拨利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程解法一：直线l的方程为3x4y200，kl(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，klk，kl1的方程为y2(x2)，即3x4y140(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，klk1，()k1，kl2的方程为y2(x2)，即4x3y20法二：(1)设所求直线方程为3x4yC0，点(2，2)在直线上，3242C0，
22、C14所求直线方程为3x4y140(2)设所求直线方程为4x3y0，点(2，2)在直线上，42320，2，即所求直线方程为4x3y201根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系数法求解2直线方程的常用设法过定点P(x0，y0)，可设点斜式yy0k(xx0)；知斜率k，设斜截式ykxb；与直线AxByC0平行，设为AxBym0；与直线AxByC0垂直，设为BxAyn0 类型3两条直线平行与垂直的综合应用求直线方程中参数的值【例3】已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30(1)若这两条直线垂直，求k的值；(2)若这两条直线平行，求k的值解(1)根据
23、题意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得k若这两条直线垂直，则k(2)根据题意，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3或k5经检验，均符合题意若这两条直线平行，则k3或k51利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论2当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)；l1l2A1A2B1B20求点的坐标【例4】已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5，2)，D(1，2)若四边形ABCD为直角梯形，求
24、A点坐标解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)(1)若AB90，如图(2)(2)设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB由ADBCkADkBC，即3；由ABBCkABkBC1，即(3)1解，得故A综上所述，A点坐标为(1，1)或此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.归纳总结1两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为1垂直2与直线ykxb平行的直线可设为ykxc(cb)；与直线AxByC0平行的直线可设为AxByD0(DC)3设直线l1：yk1xb1，直线l2：
25、yk2xb2若l1l2，则k1k21；反之，若k1k21，则l1l2；已知两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B201.5两条直线的交点坐标1两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：AxByC0点A在直线l上AaBbC0直线l1与l2的交点是A方程组 的解是 2方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点个数直线的位置关系无解0个平行有唯一解1个相交有无数组解无数个重合方程组 有唯一一组解的充要条件是什么？提示A1B2A2B10疑难问题 类型1两直线的交点问题【例1】判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点坐标(1)
26、l1：xy0，l2：3x3y100；(2)l1：3xy40，l2：6x2y10；(3)l1：3x4y50，l2：6x8y100解(1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是(2)2得90，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又90，所以l1l2(3)2得6x8y100，因此，和可以化成同一个方程，有无数组解，故和表示同一条直线，所以l1与l2重合方程组解的个数与两直线的位置关系.一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想. 类型2由交点求直线方程【例2】求经过两直线2x3y30和xy20
27、的交点且与直线3xy10平行的直线l的方程思路点拨思路一求出两直线2x3y30和xy20的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线系方程求解解法一：由方程组，得两直线交点坐标为，直线l和直线3xy10平行，直线l的斜率k3，根据点斜式有y3即所求直线方程为15x5y20法二：直线l过两直线2x3y30和xy20的交点，可设直线l的方程为：2x3y3(xy2)0，即(2)x(3)y230直线l与直线3xy10平行，解得从而所求直线方程为15x5y201本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键2经过两直线交点的直线系方程与直线AxByC0平行的直
28、线系方程为AxByC0(CC)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC0；过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0(1，2为参数)当11，20时，方程即为直线l1；当10，21时，方程即为直线l2 类型3直线过定点问题探究问题1不论k取什么值，直线ykx2恒过定点，试求出此定点提示由直线的方程可知当x0时，y2，此时与k的取值无关故直线恒过点(0，2)2不论m取什么值，直线y2m(x3)恒过定点求出此定点提示由直线方程可知当x3时，y2，与m的取值无关，故直线恒过定点(3，2)【例3】求证：无论k取何值
29、时，直线l：(k1)x(k1)y2k0必过定点，并求出该定点坐标思路点拨法一：法二：法三：证明法一：令k1，得到直线l1：x1，令k0，得到直线l2：xy0，由，得l1与l2交点M(1，1)，把M(1，1)的坐标代入方程(k1)x(k1)y2k0恒成立，无论k取何值时，直线(k1)x(k1)y2k0必过定点，且定点为M(1，1)法二：由已知直线l的方程得(k1)x(k1)y2k，整理可得y1(x1)(k1)，因此当k1时，直线l必过定点M(1，1)；当k1时，原直线l的方程为x1，也过点M(1，1)综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，1)法三：方程(k1)x(k1)y2k0可
30、化为k(xy2)(xy)0，由，可得点显然，使方程(k1)x(k1)y2k0恒成立，无论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，1)1法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系2处理动直线过定点问题的常用的方法：(1)将直线方程化为点斜式；(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)mg(x，y)0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，则由此方程组求得定点坐标 类型4对称问题【例4】ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y2x，若A，B两点的坐标分别为A(4，2)，B(
31、3，1)，则点C的坐标为_(2，4)把A，B两点的坐标分别代入y2x知，点A，B都不在直线y2x上，直线y2x是C的平分线所在的直线设点A(4，2)关于直线y2x的对称点为A(a，b)，则kAA，线段AA的中点坐标为，则解得即A(4，2)直线y2x是C的平分线所在的直线，A在直线BC上，直线BC的方程为，即3xy100由解得点C的坐标为(2，4)有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，,则有直线关于直线的对称可转
32、化为点关于直线的对称问题来解决.归纳总结1解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中为常数)形式，可通过求解定点2方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10，直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2)1.6平面直角坐标系中的距离公式1两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|(2)两点间距离的特殊情况原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离
33、|OP|当P1P2x轴时，|P1P2|x2x1|当P1P2y轴时，|P1P2|y2y1|1如何推导平面上的两点间的距离公式？提示因为两点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以，即|P1P2|2点到直线的距离公式(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d2在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？提示要求直线的方程应化为一般式3两条平行直线间的距离公式(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离(2)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间
34、的距离d(其中A、B不全为0，且C1C2)3在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？提示两条平行直线的方程都是一般式，且x， y对应的系数应分别相等疑难问题 类型1两点间的距离公式【例1】已知ABC三顶点坐标分别为A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)，试判断ABC的形状解法一：|AB|2，|AC|2，|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC，kAB，kACkAB1，ACAB又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|ABC是等腰直角三角形1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析
35、三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理 类型2点到直线(或平行直线间)的距离公式【例2】 若O(0，0)，A(4，1)两点到直线axa2y60的距离相等，则实数a_思路点拨 由点到直线的距离公式列出等式求a2或4或6由题意，得，即4aa266，解之得a0或2或4或6检验得a0不合题意，所以a2或4或61用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式2求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离 类型3解析法证明几何问题【例3】已知四边形ABCD为矩
36、形，M是任一点求证：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2思路点拨建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可证明分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)， 则D(0，b)，又A(0，0)则|AM|2|CM|2x2y2(xa)2(yb)2，|BM|2|DM|2(xa)2y2x2(yb)2|AM|2|CM|2|BM|2|DM|21解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系2坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系建立坐标系的
37、原则是：尽量利用图形中的对称关系归纳总结1两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|2应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离3利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路几何问题代数问题 几何结论代数结论2圆与圆的方程2.1圆的标准方程1圆的标准方程圆心为，半径是r的圆的方程为(xa)2(yb)2r2特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2y2r2确定圆的几何要素是什么？提示确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小2圆x2y2r2的简单几何性质(1)范围r，r(2)对称性圆x2y2r2既是轴对称图形，过原点的任意
38、一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点3点与圆的位置关系圆的标准方程为C：(xa)2(yb)2r2，设所给点为点P，d，则判断方法几何法代数法dr点P在圆C外(x0a)2(y0b)2r2点P在圆C外疑难问题 类型1求圆的标准方程【例1】求过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx则圆心
39、是直线yx与xy20的交点，由 得 即圆心为(1，1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24确定圆的标准方程的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷. 类型2点与圆的位置关系【例2】判断点P(2，0)与圆(x2)2(y1)23的位置关系思路点拨解答本题可以利用点P(2，0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x2)2(y1)2与3比较大小解法一：P(2，0)与圆心(2，1)的距离d1，圆的半径r，dr，点P在圆的内部法二：点P(2，0)满足(22)2(01)213，点P在圆的内部判断点P(x0，y0)
