1、第五章第五章函数应用函数应用数学文化了解数学文化的发展与应用华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”数学来源于生活，又服务于生活.在人类用智慧架的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.我国古代数学家和国外的数学家对方程的求解都有很多的研究.读图探新发现现象背后的知识方程解法时间图中国方程解法时间图西方判定方程的解1方程解的存在性及方程的近似解方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性利用函数性质判定方程解的存在性课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存
2、在定理、会判断函数零点的个数.通过本节内容的学习，使学生体会函数的零点，方程的根，图象与x轴交点的横坐标之间的转化在研究函数中的应用，提高学生数学抽象，直观想象的素养.新知探究路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？将这个实际问题抽象成数学模型.问题1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？2.函数yf(x)在区间a，b内有零点应该满足什么条件？3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.提示1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反.2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足
3、f(a)f(b)0.3.因为f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，f(c)f(d)0，但f(x)在d，e上存在零点.1.零点是一个数，而不是一个点使得f(x0)0的数_称为方程f(x)0的解，也称为函数f(x)的_.f(x)的零点就是函数yf(x)的图象与x轴交点的_.函数的零点x0零点横坐标2.零点存在定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即_，则在开区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)0至少有一个解.f(a)f(b)0拓展深化微判断判断下列说法的正误.1.函数的零点是一个点的坐标.()
4、2.函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()3.二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时，函数也可能有零点.微训练1.函数f(x)log2(x1)的零点是()A.(1，0)B.(2，0)C.1 D.2答案D2.函数f(x)3x4的零点所在区间为()A.(0，1)B.(1，0)C.(2，3)D.(1，2)答案D3.函数f(x)lg xx3的零点有_个.答案1微思考函数yf(x)在a，b上是连续不间断的图象，当f(a)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2.(2)f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，f(1)123(m1)n0，即3mn40，f
5、(2)432(m1)n0，即6mn100，由可解得m2，n2.代入函数ylogn(mx1).故函数ylogn(mx1)的解析式为ylog2(2x1).令ylog2(2x1)0，即2x11，可得x0.函数ylogn(mx1)的零点是0.题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数：(2)法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点.从而方程ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点.法二由于f(1)ln 112320
6、，所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根对应函数就有几个零点.(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.答案C题型三判断函数零点所在的区间【例3】(1)二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2b
7、xc0的两根所在区间是()A.(3，1)和(2，4)B.(3，1)和(1，1)C.(1，1)和(1，2)D.(，3)和(4，)x32101234y6m4664n6答案(1)A(2)C解析(1)易知f(x)ax2bxc的图象是一条连续不断的曲线，又f(3)f(1)6(4)240，所以f(x)在(3，1)内有零点，即方程ax2bxc0在(3，1)内有根，同理，方程ax2bxc0在(2，4)内有根.故选A.规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上
8、的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练3】(1)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A.(2，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，2)(2)若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1)(kZ)上，则k()A.2 B.1 C.2或1 D.0解析(1)f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0，1)内有零点.答案(1)C(2)C题型四二次函数的零点问题【例4】关于x的方程ax22(a1)
9、xa1，求a为何值时：(1)方程有一个正根和一个负根；(2)方程的两个根都大于1.解令f(x)ax22(a1)xa1.(1)当方程有一个正根和一个负根时，f(x)对应的草图可能如图，所示.所以当0a0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.(2)令f(x)ax22(a1)xa1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1.f(x)的草图可能如图，所示.一、素养落地1.通过本节内容的学习，培养学生直观想象素养，提升学生数学抽象素养.2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也
10、是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.两类基本初等函数的和、差、积、商，要学会将其拆分来研究，这体现了简化函数式的原则.5.函数与方程有着密切的联系，处理问题时注意它们可以相互转化.二、素养训练1.函数f(x)2x24x3的零点有()A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定解析由f(x)0，即2x24x30，因为(4)242(3)400.所以方程2x24x30有两个根，即f(x)有两个零点.答案C2.函数f(x)4x2x2的零点是()解析由f(x)4x2x2(2x2)(2x1)0得2x2，解得x1.答案B答案B4.若函数f(x)mx22x3只有一个零点，则实数m的取值是_.满
11、分示范解(1)关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数y1f(x)与函数y2k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(1，0).4分(2)在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.m的取值范围是(3，).8分满分心得函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.1.2利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解课标要求素养要求1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.通过本节内
12、容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理素养.新知探究在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆.可是维修线路的工人师傅至多爬7次电线杆就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.问题上述背景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？提示二分法.如下图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端
13、测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.1.二分法对于一般的函数yf(x)，xa，b，若函数yf(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)f(b)0，则每次取区间的_，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.中点2.二分法求函数零点近似值的步骤拓展深化微判断判断下列说法的正误.1.所有函数的零点都可以用二分法来求.()2.二分法所求出的方程的解都是近似解.()3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.()提示1.二分法只适用于函数的变号零点(即
14、函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的不能用二分法求解.2.可以是具体的解.3.不一定在右侧，也可能在左侧.微训练1.用二分法求函数f(x)2x3的零点时，初始区间可选为()A.(1，0)B.(0，1)C.(2，3)D.(1，2)答案D2.用二分法求函数f(x)x32x1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A.(1，2)B.(1.75，2)C.(1.5，2)D.(1，1.5)答案C3.用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是()A.越大，零点的精确度越高B.越大，零点精确度越低C.重复计算次数就是D.重复计算次数与无关答案B4.已知函数yf(x)
15、的图象如图所示，则不能用二分法求解的零点是_.答案x3微思考已知函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间呢？提示可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间.(2)用二分法求方程2x3x70在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_.题型一二分法概念的理解【例1】(1)下列函数中不能用二分法求零点的是()解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.(2)设f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1，2
16、)，方程2x3x70有根的区间是(1，2).答案(1)B(2)(1，2)规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B.3，4C.5，4 D.4，3解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案D题型二用二分法求函数的零点【例2】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1，1.5内的一个零点(精确度0.01).解经计算，f(1)0
17、，所以函数在1，1.5内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(
18、1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是m，c还是c，n，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.【训练2】证明函数f(x)2x3x6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).解f(1)10.又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间(1，2)内有唯一的零点，设零点为x0，则x0(1，2)，取x
19、11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1，1.25).取x31.125，f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125，1.25).取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5，1.25).|1.251.187 5|0.062 50.1，可取x01.25，则函数的一个零点可取x01.25.题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(1)2
20、0，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，由于f(x)的单调，该零点唯一，即方程2x33x3在(0，1)内有解.取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x33x30在(0.5，1)内有解.由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：【迁移】(变结论)用二分法求函数f(x)2x33x3在(0，1)上的一个零点，至少要经过多少次等分后精确度达到0.1.解至少需要n次等分，n4，至少需要4次等分.规律方法用二分法
21、求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)方法：对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)f(x)g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.【训练3】求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1).解设f(x)x22x1.因为f(2)10，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，|2.3752.437 5|0.062 50.1.从而方程x22x1的一个近似解为2.437 5.一、素养落地1.通过本节课的学习，使学生有
22、逻辑的思考问题，培养学生逻辑推理素养及数学抽象素养.2.二分法就是通过不断地将被选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，达到精确度.3.并非所有函数都可以用二分法求零点，只有满足：在区间a，b上连续不断；f(a)f(b)0，才可以用二分法.二、素养训练1.下列函数中能用二分法求零点的是()解析在A和D中，函数虽然有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.答案C2.用二分法求关于x的方程ln x2x60的近似解时，能确
23、定为解所在的初始区间的是()A.(2，3)B.(0，2)C.(1，2)D.(0，)解析令函数f(x)ln x2x6，可判断f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)4，f(2)ln 220，根据函数的零点判断方法可得零点在(2，3)内，方程ln x2x60的近似解在(2，3)内.故选A.答案A3.某方程有一无理根在区间D(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分_次后，所得近似值可精确度达到0.1.答案54.用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：根据上述数据，可得f(x)3xx4的一个零点的近似值(精确度0.01)为_.解析由参考数据知，f(1.562 5)0.00
24、30，f(1.556 25)0.0290，即f(1.562 5)f(1.556 25)0，且1.562 51.556 250.006 250.01，f(x)3xx4的一个零点的近似值可取为1.562 5.答案1.562 5(答案不唯一)f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 25)0.029f(1.550 0)0.0601.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。如何学
25、好中学数学？2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。
