1、北师大版 数学 八年级（下）第第6 6章章 平行四边形平行四边形6.3 6.3 三角形的中位线三角形的中位线1.1.掌握中位线的定义以及中位线定理。掌握中位线的定义以及中位线定理。2.2.综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题题。学习目标学习目标平行四边形的判定平行四边形的判定边边角角对角线对角线两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形一一组组对边对边平行平行且相等且相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形两组对边分别两组对边分别相等相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形两组对两组对角角分别分别相等相等的
2、四边形是平行四边形的四边形是平行四边形对对角线互相平角线互相平分的四边形是平行四边形分的四边形是平行四边形复习导入复习导入探究思考探究思考请同学们按要求画图：请同学们按要求画图：画任意画任意ABC中，画中，画AB、AC边中点边中点D、E，连接连接DEDE定义：定义：像像DE这样，这样，连接三角形连接三角形两边中点两边中点的的线段线段叫叫做三角形的做三角形的中位线中位线合作探究合作探究新知一新知一 三角形中位线三角形中位线的性质的性质观察猜想观察猜想 在在ABC中，中位线中，中位线DE和边和边BC什么关系什么关系?DE和边和边BC关系关系数量关系：数量关系：位置关系：位置关系：ABCDEDE/B
3、CDE BC12例例1 12如图如图(2)，延长，延长DE到到F，使，使FEDE，连接，连接CF.在在ADE和和CFE中，中，AECE，12，DEFE,ADE CFE.AECF，ADCF.证明：证明：已知：如图已知：如图(1)，DE是是ABC的中位线的中位线.求证：求证：DEBC，DE BC.CFAB.BDAD，CFBD.四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形(一组对边平行且相一组对边平行且相等等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形).DFBC(平行四边形的定义平行四边形的定义)，DFBC(平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等).DEBC，DE BC.12AECE，12，DEFE
4、,三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半ABCD，ABCD.如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是()要证明AB2OF，我们只需证明如图，任意画一个四边形，以证明线段倍分关系的方法：如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为()A50 B40 C30 D20掌握中位线的定义以及中位线定理。对角线互相平分的四边形是平行四边形掌握中位线的定义以及中位线定理。【中考营口】如图，在ABC中，ABAC，E，F分别是B
5、C，AC的中点，以AC为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论不正确的是()你能说说其中的道理吗？利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等个小三角形全等.归纳小结归纳小结例例2 如图，已知如图，已知E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边延长线边延长线上一点，且上一点，且CEDC，连接，连接AE，分别交，分别交BC，BD于点于点F，G，连接，连接AC交交BD于点于点O，连接，连接OF.求证：求证：AB2OF.导引：导引：点点O是平行四边形两条对角线的是平行四边形两条对角线的交点，所以点交点，所以点O是线段是线段AC的中点，的中
6、点，要证明要证明AB2OF，我们只需证明，我们只需证明点点F是线段是线段BC的中点，即证明的中点，即证明OF是是ABC的中位线的中位线合作探究合作探究证明：证明：四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ABCD，ABCD.E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边延长线上一点，边延长线上一点，且且CEDC，ABCE，ABCE.四边形四边形ABEC是平行四边形是平行四边形点点F是是BC的中点的中点又又点点O是是AC的中点，的中点，OF是是ABC的中位的中位线线AB2OF.证明线段倍分关系的方法：证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，由于三角形的中位线等于三角
7、形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理归纳小结归纳小结1已知三角形的各边长分别为已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和和12 cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长求以各边中点为顶点的三角形的周长.解：解：以各边中点为顶点的三角形的周长为以各边中点为顶点的三角形的周长为 (81012)15(cm)12巩固新知巩固新知2如图，如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了法估测出了A，B间的距离：先在
8、间的距离：先在AB外选一点外选一点C，然后步测出然后步测出AC，BC的中点的中点M，N，并步测出，并步测出MN的长，由此他就知道了的长，由此他就知道了A，B间间的距离的距离.你能说说其中的道理吗？你能说说其中的道理吗？解：解：由题意可知，由题意可知，MN是是ABC的中位线，的中位线，所以所以AB2MN.所以测出所以测出MN的长，就可知道的长，就可知道A，B间的距离间的距离A3【中考中考宜昌宜昌】如图，要测定被池塘隔开的如图，要测定被池塘隔开的A，B两两点的距离，可以在点的距离，可以在AB外选一点外选一点C，连接，连接AC，BC，并分别找出它们的中点并分别找出它们的中点D，E，连接，连接ED.现
9、测得现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则，则AB()A50 m B48 m C45 m D35 mB4【中考中考梧州梧州】如图，在如图，在ABC中，中，AB3，BC4，AC2，D，E，F分别为分别为AB，BC，AC的中点，的中点，连接连接DF，FE，则四边形，则四边形DBEF的周长是的周长是()A5 B7 C9 D11B5【中考中考遵义遵义】如图，如图，ABC的面积是的面积是12，点，点D，E，F，G分别是分别是BC，AD，BE，CE的中点，则的中点，则AFG的面积是的面积是()A4.5 B5 C5.5 D6A6【中考中考营口营口】如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，E，F分
10、别是分别是BC，AC的中点，以的中点，以AC为斜边作为斜边作RtADC，若若CADCAB45，则下列结论不正确的是，则下列结论不正确的是()AECD112.5 BDE平分平分FDCCDEC30 DAB CD2C议一议议一议如图，任意画一个四边形，以如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流并与同伴交流.合作探究合作探究新知二新知二 三角形中位线在四边形中的应用三角形中位线在四边形中的应用求证：BMECNE；ABCE，ABCE.综合运用平行四
11、边形的判定及中位线定理解决问题。对角线互相平分的四边形是平行四边形(1)求证：AFCE；如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为()AECE，12，DEFE,如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为()证明：BD，CE是ABC的中线，点F是线段BC的中点，即证明OF四边形DEFG是平行四边形，7如图，ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是OB，OC的中点求证：EFDG且EFDG.【中考宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB
12、外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.同理可得：FGBD，FG BD.有什么特征？请证明你的结论，同理：GFBC，GF BC.【中考梧州】如图，在ABC中，AB3，BC4，AC2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是()7如图，ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是OB，OC的中点求证：EFDG且EFDG.因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，两组对边分别相等的四边形是平行四边形中点四边形的定义：中点四边形的定义：依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形称
13、为中点四边形拓展：拓展：不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形是平行四边形例例3 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，点中，点E，F，G，H分别分别是边是边AB，BC，CD，DA的中点，连接的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形，得到四边形EFGH，求证：四边形，求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形如图，连接如图，连接BD.点点E，H分别是边分别是边AB，DA的中点，的中点，EH为为ABD的中位线的中位线EHBD，EH BD.同理可得：同理可得：FGBD，FG BD.EHFG，EHFG.四边形四边形EFGH是平行四边形是
14、平行四边形证明：证明：1212 此题主要考查了平行四边形的判定及三角形此题主要考查了平行四边形的判定及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键是解题的关键归纳小结归纳小结1如图，已知如图，已知E，F，G，H分别为四边形分别为四边形ABCD各边各边的中点，若的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形，则四边形EFGH的周长为的周长为()A10 cm B11 cm C12 cm D22 cmD巩固新知巩固新知2如图，已知长方形如图，已知长方形ABCD中，中，R，P分别是分别是DC，BC上的点，上的点，E，F分别是分别是AP，RP
15、的中点，当的中点，当P在在BC上从上从B向向C移动而移动而R不动时，下列结论成立的是不动时，下列结论成立的是()A线段线段EF的长逐渐增大的长逐渐增大B线段线段EF的长逐渐减小的长逐渐减小C线段线段EF的长不改变的长不改变D线段线段EF的长先增大后减小的长先增大后减小C3【中考中考怀化怀化】如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，点，点E是是AB的中点，的中点，OE5 cm，则则AD的长为的长为_cm.104【中考中考广州广州】如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，A90，AB3 ，AD3，点，点M，N分别为线段分别为线段BC，AB上的动点上的动点(含端点
16、，但点含端点，但点M不与点不与点B重重合合)，点，点E，F分别为分别为DM，MN的中点，则的中点，则EF长度长度的最大值为的最大值为_33三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半第三边的一半几何语言几何语言(如图如图)：DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBCDE=BC12ABCDE归纳新知归纳新知【中考营口】如图，在ABC中，ABAC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论不正确的是()法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，B1因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，点F是
17、线段BC的中点，即证明OFDEAC，AC2DE.然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN如图，任意画一个四边形，以ABCE，ABCE.解：(1)证明：D，E分别是BC，AB上的中点，CEFCE DEFDE掌握中位线的定义以及中位线定理。同理：GFBC，GF BC.又点O是AC的中点，OF是ABC的中位线如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为()掌握中位线的定义以及中位线定理。8如图，在ABC中，ACB90，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF2DE，连接CE，AF.GFDE，GFDE，求
18、证：BMECNE；证明：BD，CE是ABC的中线，1如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，ADAD8 8，点，点E E，F F分别是分别是BDBD，CDCD的中的中点，则点，则EFEF等于等于()A2B3C4D5C课后练习课后练习2(2018宁波宁波)如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交相交于点于点O，E是边是边CD的中点，连接的中点，连接OE.若若ABC60，BAC80，则，则1的度数为的度数为()A50 B40 C30 D20B3如图，如图，DE是是ABC的中位线，过点的中位线，过点C作作CFBD，交，交DE的延长线于点的延长线于点F，则下列结论一定正确的是，
19、则下列结论一定正确的是()AEFCF BEF BCCEFCE DEFDE B4(2018南充南充)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，A30，D，E，F分别为分别为AB，AC，AD的中点，若的中点，若BC2，则，则EF的长度为的长度为()A.B1C.D.B5如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E分别是边分别是边AB，BC的中点的中点，若，若DBE的周长是的周长是6，则，则ABC的周长等于的周长等于_.126.(2018济宁)在ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件D是BC的中点，使BED与FDE全等7如图，如图，ABC的中
20、线的中线BD，CE交于点交于点O，F，G分别是分别是OB，OC的中点求证：的中点求证：EFDG且且EFDG.证明：BD，CE是ABC的中线，DEBC，DE BC.同理：GFBC，GF BC.GFDE，GFDE，四边形DEFG是平行四边形，EFDG，EFDG.8如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，点，点D，E分别是分别是BC，AB上的中点，连接上的中点，连接DE并延长至点并延长至点F，使，使EF2DE，连接，连接CE，AF.(1)求证：AFCE；(2)若B30，AC2，连接BF，求BF的长解：(1)证明：D，E分别是BC，AB上的中点，DE为ABC的中位线，DEAC，AC2DE.又DF2D
21、E，EFAC，四边形ACEF为平行四边形，AFCE.7如图，ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是OB，OC的中点求证：EFDG且EFDG.E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，对角线互相平分的四边形是平行四边形EHFG，EHFG.点O是平行四边形两条对角线的又点O是AC的中点，OF是ABC的中位线(1)求证：AFCE；9如图，ABC的周长为19，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC7，则MN的长度为()如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH的周长为()
22、如图(2)，延长DE到F，使FEDE，连接CF.D线段EF的长先增大后减小EHBD，EH BD.的最大值为_证明：BD，CE是ABC的中线，如图，任意画一个四边形，以AECD112.ABCE，ABCE.DFBC(平行四边形的对边相等).四边形DEFG是平行四边形，如图，任意画一个四边形，以9如图，如图，ABC的周长为的周长为19，点，点D，E在边在边BC上，上，ABC的平分线垂直于的平分线垂直于AE，垂足为，垂足为N，ACB的平分线垂直于的平分线垂直于AD，垂足为，垂足为M，若，若BC7，则，则MN的长度为的长度为()A.B2 C.D3 C10如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，已知中，已知ABCD，M，N，P分别是分别是AD，BC，BD的中点，的中点，ABD20，BDC70，则，则NMP的度数为的度数为()A50 B25 C15 D20B11(1)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD，E，F分别分别是是AD，BC的中点，连接的中点，连接FE并延长，分别与并延长，分别与BA，CD的延的延长线交于点长线交于点M，N.求证：求证：BMECNE；(2)如图，在ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若ABDC2，FEC45，求FE的长再见再见
