1、北师大版 数学 八年级上册第二章 实数2.7 二次根式1 1.了解了解二次根式二次根式的概念及的概念及二次根式二次根式有意义有意义的条件的条件。2 2.理解理解最简二次根式最简二次根式的定义并会识别的定义并会识别。3.3.会运用二次根式的会运用二次根式的乘法法则乘法法则和和积的算术平方根积的算术平方根的的性质进行简单运算性质进行简单运算。学习目标学习目标 某某手机手机操作系统操作系统的图标为圆角矩形，长为的图标为圆角矩形，长为 cm，宽，宽为为 cm，则它的面积是多少呢？，则它的面积是多少呢？5335如何计算如何计算？导入新知导入新知根指数都为根指数都为2;被开方数为非负数被开方数为非负数.这
2、些式子有什么共同特征？这些式子有什么共同特征？)25,24()(,12149,2.7,11,5cbbcbc其中合作探究合作探究两个必备特征两个必备特征外貌特征：含有外貌特征：含有“”“”内在特征：被开方数内在特征：被开方数a 0 一般地，我们把形如一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式.“”.“”称为二次根号称为二次根号.(0)aa 提示：提示：a可以是数，也可以是式可以是数，也可以是式.例例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：解：(1)()(4)()(6)均是二次根式均是二次根式，其中，其中x2+4属于属于“非负数非负数+正正
3、数数”的形式一定大于零的形式一定大于零.(3)()(5)(7)均不是二次根式均不是二次根式.是否含二是否含二次根号次根号被开方数是被开方数是不是非负数不是非负数二次二次根式根式不是二次根式不是二次根式是是是是否否否否分析：分析：典例精典例精析析1 1 利用利用二次根式的定义识别二次根式二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（；（4）（5）（6）；（；（7）148.0-3(0)x x(0mmnnn，异号，）24x 315下列下列各式是二次根式吗各式是二次根式吗?是是是是是是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）3212-不是不是38不是不是24a不
4、是不是)0(-mm12 a不是不是223aa1-2x不是不是2431巩固新知巩固新知 ，（5）（）新知三 最简二次根式的概念下列根式中，不是最简二次根式的是（）例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？北师大版 数学 八年级上册某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？（4）（）典例精析1 利用二次根式的积的算术平方根进行计算（3）；，（1）；例例2 当当x是怎样的实数时是怎样的实数时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义?2x 解：解：由由x-200，得，得x2.当当x2时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意
5、义.2x思考思考 当当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：解：由题意得由题意得x-10，所以所以x1.典例精典例精析析2 2 利用利用二次根式有意义的条件求字母二次根式有意义的条件求字母的取值范围的取值范围（1）11x合作探究合作探究解解：因为因为被开方数被开方数需大于或等于零，需大于或等于零，所以所以x+30，即，即x-3.因为因为分母分母不能等于零，不能等于零，所以所以x-10，即，即x1.所以所以x-3 且且x1.归纳小结归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足满足被开方数被开方数00
6、，列不等式求解即可，列不等式求解即可.若二次根式为若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分式的分母时，应同时考虑分母不为零分母不为零.（2）13xx x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?3x21xxx31（1）（2）x1x0（3）1x（4）x为全体实数为全体实数x0（5）（6）x0 x0 x-1且且x2(7)0)2(31xxx（9）12xx0 x为全体实数为全体实数(8)xx224x巩固新知巩固新知（1），；，；，；，662020949425162516949425162516你发现了什你发现了什么？么？做一做做一做合作探究合作探究 ，6.480 ；（2）用计算器计算：）用
7、计算器计算：，6.4800.92550.925576767676你有何你有何发现？发现？（a0，b0），（a0，b0）ababaabb商的算术平方根等于算术平方根的商的算术平方根等于算术平方根的商商.积的算术平方根等于算术平方根的积的算术平方根等于算术平方根的积积.归纳小结归纳小结 化化简简:解解：(1)(2)(3)（1）；（2）；（3）.6481 625 255256;6681649 82178;64 典例精典例精析析1 1 利用利用二次根式的积的算术平方根进行计算二次根式的积的算术平方根进行计算例例1 5025 2252055 2.化化简简:提示：提示：化简二次根式，就要把被开方数中的化简
8、二次根式，就要把被开方数中的平方数平方数（或平方式）（或平方式）从根号里开从根号里开出来出来.（1）12（2）1527（3）34a解解:24 323122 3（1）259959 3515327（2）aa222342aaa（3）巩固新知巩固新知解解:典例精典例精析析2 2 利用利用二次根式的商的算术平方根进行计算二次根式的商的算术平方根进行计算 化简：化简：（1）（2）（3）例例2 （1）55;39595;92;71.3227114;777772（2）1313.33133（3）合作探究合作探究化简：化简：（7）9252）（213）（解：解：49116（）2553925;9（2）122221.22
9、（3）（1）497414916;6巩固新知巩固新知2 324 73 3.53，特点：特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.最简二次根式：最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式.讨论讨论 右边一组数有哪些特点？右边一组数有哪些特点？合作探究合作探究(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，422.，所以x-3 且x1.新知二 二次根式的运算法则例1 下列各式中，哪些是
10、二次根式？哪些不是？判断下列各式是否为最简二次根式？被开方数中不含能开得尽方的因数或因式另外还要具备分母中不含二次根式的条件若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.(3)(5)(7)均不是二次根式.典例精析2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 ；新知二 二次根式的运算法则 ，（1）（）典例精析1 利用二次根式的定义识别二次根式内在特征：被开方数a 0（1）;下列根式中，不是最简二次根式的是（）最简二次根式的条件：最简二次根式的条件：是是二次二次根式；根式；被开方数中被开方数中不含分母不含分母；被开方数中不含能被开方数中不含能开得尽方开得尽方的因数或因式的因数或因式条件总结条件总
11、结例例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由不是最简二次根式的，请说明理由解：解：(1)不是不是，因为被开方数中含有分母因为被开方数中含有分母(3)不是不是,因为因为被开方数是小数被开方数是小数(即含有分母即含有分母)(4)不是不是，因为被开方数因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数中含有能开得尽方的因数4，422.(5)不是不是，因为因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含被开方数中含有能开得尽方的因式有能开得尽方的因式(6)不是不是,因为因为分母中有二次根式分母中有
12、二次根式.2323)6(;96)5(;24)4(;2.0)3(;2)2(;31)1(232xxxxx典例精析典例精析 识别识别最简二次根式最简二次根式(2)是是判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数被开方数不含分母不含分母，即被开方数必须是整数，即被开方数必须是整数(式式)；(2)被开方数被开方数不含能开得尽方的因数不含能开得尽方的因数(式式)，即被开方数，即被开方数中每个因数中每个因数(式式)的指数都小于的指数都小于根指数根指数2；另外还
13、要具备；另外还要具备分母中不含二次根式的条件分母中不含二次根式的条件方法点拨方法点拨 判断下列各式是否为最简二次根式？判断下列各式是否为最简二次根式？125.43（2）（）（3）（）（4）（）（1）（）（5）（）（6）（）2ab2288xx12巩固新知巩固新知1.要使式子要使式子 有意义，有意义，a的取值范围是（的取值范围是（）A.a 0 B.a-2且且a 0 C.a-2或或a 0 D.a-2且且a 0 2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（）A B C D3.下列根式中，不是最简二次根式的是（下列根式中，不是最简二次根式的是（）A B CDaa2D2 xx22x22xC7
14、3221C课堂练习课堂练习4.计算计算：解解：（1）;）（）（169-144-（2）.41164a（1）（）（169-144-169144=1213=156;（2）41164a41641a2144a=a2.二次根式二次根式定义定义带有带有二次根号二次根号在有意义条在有意义条件下求字母件下求字母的取值范围的取值范围抓住被开方数必须为抓住被开方数必须为非负数非负数，从而建立不，从而建立不等式求出其解集等式求出其解集.被开方数为被开方数为非负数非负数积的算术平积的算术平方根方根最简二次根式最简二次根式商的算术平商的算术平方根方根 (00)aababb，(00aabbab，）归纳新知归纳新知D x9
15、课后练习课后练习某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？新知二 二次根式的运算法则（1）;右边一组数有哪些特点？a 0 B.(5)不是，因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式下列各式是二次根式吗?（1）（）会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算。下列根式中，不是最简二次根式的是（）（1）（）例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?要使式子 有意义，a的取值范围是（）内在特征：被开方数a 0另外还要具备分母中不含二次根式的条件若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.所以x-10，即x1
16、.(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，422.；B C D D 解：(3)5 C C 0.3ab ，(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ，若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.判断下列各式是否为最简二次根式？下列根式中，不是最简二次根式的是（）商的算术平方根等于算术平方根的商.（2）；（1）（）如何计算？（5）（）（5）（6）；(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，422.例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由新知二 二次根式的运算法则特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.新知三 最简二次根式的概念新知二 二次根式的运算法则解：(1)12 (2)14317一个直角三角形的斜边长为12 cm，直角边长为8 cm，求另一直角边的长
