1、第三章第三章 变量之间的关系变量之间的关系3.1 3.1 用表格表示的变量间关系用表格表示的变量间关系 北师大版数学七年级下册1 1从表格的数据中分清什么是变量从表格的数据中分清什么是变量。2 2自变量、因变量以及因变量随自变量自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况及对表格所表达的两个变量关的变化情况及对表格所表达的两个变量关系的理解。系的理解。学习目标学习目标 观察下图，你能大致地描述青春期男女生平均身观察下图，你能大致地描述青春期男女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能估计自己下？你能估计自己18岁时的身高吗？岁时的身
2、高吗？导入新知导入新知 我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.在本章，你还要学习到很多有用或有意思的变化，在本章，你还要学习到很多有用或有意思的变化，如骆驼体温的变化、潮汐的变化、记忆遗忘的规律、如骆驼体温的变化、潮汐的变化、记忆遗忘的规律、人口变化的规律等人口变化的规律等.1知识点知识点常量
3、与变量常量与变量 王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间同高度下滑的时间(如图如图).他们得到如下数据：他们得到如下数据：支撑物高度支撑物高度/cm102030405060708090100小车下滑时间小车下滑时间/s4.233.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35(1)支撑物高度为支撑物高度为70 cm时，时，小车小车下滑时间是多少？下滑时间是多少？合作探究合作探究(2)如果用如果用h表示支撑物高度，表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，表示小车下滑时间，随随着着h逐渐变大，逐渐变大，
4、t的变化趋势是什么？的变化趋势是什么？(3)h每增加每增加10 cm，t的变化情况相同吗？的变化情况相同吗？(4)估计当估计当h110时，时，t的值是多少的值是多少.你是怎样估计的？你是怎样估计的？(5)随着支撑物高度随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？哪些量始终不发生变化？一般地，在某一变化过程中，数值发生变化一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做的量叫做变量变量在变化过程中，数值始终不在变化过程中，数值始终不变的量叫做变的量叫做常量常量定义定义时土豆的产量最高Dh是自变量，V是因变量观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与
5、对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是()B赵先生的身高在21岁以后基本不长了上表中_是自变量，_是因变量照此规律可以发现，当气温x为_时，声速y达到346 m/s.常量就是在变化过程中数值始终不变的量，变量是量，第二栏表示因变量，因变量与自变量的数据一一下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录在变化过程中不变的量是常量，可以A赵先生的身高增长速度总体上先快后慢(元)，数值一直在变化，在这三个量中_是常生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流.估计此题，通过表格能够直接知道通话17分钟1生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与
6、同伴进行交流同伴进行交流.解：解：气温随时间的变化，农作物的高度随种植气温随时间的变化，农作物的高度随种植时间的变化等时间的变化等巩固新知巩固新知2某人要在规定时间内加工某人要在规定时间内加工100个零件，则工作个零件，则工作效率效率y与时间与时间t之间的关系中，下列说法正确的之间的关系中，下列说法正确的是是()Ay，t和和100都是变量都是变量 B100和和y都是常量都是常量Cy和和t是变量是变量 D100和和t都是常量都是常量C3下表是某报纸公布的世界人口数情况：下表是某报纸公布的世界人口数情况：上表中的变量是上表中的变量是()A仅有一个，是时间仅有一个，是时间(年份年份)B仅有一个，是人
7、口数仅有一个，是人口数C有两个变量，一个是人口数，另一个是年份有两个变量，一个是人口数，另一个是年份D一个变量也没有一个变量也没有年份年份19571974198719992010人口数人口数30亿亿40亿亿50亿亿60亿亿70亿亿C4我们知道，圆的周长公式是我们知道，圆的周长公式是C2r，那么在这，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是的是()A2是常量，是常量，C，r是变量是变量B2是常量，是常量，C，r是变量是变量C2是常量，是常量，r是变量是变量D2是常量，是常量，C，是变量是变量B2知识点知识点自变量与因变量自变量与因变量定义：定义：如
8、果在一变化过程中含有两个变量，并且其如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是变化的量是自变量自变量，随着自变量变化而变化的量叫，随着自变量变化而变化的量叫做做因变量因变量合作探究合作探究例例1 林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示单价都有三个量，其中一个表示单价(元元/升升)的数值固定的数值固定不变，另外两个量分别表示加油量不变，另外两个量分别表示加油量(升升)、加油金额、加油金额(元元)，数值一直在变化，在这三个量中，
9、数值一直在变化，在这三个量中_是常是常量，量，_是自变量，是自变量，_是因变量是因变量常量就是在变化过程中数值始终不变的量，变量是常量就是在变化过程中数值始终不变的量，变量是指在变化过程中数值发生变化的量指在变化过程中数值发生变化的量导引：导引：单价单价加油量加油量加油金额加油金额 运用运用定义法定义法来解答区别自变量和因变量有以来解答区别自变量和因变量有以下下三种方法：三种方法：(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因因变量是后发生变化的量；变量是后发生变化的量；(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因看变化的方式，自变量是一个主动
10、变化的量，因变变量是一个被动变化的量；量是一个被动变化的量；(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果看因果关系，自变量是起因，因变量是结果新知小结新知小结1王老师开车去加油站加油，王老师开车去加油站加油，发现加油表如图所示发现加油表如图所示加油时，单价其数值固定不加油时，单价其数值固定不变，表示变，表示“数量数量”、“金额金额”的量一直在变化，在这三个量中，的量一直在变化，在这三个量中，_是常量，是常量，_是自变量，是自变量，_是因变量是因变量数量数量 2.45 (升升)金额金额 16.66(元元)单价单价 6.80 (元元/升升)单价单价数量数量金额金额巩固新知巩固新知2骆驼被称为骆驼被
11、称为“沙漠之舟沙漠之舟”，它的体温是随时间，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是的变化而变化的，在这一问题中，因变量是()A沙漠沙漠 B体温体温 C时间时间 D骆驼骆驼B3一个圆柱的高一个圆柱的高h为为10 cm，当圆柱的底面半径，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变也发生了变化，在这个变化过程中化，在这个变化过程中()Ar是因变量，是因变量，V是自变量是自变量Br是自变量，是自变量，V是因变量是因变量Cr是自变量，是自变量，h是因变量是因变量Dh是自变量，是自变量，V是因变量是因变量B3知识点知识点用表格表示两个变量间的关系用表
12、格表示两个变量间的关系议一议议一议 我国从我国从1949年到年到2009年的人口统计数据如下（精确年的人口统计数据如下（精确到到0.01亿）亿）:(1)如果用如果用x表示时间，表示时间，y表示我国人口总数，那么随着表示我国人口总数，那么随着x的的变化，变化，y的变化趋势是什么？的变化趋势是什么？(2)从从1949年起，时间每向后推移年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样年，我国人口是怎样变变化的？化的？时间时间/年年1949195919691979198919992009人口人口/亿亿5.426.728.079.7511.0712.5913.35合作探究合作探究少时比较适宜？说说你的理由.
13、定义：如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中A仅有一个，是时间(年份)如骆驼体温的变化、潮汐的变化、记忆遗忘的规律、(元)，数值一直在变化，在这三个量中_是常(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多(4)估计当h110时，t的值是多少.(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.第三章 变量之间的关系变，表示“数量”、“金额”哪些量始终不发生变化？生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流.(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？常量就是在变化过程中数值始终不变的量，变量是B弹簧不挂重物时的长度为0 cm过程中，该量的值是
14、否发生改变，或者说该量是否会Dh是自变量，V是因变量(1)支撑物高度为70 cm时，小车林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上 在表中，我国人口总数在表中，我国人口总数y随时间随时间x的变化而变化，的变化而变化，x是自变量，是自变量，y是因是因 变量变量.新知小结新知小结 把自变量把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做间关系的方法叫做表格法表格法例例2 声音在空气中传播的速度声音在空气中传播的速度y(米米/秒秒)(简称音速简称音速)与气温与气温x
15、()之间的关系如下表，从表中可知音速之间的关系如下表，从表中可知音速y随气温随气温x的升高而的升高而_在气温为在气温为20的一天举行运动会，某人看到发令的一天举行运动会，某人看到发令枪的烟枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点令地点_米米观察表中的数据可知，音速随气温的升高而加快；观察表中的数据可知，音速随气温的升高而加快；当气温为当气温为20 时，音速为时，音速为343米米/秒，而该人是看到发令枪秒，而该人是看到发令枪的烟的烟0.2秒后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点秒后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点3430.26
16、8.6(米米)导引：导引：气温气温x/05101520音速音速y/(米米/秒秒)331334337340343加快加快68.6合作探究合作探究 在此题中，表格中第一行的数据表示气温，第在此题中，表格中第一行的数据表示气温，第二行的数据表示声音在空气中的传播速度二行的数据表示声音在空气中的传播速度新知小结新知小结例例3 下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？哪个是因变量？(2)你能帮佳佳预测一下，如果她打电话的通话时间是你能帮佳佳预测一下，如
17、果她打电话的通话时间是10分钟，则需付多少元电话费？分钟，则需付多少元电话费？表示两个变量之间关系的表格，一般第一栏表示自变表示两个变量之间关系的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，因变量与自变量的数据一一量，第二栏表示因变量，因变量与自变量的数据一一对应，据此来理解自变量与因变量之间的关系对应，据此来理解自变量与因变量之间的关系导引：导引：通话时间通话时间/分钟分钟1234567电话费电话费/元元0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2合作探究合作探究(1)通话时间与电话费；其中通话时间是自变量，通话时间与电话费；其中通话时间是自变量，电电话费是因变量；话费是因变量；
18、(2)1分钟分钟0.6元，元，2分钟分钟1.2元，相差元，相差0.6元，所以，元，所以，当当佳佳打电话的通话时间为佳佳打电话的通话时间为10分钟时，需付分钟时，需付6元电元电话费话费解：解：观察表格要分三步：观察表格要分三步：一是一是通过表格确定自变量与通过表格确定自变量与因变量；因变量；二是二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；的对应关系；三是三是分别横向观察两栏，从中发现因变分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，此题中，通话时量随自变量的变化呈现的变化趋势，此题中，通话时间变长，则电话费也随之增加求因变量的值，看自间变长
19、，则电话费也随之增加求因变量的值，看自变量的值是否在所列数值之中，若在所列数值之中，变量的值是否在所列数值之中，若在所列数值之中，则根据对应关系，在表格中直接获取；若不在所列数则根据对应关系，在表格中直接获取；若不在所列数新知小结新知小结值之中，则需根据因变量与自变量之间的变化进行值之中，则需根据因变量与自变量之间的变化进行估计此题，通过表格能够直接知道通话估计此题，通过表格能够直接知道通话17分钟分钟所需的电话费，通话时间超过所需的电话费，通话时间超过7分钟的电话费则要从分钟的电话费则要从已知数据中寻找变化规律来进行计算已知数据中寻找变化规律来进行计算1研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一
20、定研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量时，土豆的产量与氮肥的施用量 有如下关系：有如下关系：氮肥施用量氮肥施用量/kg03467101135202259336404471土豆产量土豆产量/t15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75巩固新知巩固新知(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自 变量？哪个是因变量？变量？哪个是因变量？(2)当氮肥的施用量是当氮肥的施用量是101 kg/hm2(hm2是单位是单位“公公 顷顷”的符号的符号)时，土豆的产量是多少？如果不
21、时，土豆的产量是多少？如果不 施氮肥呢？施氮肥呢？(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多 少时比较适宜？说说你的理由少时比较适宜？说说你的理由.(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.B赵先生的身高在21岁以后基本不长了值之中，则需根据因变量与自变量之间的变化进行(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系在变化过程中不变的量是常量，可以(4)估计当h110时，t的值是多少.(4)估计当h110时，t
22、的值是多少.B弹簧不挂重物时的长度为0 cm到一定程度后又降低(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系变化，y的变化趋势是什么？用表格表示两个变量间的关系第三章 变量之间的关系第三章 变量之间的关系(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系易错点：易出现“以偏概全”的错误上表中_是自变量，_是因变量照此规律可以发现，当气温x为_时，声速y达到346 m/s.变，表示“数量”、“金额”定义：如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系 氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量氮肥的施用量是自变量，土豆的产
23、量是因变量(2)当氮肥的施用量是当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是时，土豆的产量是 32.29 t/hm2.如果不施氮肥，土豆的产量是如果不施氮肥，土豆的产量是15.18 t/hm2.(3)氮肥的施用量为氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜，因为此时比较适宜，因为此 时土豆的产量最高时土豆的产量最高(4)土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，增加土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，增加 到一定程度后又降低到一定程度后又降低解：解：2声音在空气中传播的速度声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速简称声速)与气温与气温x()的关系如下表所示的关系如下表所示上表中上表
24、中_是自变量，是自变量，_是因变量照是因变量照此规律可以发现，当气温此规律可以发现，当气温x为为_时，声速时，声速y达到达到346 m/s.气温气温x/05101520声速声速y/(m/s)331334337340343气温气温声速声速253弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所与所挂的物体的质量挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：间有下面的关系：下列说法不正确的是下列说法不正确的是()Ax与与y都是变量，且都是变量，且x是自变量，是自变量，y是因变量是因变量B弹簧不挂重物时的长度为弹簧不挂重物时的长度为0 cmC在弹性限度内，物体质量每
25、增加在弹性限度内，物体质量每增加1 kg，弹簧长度，弹簧长度y增增加加0.5 cmD在弹性限度内，所挂物体质量为在弹性限度内，所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度时，弹簧长度为为13.5 cmx/kg012345y/cm1010.51111.51212.5B4某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：下表的数据：设烤鸭的质量为设烤鸭的质量为 x kg，烤制时间为，烤制时间为 t min，估计当，估计当x3.2时，时，t 的值为的值为()A140 B138 C148 D160鸭的质量鸭的质量/kg0.511.522.533.54烤制时间烤制
26、时间/min406080100 120 140 160 180C1.判断一个量是变量还是常量的方法：判断一个量是变量还是常量的方法：关键是看在变化关键是看在变化过程中，该量的值是否发生改变，或者说该量是否会过程中，该量的值是否发生改变，或者说该量是否会取不同的数值；在变化过程中不变的量是常量，可以取不同的数值；在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量取不同数值的量是变量注意：注意：在变化过程中的常量在变化过程中的常量与变量的个数是不确定的与变量的个数是不确定的2.把自变量把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这
27、种表示变量之间关表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做系的方法叫做表格法表格法1知识小结知识小结巩固新知巩固新知2易错小结易错小结赵先生手中有一张记录他从出生到赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情岁期间的身高情况表况表(如下表所示如下表所示)：对于赵先生从出生到对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误岁期间身高情况下列说法错误的是的是()年龄年龄x/岁岁03691215182124身高身高h/cm 48 100 130140150 158 165170170.4D(170.448)245.1(cm)，从，从0岁到岁到24岁平均每岁平均每年增高年增高7.1
28、 cm是错误的是错误的易错点：易错点：易出现易出现“以偏概全以偏概全”的错误的错误A赵先生的身高增长速度总体上先快后慢赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B赵先生的身高在赵先生的身高在21岁以后基本不长了岁以后基本不长了C赵先生的身高从赵先生的身高从0岁到岁到21岁平均每年约增高岁平均每年约增高5.8 cmD赵先生的身高从赵先生的身高从0岁到岁到24岁平均每年增高岁平均每年增高7.1 cm变量变量常量常量课后练习课后练习CC变，表示“数量”、“金额”C时间 D骆驼变，表示“数量”、“金额”(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系A仅有一个，是时
29、间(年份)Dh是自变量，V是因变量在表中，我国人口总数y随时间x的变化而变化，观察下图，你能大致地描述青春期男女生平均身1(cm)，从0岁到24岁平均每年增高7.3弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：3下表是某报纸公布的世界人口数情况：一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径不变，另外两个量分别表示加油量(升)、加油金额着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？D100和t都是常量观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与北师大版数学七年级下册(4)土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，增加骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间xyB定价定
30、价/(元元/个个)100110120130140150销量销量/个个801001101008060C自自因因顺序性顺序性一一对应一一对应气温气温声速声速25【答案】【答案】C【答案】【答案】B鞋长鞋长/cm16192124鞋码鞋码/号号22283238鞋长鞋长鞋码鞋码鞋长鞋长鞋码鞋码32号号底面半径底面半径/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量用铝量/cm36.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5日期日期15日日 16日日 17日日 18日日 19日日 20日日 21日日 22日日天然气表天然气表显示的读数显示的读数220229241249259270279290再见再见
