1、主讲：殷玉枫 教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧质量系统弹簧质量系统设设tieFtF0)(0F外力幅值外力幅值外力的激励频率外力的激励频率tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与实部和虚部分别与实部和虚部分别与tFsin0tFcos0 mxcxm kx)(tF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动受力分析受力分析kcx0m)(tF和和相对应相
2、对应tFsin0tFcos0和和相对应相对应tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：显含时间显含时间 t非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应本节内容本节内容单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：设：设：tiexx0)(FHx代入，有：代入，有：icmkH21)(复频响应函数复频响应函数 振动微分方程
3、：振动微分方程：tieBxxx202002 mk0kmc2kFB0引入：引入：0s)2()1(211)(2222sssiskH222)2()1(1)(sss2112)(sstgs振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差则：则：iek1 ：稳态响应的复振幅：稳态响应的复振幅 x静变形静变形单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 tiexxieksssiskH1)2()1(211)(22220)(FHx代入，有：代入，有：)(0tiekFxBA稳态响应的实振幅稳态响应的实振幅 222)2()1(1)(ssskFB0 tFtFcos)(0
4、若：若：)cos()(tAtx则：则：tiesBtx21)(无阻尼情况：无阻尼情况：)(tiAetieskF20112112)(sstgs单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx2112)(sstgs2220)2()1(1sskFA结论：结论：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线)(s222)2()1(1)(sss幅
5、频特性曲线幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当）当s1（）00激振频率相对于系统固有频率很高激振频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性（3）在以上两个领域）在以上两个领域 s1，s1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集
6、，说明阻尼的影响不显著 222)2()1(1)(sss0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大222)2()1(1)(sss（4）当）当1s0对应于较小对应于较小 值，值，迅速增大迅速增大)(s当当0)(s但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01.025.0375.0
7、5.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx（5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统，并不出并不出现在现在s=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max0dsd2max121221s0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss（6）当）当2/11振幅无极值振幅无极值 0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统
8、受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx211sQ记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ，2/Q1212带宽带宽Q与与 有关系有关系：0Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 s2Q2/Q01021单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性相频特性曲线相频特性曲线（1）当）当s1（）0位移与激振力反相位移与激振力反相（3）当）当1s0共振时的相位差为
9、共振时的相位差为，与阻尼无关，与阻尼无关 2)(s0123090180s单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统外部作用力规律：外部作用力规律：tFtFcos)(0假设系统固有频率：假设系统固有频率：10从左到右：从左到右：6.1,01.1,4.0单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性0 0 0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响
10、应是暂态响应与稳态响应的叠加振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 tieFkxxcxm0 显含显含 t，非齐次微分方程，非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应回顾：回顾：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况先考虑无阻尼的情况 tFkxxmsin0 假定正弦激励假定正弦激励0)0(xx0)0(xxtBxxsin2
11、020 kFB0tsBtctctxsin1sincos)(20201通解：通解：齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解0s21cc、初始条件决定初始条件决定 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xxtsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx2021)0(sBcx 20021sBsxc tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应特点：以系统特点：以系统固有
12、频率为振固有频率为振动频率动频率单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应如果是零初始条件如果是零初始条件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段零初始条件零初始条件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221(2)s 1)(0)(0TT(1
13、)s 1)(0)(0TT 稳态受迫振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动上迭加的一个振荡运动0/2/20t)(tx0/2/20t)(tx稳态响应稳态响应全响应全响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段
14、零初始条件零初始条件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(202210/2/20t)(tx单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 000)0()0(sinxxxxtFkxxm，0020)0()0(0 xxxxxx，0)0(0)0(sin2020 xxtBxx，txtxtx000001sincos)(tsBtsBstxsin1sin1)(2022 )()()(21txtxtx通解：通解：tsBtsBstxtxsin1sin1sincos20200000初始条件响应初
15、始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(sin1sincos 0200000tstsBtxtx tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段00
16、 x例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmsin0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动解：解：tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021的全解：的全解：tFkxxmsin0 如果要使系统响应只以如果要使系统响应只以 为频率振动为频率振动必须成立：必须成立：2001sBsx初始条件：初始条件：00 x2001sBsxkFB00s单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmcos0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动解：解：tsBt
17、ctctxcos1sincos)(20201的全解：的全解：tFkxxmcos0 tsBtsBstxtxtxtxtxcos1sin1sincos)()()(2020000021正确？正确？tsin全解：全解：由由0)0(xx2011sBxctsBtctctxcos1cossin)(2002001求一阶导数：求一阶导数：由由0)0(xx020cx 002/xc单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tsBtctctxcos1sincos)(20201全解：全解：2011sBxc002xc因此：因此：tsBtxtsBxtxcos1sincos)1()(2000
18、020tsBtsBtxtxcos1cos1sincos20200000的全解：的全解：tFkxxmsin0 tsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000相同相同不同不同单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmcos0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动全解：全解：tsBtsBtxtxtxcos1cos1sincos)(20200000如果要使系统响应只以如果要使系统响应只以 为频率振动为频率振动初始条件：初始条件：00 x 201sBx 0单自由度系统受迫振动单自由度
19、系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近若激励频率与固有频率十分接近 0s令：令：21s 小量小量)sin(sin1)(02tstsBtx tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(sin1sincos 0200000tstsBtxtx 考虑零初始条件，有：考虑零初始条件，有：tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx1单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段)sin(sin1)(02tstsBtx 代入：代入：21s )sin(sin)144(102
20、tstB ttB00cossin2 )sin(sin40tstB sin)21sin(400ttB )sin2sincos2cos(sin400000tttttB ttB002sincos4 tttB000cossin2cos4 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段ttBtx00cossin2)(可看作频率为可看作频率为 但振幅按但振幅按 规律缓慢变化的振动规律缓慢变化的振动 0tB0sin2这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍拍”02BtB0sin202tB0sin20t)(tx0拍的周期：拍的周期：tB0
21、sin2 图形包络线：图形包络线：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段0当当ttBtx00cossin2)(随随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形 0)(txttB021tB021 ttB00cos21 响应曲线响应曲线21sttB00cos2单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm)sin(sin)cossin(cossin )si
22、ncos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddtmk0kmc2201d0skFB0222)2()1(1ss2112sstg初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态
23、强迫振动只剩稳态强迫振动 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应0)(txt0 x强迫响应强迫响应全响应全响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应)sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt0)0(x0)0(x 对于零初始条件：对于零初始条件：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段单自由度系
24、统受迫振动单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例 tifDetx)(坐标：坐标：动力学方程：动力学方程：tiemDkxxcxm21111 基座位移规律基座位移规律：x1 相对基座位移相对基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座位移振幅：基座位移振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性
25、力激励的受迫振动动力学方程：动力学方程：tiemDkxxcxm21111 tieFkxxcxm0 )(tiBexkFB0222)2()1(1ss2112)(sstgs回顾：回顾：令：令：02FmD)(11tiBex)(01tiekF)(21tiekmD)(22221)2()1(tiDesss)(11tiDe有：有：22221)2()1()(ssss21112)(sstgs其中：其中：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs0s0.25
26、 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 0190180s)(1s幅频曲线幅频曲线相频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动有阻尼的单自由度承受支撑运动有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：支撑运动：tDtxfsin)(001.1系统固有频率从左到右：系统固有频率从左到右：63.0,0.1,6.1000单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标fxxx1titiDeDex)(11)(111tiDextifDetx)(其中：其
27、中：则有：则有：)(111)(tiiDee22221)2()1()(ssss21112)(sstgs0sxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动)sin(cos)2()1(11222211isssei22222)2()1()2(1sss)2(12stg)(111)(tiiDeex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs22222222222)2()1(2)2()1(1)2()1(sssissssss222)2()1(21sssi22222)2()1()2(1iesss22ie22222)2(1
28、)2()1(1iesss单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动)(111)(tiiDeex2121iiee22222)2()1()2(1sss)2(12stg)(2)(221titiDeDex21代入：代入：tiesDx211无阻尼情况：无阻尼情况：22221)2()1()(ssss21112)(sstgsxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动22222)2()1()2(1sss)(2)(221titiDeDex幅频曲线幅频曲线01010 0.1 0.25
29、0.35 0.5 1.0)(2ss2可看出：可看出：当当 时，时，2s12振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D当当 时，时，2s12振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动例：例：汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道路上行驶路上行驶已知拖车的质量满载已知拖车的质量满载时为时为 m1=1000 kg空载时为空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k=350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼比在满载时为5.01车速为车速为 v
30、=100 km/h路面呈正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为lzaxf2sin求：求：拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比l=5 ml=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动解：解：汽车行驶的路程可表示为：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：路面的激励频率：l=5 mtlvaxf2sinvtz 因此：因此：sradlv/9.342kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 为常数，因此为常数，因此 与与 成反比成反比m因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为：0
31、.12112mm满载和空载时的频率比：满载和空载时的频率比：87.11011kms93.02022kms因为有：因为有：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l=5 ml=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载时频率比满载时频率比记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2有：有：满载时阻尼比满载时阻尼比空载时阻尼比空载时阻尼比0.1287.11s空载时频率比空载时频率比93.02s68.0)2()1()2(12112212111sssaB13.1)2()1()2(12222222222sssaB因此满载和空载时的振
32、幅比：因此满载和空载时的振幅比：60.021BB5.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l=5 ml=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz例：例：已知梁截面惯性矩已知梁截面惯性矩I，弹性模量，弹性模量E，梁质量不计梁质量不计支座支座B不动不动求：质量求：质量m的稳态振动振幅的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动的隔离支座支座A产生微小竖直振动产生微小竖直振动tdyAsinambABAy解：解：固有频率：固有频率：/0g简化图简化图在质量在质量m作用下，由材料力
33、学可求出静挠度作用下，由材料力学可求出静挠度mkfxfx：因：因yA的运动而产生的质量的运动而产生的质量m处的运动处的运动tabdyabxAfsin)/()/(动力学方程：动力学方程：0)(fxxkxm takbdkxxmsin)/(振幅：振幅：211/skakbdx0s211sabd 支承运动小结支承运动小结22222)2()1()2(1sss)2(12stg21相对位移相对位移tifDetx)(基座位移规律基座位移规律：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs绝对位移绝对位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0m
34、kxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移：texsin由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：向的动力学方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM t
35、mekxxcxMsin2 简化图形简化图形mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2xMkcxtemtmekxxcxMsin2 me：不平衡量：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2me20meF 设：设：)sin()(tBtx222)2()1(1sskmekFB202112sstg0sMK0得：得：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x)sin()(tBtx222)2()1(1sskmekFB202112ss
36、tgB 又写为又写为：MmekmeB2022)sin()2()1()(2222 tMmessstx22221)2()1(sssMmeB 12sMme)sin(11 tB单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统例：偏心质量系统共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得阻尼由自由衰减振动测得阻尼系数为系数为05.0假定假定%10Mm求：求：（1）偏心距）偏心距 e，（2）若要使系统共振时振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？系统的总质量需要增加多少？mxc2k2kte单自由度
37、系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x解解:（1）共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得阻尼系数为阻尼系数为05.0%10Mm共振时最大振幅共振时最大振幅)sin()2()1()(2222tMmessstx)(1.021mMme)(1.0me（2）若要使系统共振时振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m)(01.021mMMme)(01.01.005.021mMMem9MMMM9mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受
38、迫振动Mkctmesin2x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1(1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0 偏心质量小结偏心质量小结)sin()(1 tetx22221)2()1(sss 解解1：解解2：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性 机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比机械阻抗定义为简
39、谐激振时复数形式的输入与输出之比 tieFkxxcxm0 tieF0tiexx 0)(FHx icmkH21)(titixexeFZ0)(动力学方程：动力学方程：输入：输入：输出：输出tiexx 代入，得：代入，得：复频响应函数复频响应函数根据定义，位移阻抗：根据定义，位移阻抗：icmk2xF0)(1H单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳icmkHxFexeFZtitix 200)(1)(icmkH21)(位移阻抗与复频响应函数互为倒数，位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为也称为导纳导纳)(H输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为输出也可以定义为速
40、度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻速度阻抗抗和和加速度阻抗加速度阻抗)(1)(00 xtititixZiexieFxeFZ )(1)(2xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械阻抗的倒数称为机械导纳机械导纳，相应，相应 、分分别有别有位移导纳位移导纳、速度导纳速度导纳和和加速度导纳加速度导纳)(xZ)(xZ)(xZ 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳icmkHxFexeFZtitix 200)(1)(位移阻抗位移阻抗)(1)(00 xtititixZiexieFxeFZ )(1)(2xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻
41、抗 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数），它们都是复数 现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征及其它动力特征 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳复频响应函数又可写为：复频响应函数又可写为：icmkH 21)(222)2()1(11)(sskH 模及幅角：模及幅角：2221)2()1(2)
42、(argssstgH 同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性)(H)2()1(112sisk 0FB k BF/0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳2222)2()1(11)Re(ssskH 222)2()1(21)Im(ssskH )2()1(111)(22siskicmkH 记记 实部和虚部为：实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线实频特性曲线和虚频特性曲线 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳发生共振时发生共振时0)Re(H)Im(H近似取最大值近似取最大值 10101s0)R
43、e(H0)Im(Hs还可以用频率比还可以用频率比 s 或相对阻尼系数或相对阻尼系数 作参变量，把作参变量，把 画在复画在复平面上，这样得到的曲线称为平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图乃奎斯特图（Nyquict plot）)(H粘性阻尼系数的粘性阻尼系数的 Nyquict 图是一个近似的图，并且图是一个近似的图，并且在共振点附近，曲线弧长在共振点附近，曲线弧长随随 s 的变化率是最大的的变化率是最大的Nyquict图在结构动力分图在结构动力分析上有很多用处析上有很多用处-6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)1.0 05.0 1s1s96.0s04.1s98.0s02.1s96.0s04.1s单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳
