1、2021/7/261(最新整理)椭圆及其标准方程课件2021/7/2622021/7/263“嫦娥二号”于2019年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 2021/7/2642021/7/2652021/7/2662021/7/2672021/7/2682021/7/2692021/7/26102021/7/26112021/7/26122021/7/2613 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时，当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个截线（平面与圆
2、锥面的交线）是一个 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：化情况，并思考：用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？何特征？两条相交直线两条相交直线圆圆2021/7/2614椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线2021/7/2615一、引入一、引入结论：平面内到两定点结论：平面内到两定点F F1 1，F F2 2的距离之和等于常的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离常数必须大于两定点的距离2021/7/2616 1.改
3、变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2021/7/2617 1.改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2021/7/26181 1、椭圆的定义：、椭圆的定义：平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的动点）的动点M的轨迹叫做的轨迹叫做椭圆椭圆。这两
4、个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距|F1F2|=2c。1F2FM几点说明：几点说明：（1）、）、椭圆定义式：椭圆定义式：|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.则则M点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆.（2）若）若|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c，则，则M点的轨迹是点的轨迹是线段线段F1F2.（3）若）若|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)
5、。(3)因因|MF1|+|MF2|=30)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c)（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(|,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程2021/7/2623222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycx
6、aaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程2021/7/2624刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(|,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(1xy2222baba2021/7
7、/2625OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。2021/7/26262222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F
8、1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO2021/7/262722221.153xy，则a ，b ；22222.146xy，则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 37 169.322yx6 147.422yx22021/7/2628例2.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距
9、离的和。14)1(22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：椭圆方程具有形式12222byax其中1,2ba因此31422bac两焦点坐标为)0,3(),0,3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a2021/7/2629例例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。12yoFFMx解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准
10、方程为所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx2 22 2x xy y例例4 4.若若+=1 1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则m mn nm m,n n满满足足什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标.2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnmn0,mn0,且且c=m-n,c=m-n,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(m-n,0),(-m-n,0).(m-n,0),(-m-n,0).2 22 2变变式式引引申申:若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴
11、轴上上；若若mmx x+n ny y=1 1表表示示椭椭圆圆，mm,n n应应满满足足什什么么条条件件.2222(3)(3)若若mx+ny=1mx+ny=1表表示示椭椭圆圆,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆.2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnnm0,nm0,且且c=n-m,c=n-m,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0,n-m),(0,-n-m).(0,n-m),(0,-n-m).2
12、 22 2x xy y(2 2)若若+=1 1表表示示椭椭圆圆,则则mm 0 0,n n 0 0且且mmn n.mmn n122nymx椭圆的一般形式椭圆的一般形式2021/7/2632填空：填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_课堂练习课堂练习1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴
13、上。|CF1|+|CF2|=2a2021/7/263315422yx(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：,则则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距，焦距 等于等于_;若曲线上一点若曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)25 5 2 532 53 2 522 52PF1F2|PF1|+|PF2|=2a2021/7/2634课后练习：课后练习：1 化简方程：化简方程：10)3()3(2222yxyx 2 椭圆椭圆mx2+ny2=-mn
14、(mn0)的焦点的焦点 坐标是坐标是 3 3 方程方程 表示焦点在表示焦点在x轴上的轴上的椭圆椭圆,则则m的取值范围为的取值范围为1162522mymx4.5m D 4.5m16-254.5 B 25m16-CmA2021/7/26354 4 设设F F1 1，F F2 2为定点为定点,|F,|F1 1F F2 2|=6|=6，动点，动点M M满足满足|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=6,|=6,则动点的轨迹是（则动点的轨迹是（）（A A）椭圆）椭圆 （B B）直线）直线 （C C）线段）线段 （D D）圆）圆5 5 如果方程如果方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则k k的取值范围是的取值范围是_0k1 6 6 已知已知B B、C C是两个定点，是两个定点，BC=6BC=6，且，且ABCABC的周长等于的周长等于1616，求顶点，求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程2021/7/2636求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识，求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 12222byax0 12222babxay2021/7/2637
